vivat2.okis.ru

KISS

2019-11-10

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

2017-04-27

3232. Предположим, что ворон 2. Тогда не выполняется условие, что все, кроме двух, воробьи,

потому что в этом случае птиц больше 3 (как минимум, 4: 2 вороны, 1 воробей и 1 голубь).

Значит, ни одного вида птиц не может быть больше, чем 1.

Ответ: 1 ворона, 1 воробей, 1 голубь.

3233. Самое большое трёхзначное число, которое можно составить из предложенных цифр, – это 543.

Самое маленькое двузначное – 12.

Вычислим разность этих чисел: 543 – 12 = 531.

Ответ: 531

3234.Фактически нам необходимо выяснить, каким днем недели будет день через 31 день после 27 октября.

31 день – это 4 недели и 3 дня. Так как дни недели повторяются, то фактически нам необходимо вычислить,

какой день недели будет через 3 дня после четверга.

Через 1 день –пятница.

Через 2 дня –суббота.

Через 3 дня –воскресенье.

Ответ: воскресенье.

3235. Марина пойдёт в гости, если не пойдёт Оля, но пойдёт Таня. Предположим, Оля не пойдёт в гости,

тогда не пойдёт Таня (по условию задачи), а если не пойдёт Таня, то не пойдёт и Марина.

Предположим, что Оля пойдёт в гости, тогда Марина не пойдёт, значит, и Таня не пойдёт.

Получается, в гости к Кате не пойдёт ни одна из приглашённых девочек.

Ответ: никто не пойдет.

3236.По условию задачи Петя кричал, начиная с 4 часов утра, по 3 раза каждые полчаса, то есть каждые 30 минут.

Значит, Петя кричал в 4.00, 4.30, 5.00, 5.30, 6.00, 6.30,7.00, 7.30, 8.00 – то есть 9 раз по 3 раза, то есть 27 раз в день.

Всего Петя кричал «кукареку» 7 дней, значит, за неделю он крикнул:

27 + 27 + 27 +27 + 27 + 27 + 27 = 189 (раз).

Ответ: 189.

3237. Известно, чтополовина всех детей в классе – девочки. Значит, девочек

12 + 12 = 24.

В кино вечером пойдут треть учеников, значит, в кино пойдут 8 учеников:

8 + 8 + 8 = 24.

5 из них –мальчики, остальные – девочки. Значит, девочек пойдёт 3.

Всего в классе 12 девочек, 3 из них пойдут в кино, а остальные нет.

Получается, что в кино не пойдут:

12 – 3 = 9 (девочек).

Ответ: 9

3238. Мы знаем, насколько см гусеница поднялась за трое суток, а нам нужно узнать,

на сколько см она поднимется за шестеро суток (с понедельника по воскресенье).

За первые сутки 1 часть, за вторые - 2 части, за третьи - 4 части.

Всего получилось 7 частей. 1 часть – это:

42 : 7 = 6 (см).

Значит, за первые сутки гусеница поднялась на 6 см, за вторые – на 12 см (6 х 2 =12),

за третьи – на 24 см (12 + 12 = 24), за четвёртые – на 48 см (24+ 24 =48), за пятые – на 96 см (48 + 48= 96),

а за шестые сутки – на 192 см (96 + 96= 192).

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сложить все полученные значения:

6 + 12 + 24 + 48+ 96 + 192 = 378 (см).

Ответ: 378 см.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

2017-04-25

3225.(x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0.

(x^2−x+1)^2−10(x^2−x−12)−109=0.

Введем замену x^2−x+1=t; x^2−x−12=t−13.

t^2−10(t−13)−109=0; t^2−10t+21=0; t=7, t=3.

x^2−x+1=7; x^2−x+1=3.

x=3, x=−2, x=2, x=−1.

Сумма корней равна 2.

Ответ: 2.

3226.Пусть a=7k+2, тогда a^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4, остаток от деления a^2 на 7 равен 4.

Пусть a=7k+4, тогда a^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k+2)+2, остаток от деления a^2 на 7 равен 2.

Значит, остаток от деления в первом случае больше.

Ответ: 1.

3227. Пусть x км/ч - скорость первого пешехода, а y км/ч - скорость второго, причем x>0, y>0.

Тогда в первом случае первый пешеход находился в пути 2,5 часа, а второй - 2 часа.

Значит, вместе они прошли 2,5x+2y, что составило 20 км, т.е. 2,5x+2y=20.

Во втором случае первый пешеход находился в пути 5/3 часа, а второй - 8/3 часа,

а вместе они прошли 5/3x+8/3y, что составило 20 км, т.е. 5/3x+8//3y=20.

Решение системы уравнений: x=4, y=5.

Ответ:4.

3228.Пусть a - цифра сотен, b - цифра десятков, c - цифра единиц исходного трехзначного числа.

Тогда это число равно 100a+10b+c, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 100c+10b+a.

По условию 100a+10b+c−(100c+10b+a)=495, a+b+c=17, a^2+b^2+c^2=109.

Решая систему трех уравнений, приходим к квадратному уравнению

D=1, c=10/3, c=3
Значение c=10/3 не удовлетворяет условию задачи, так как c - число натуральное. Подставляя c=3, находим a=8, b=6.

Ответ: 863.

3229.6−3b+4bx=4b+12x, (4b−12)x=7b−6.

Если b=3, то уравнение примет вид 0⋅x=150⋅x=15 и не будет иметь корней.

Если b≠3, то x=7b−64b−12.

По условию x=(7b−6)/(4b−12)<1. Тогда x=(3b+6)/(4b−12)<0. Получим −2<b<3.

Ответ: −2<b<3.

3230.Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC.

Пусть ∠BAC=∠1, ∠CAD=∠2, ∠ACB=∠3.

По условию ∠1=∠2, а ∠2=∠3 как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

Тогда треугольник ABC - равнобедренный и AB=BC.

По условиюAD=2BC. Пусть AB=x, тогда x+x+x+2x=90, отсюда x=90:5=18, AD=36.

Ответ: 36.

3231.1) Пусть M - точка пересечения отрезков PR и QS.

По условию PR⊥QS, по теореме Пифагора найдем

MR=QR^2−QM^2−−−−−−−−−−√=26^2−10^2−−−−−−−−√=24

2) Прямоугольные треугольники PMS и QMR подобны по двум углам (∠PSQ=∠PRQ=1/2⌣PQ)

Поэтому PM/QM=MS/MR=PS/QR.

PM/10=MS/24=13/26, PM=5, MS=12
PR=PM+MR=5+24=29, QS=QM+MS=10+12=22.

3) Для искомой площади S четырехугольника PQRS имеем S=1/2QS⋅PR=1/2⋅22⋅29=319.

Ответ: 319.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

2017-04-25

3218. В году 12 месяцев. Посчитаем, сколько полных лет уложится в 52 месяцах:

12 + 12 + 12 +12 = 48 (месяцев). Значит, в 52 месяцах – 4 полных года.

Посчитаем,сколько месяцев остаётся: 52 – 48 = 4(месяца).

Мы выяснили, что 52 месяца – это 4 года и 4 месяца. Отнимем из 7 лет 4 года и 4 месяца.

Сначала посчитаем количество полных лет:

7 – 4 = 3(года), а затем отнимем ещё 4 месяца: 12 – 4 = 8(месяцев).

Так как было полных 3 года, а стало меньше на 4 месяца, то полных лет осталось на 1 меньше –2 года и 8 месяцев.

Ответ: 2 года и 8 месяцев.

3219. Вертолёт вмещает 5 человек, один из них – пилот, который будет всегда в кабине. Значит, будем считать, что вертолёт перевозит из Дракино (Д) в Конаково (К) по 4 человека за один раз, после чего возвращается за следующей группой пассажиров. Чтобы перевезти 19 пассажиров, вертолёту понадобится совершить полёт от точки до точки 9 раз.

Д - К = 4 пассажира и обратно,

Д - К = 3 пассажира.

Ответ: 9 раз.

3220. Чтобы ответить на вопрос, нужно сначала посчитать, сколько комбинаций можно

составить из данных цифр. 256, 526, 625,265, 562, 652 – всего 6 комбинаций.

Если на проверку 1 комбинации у Маши уходит 10 секунд, значит, на проверку 6 комбинаций

ей понадобится 60 секунд (10 х 6 = 60), а 60 секунд – это1 минута

Ответ: 1 минута.

3221. Известно, что Аня взяла треть больших квадратов, а это –

27 : 3 = 9(штук),

и, разрезав каждый на 4 части, сделала из них носовые платки. Значит, Аня сделала:

9 х 4 = 36 (носовых платков).

А ещё треть квадратов Аня разрезала каждый на 2 части и сделала шарфики. Значит, шарфиков было:

9 х 2 = 18 (шарфиков).

Оставшиеся 9 квадратов Аня не резала, значит, всего она сделала 18 шарфиков и

36 + 9 = 45(платков - носовых и побольше).

Ответ: 45 платков, 18 шарфиков.

3222. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Представим, чтодлина прямоугольника 3 см, а ширина 9 см, тогда площадь прямоугольника равна

3 х 9 = 27 (кв.см).

Уменьшим площадьв 9 раз:

27 : 9 = 3 (кв.см).

Значит,произведение сторон прямоугольника равно 3 см. Путём подбора можно выяснить,

что длина равна 1 см, а ширина 3 см, а это в 3 раза меньше, чем было:

3 : 3 = 1,

9 : 3 = 3.

Таким образом, с помощью подбора значений длины и ширины прямоугольника и соответствующих

вычислений можно прийти к выводу, что если площадь прямоугольника уменьшить в 9 раз,

то длина каждой из его сторон уменьшится в 3 раза.

Ответ: уменьшились в 3 раза.

3223.Кот Вася за 5 недель наловит 10 кг рыбы, значит, за 1 неделю он наловит

10 : 5 = 2 (кг).

Кот Филя за 2недели наловит 10 кг рыбы, значит, за 1 неделю он наловит

10 : 2 = 5 (кг).

Оба кота за 1неделю поймают рыбы

2 + 5 = 7 (кг).

Неделя – это 7 дней, значит, в день оба кота будут ловить рыбы

7 : 7 = 1 (кг).

Значит, 10 кг рыбы коты поймают за 10 дней.

Ответ: за 10 дней.

3224.После Маши остались билеты. Половину их раздала Катя, а остальные

(то есть вторую половину, 9 штук)раздала Таня. Получается, что Кате тоже досталось 9 билетов.

Вместе они раздали

9 + 9 = 18(билетов).

Известно, что Маша раздала половину всех билетов и ещё 2. Половина всех билетов – это:

18 + 2 = 20(штук).

А Маша раздала

20 + 2 = 22(билета).

Получается, что Таня раздала 9 билетов, Катя – 9 билетов, Маша – 22 билета.

Найдем общую сумму: 9 + 9 + 22 = 40(билетов).

Всего было 40 билетов.

Ответ: 40 билетов

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

2017-04-24

3211. (x+1)^3−x^3=331
x^3+3x^2+3x+1−x^3=331
3x^2+3x+1=331
3x^2+3x=330
x^2+x−110=0
По теореме Виета находим корни: 10 и −11.

По условию: x - натуральное число.

x=10;x+1=11
(10+11)^3=9261
Ответ: 9261.

3212.

Решить задачу графически.

Построить график функции: $y = | x^{2} - 2 x - 3 |$ .

При $a = 0$ и $a > 4$ два корня;

при $a = 4$ три корня;

при $0 < a < 4$ четыре корня;

при $a < 0$ нет корней.

Ответ: $4$ .

3213.Пусть это трёхзначное число: 100a+10b+c.

100a+10b+c=6(10a+c)
100a+10b+c=60a+6c
40a+10b−5c=0
8a+2b−c=0
c=8a+2b
c=8; a=1; b=0
Трёхзначное число: 108.

Ответ: 108.

3214.Пусть на x (руб.) - была снижена стоимость билета; y — число посетителей до снижения стоимости.

Старый сбор 1200y, новый сбор (1200−x)⋅1,5y.

По условию задачи:

1,25⋅1200y=(1200−x)⋅1,5y
1,25⋅1200=1800−1,5x
x=200
Ответ: 200

3215.

1 способ

Если часовая стрелка до того, как обе стрелки совпадут, успеет пройти $x$ минутных делений, то минутная стрелка за то же время пройдёт $(50 + x)$ минутных делений.

За одно и то же время часовая стрелка проходит $\frac{1}{12}$ того, что проходит минутная, значит:

$x = \frac{50 + x}{12}$

$x = \frac{50}{11}$ мин = $4 \frac{6}{11}$ мин

$50 + x = 54 \frac{6}{11}$ мин.

С точностью до целых: $55$ минут.

Ответ: $55$ .

2 способ

Понятно, что стрелки совпадут не позже, чем через два часа.

Пусть $m$ - прошедшее время в минутах, $h$ - в часах.

Угол минутной стрелки $m \cdot \frac{360}{60}$ , в градусах.

Угол часовой стрелки $h \cdot \frac{360}{12} + 10 \cdot \frac{360}{12}$ , в градусах. Второе слагаемое учитывает то, что в начальный момент часовая стрелка стоит на $10$ часах.

Переходим к минутам и приравниваем углы:

$m \cdot \frac{360}{60} = \frac{m}{60} \cdot \frac{360}{12} + 10 \cdot \frac{360}{12}$

С точностью до целых: $m = 55$ минут.

Ответ: $55$ .

3216.В условии задачи есть слово "обязательно", надо рассмотреть самый плохой вариант.

В наихудшем случае сначала будут взяты все синие, жёлтые и зелёные карандаши, затем достаточно взять 3 карандаша, это будут 3 красных.

Среди карандашей обязательно будут 3 красных и 2 зелёных.

8+9+7+3=27
Ответ: 27.

3217.Автобусы в посёлок приходят каждые 6+6:1,5=10 минут, значит, 6 автобусов за час.

Ответ: 6.

Задачи 3203 - 3210 проекта "Матема"

2017-04-23

3203. 8^5⋅5^17=2^15⋅5^15⋅5^2=10^15⋅5^2=25000000000000000.
Ответ: 17.

3204. 1) ax−a+3−x=0.
ax−x=a−3
(a−1)x=a−3
2) ax−a−3−x=0
ax−x=a+3
(a−1)x=a+3
Если a=1, то пара уравнений равносильна; у первого и у второго уравнения при a=1 нет корней, значит, они равносильны.
Ответ: 1.

3205.Легко угадывается частное решение: (10; 0)), значит, множество всех целых решений:

x=10+4n; y=−3n, где n - целое число.

Целые неотрицательные решения при значениях n: 0, −1, −2.

Три целых неотрицательных решения: (10; 0); (6; 3); (2; 6).

Ответ: 3.

3206. Число яблок в первой корзине делится на 9, а число яблок во второй корзине делится на 17.

В первой корзине 9x, во второй - 17y.

9x+17y=79
Решаем это неопределённое уравнение.

Решение в целых числах:

x=5+17n; y=2−9n
Единственное решение в натуральных числах:

x=5; y=2
В первой корзине 45, а второй - 34.

34:17⋅9=18.

Ответ: 18.

3207.Основание равнобедренного треугольника не может быть в 2 раза больше боковой стороны по неравенству треугольника, значит, боковая сторона в 2 раза больше основания.

Пусть x см - основание. 2x см - боковая сторона.

2x+2x+x=20
5x=20
x=4
Стороны треугольника: 4 см, 8 см и 8 см.

Боковые стороны - по 8 см, основание - 4 см.

Ответ: 4.

3208.В условии задачи есть слово "обязательно", надо рассмотреть самый плохой вариант.

В наихудшем случае сначала будут взяты все зелёные и синие карандаши, затем достаточно взять 3 карандаша, обязательно будет 2 красных или 2 жёлтых.

7+8+3=18
Ответ: 18.

2309. Автобусы в посёлок приходят каждые 10+10:2=15 минут, значит, 4 автобуса за час.
Ответ: 4.

2310. По кругу: 1) 153426; 2) 426153; 3) 163254; 4) 416325, начиная с любой вершины.

Задачи 3197 - 3202 проекта "Матема"

2017-04-21

3197.Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8.

Первая цифра может быть 2 или 4.

Цифры в записи числа не должны повторяться.

Первая цифра может быть 2 или 4, так как числа должны быть меньше, чем 500.

Цифры в записи числа не должны повторяться.

Вторая цифра не такая, как первая. Можно записать любую из четырёх оставшихся чётных цифр.

Третья цифра не такая, как первая и вторая. Можно записать любую из трёх оставшихся чётных цифр.

По правилу произведения: 2⋅4⋅3=24.

Ответ: 24.

3198. $A B C 0 - A B C = 1431$

По последним цифрам каждого числа находим значение $C$ :

$. . .0 - . . . C = . . .1$

$C = 9$

Подставляем найденное значение $C$ в равенство и находим $B$ :

$. . .90 - . . . B 9 = . . .31$

$B = 5$

Подставляем найденные значения $C$ и $B$ в равенство и находим $A$ :

$A 590 - A 59 = 1431$

$A = 1$

$1590 - 159 = 1431$

Это числа: $1590$ и $159$ .

$1590 + 159 = 1749$

Ответ: $1749$ .

3199.Во второй и третьей вместе 17 яблок, 17=8+9 - могут быть только такие слагаемые.

В третьей и четвёртой вместе 16 яблок, 16=7+9.

16=8+8 - не подходит, в каждой корзине разное число яблок.

В первой - 8:2=4, во второй - 8, в третьей - 9, в четвёртой - 7.

4+8+9+7=28.

Ответ: 28.

3200. Пусть было x- пятирублёвых монет, тогда 5x - двухрублёвых, десятирублёвых x, а рублёвых 35x.

1⋅35x+2⋅5x+5⋅x+10⋅x=120.
35x+10x+5x+10x=120
60x=120
x=2 - пятирублёвых монет, и столько же десятирублёвых

5x=10 - двухрублёвых монет

35x=70 - рублёвых монет

Всего монет: 70+10+2+2=84.

Ответ: 84.

3201. Автобусы в посёлок приходят каждые 5+5=10 минут, значит, 6 автобусов в час.

Ответ: 6.

3202. По 3 кубика на каждом ребре куба.

У куба 12 рёбер.

3⋅12=36.

Ответ: 36.

3203. Десять различных цифр, 0 - один из множителей.

На 0 делить нельзя. В знаменателе 0 быть не может, 0 в числителе.

Если один из множителей в числителе равен 0, значит, значение дробного выражения равно 0.

Ответ: 0.

Задача 3190 - 3196 проекта "Матема"

2017-04-20

3190. AB2−AB=317
Находим значение B по последним цифрам каждого числа:

...2−...B=...7
B=5
Подставляем найденное значение в равенство:

A52−A5=317
Находим значение A:

A=3
352−35=317
Двузначное число: 35.

Ответ: 35.

3191. 1 способ

Решаем задачу "с конца":

6⋅6=36
36−5⋅5=11
11+3⋅3=20
20⋅2⋅2=80
2 способ

Пусть x - задуманное число, составим и решим уравнение:

x:2:2−3⋅3+5⋅5=6⋅6
x:4−9+25=36
x:4+16=36
x:4=36−16
x:4=20
x=20⋅4
x=80
Ответ: 80.

3192. Пусть Тане x лет, тогда Ване - 5x лет.

5x−x=20
4x=20
x=5 лет Тане

5x=25 лет Ване

25−10=15 лет Ане

Ответ: 15.

3193. В условии задачи есть слово "обязательно", надо рассмотреть самый плохой вариант.

В наихудшем случае сначала будут взяты все синие карандаши, их 7.

Восьмой карандаш будет красным или зелёным.

7+1=8
Ответ: 8.

3194. Пусть было x деревьев, тогда скворцов было x+4.

x+4=4(x−2)
x+4=4x−8
3x=12
x=4
Было 4 дерева и 8 скворцов.

Ответ: 8.

3195. 36=6⋅6
Сторона квадрата - 6 см.

Ширина прямоугольника 6 см, а длина 30 см.

Периметр прямоугольника: 6+6+30+30=72 см.

Ответ: 72.

3196. 4ABC−ABC4=2871
Находим значение C по последним цифрам каждого числа:

...C−...4=...1
C=5
Подставляем найденное значение C в равенство и находим B:

4AB5−AB54=2871
...B5−...54=...71
B=2
Подставляем найденные значения C и B в равенство и находим A:

4A25−A254=2871
A=1
4125−1254=2871
Значение суммы: A+B+C=1+2+5=8
Ответ: 8.

Задачи 3183 - 3189 проекта "Матема"

2017-04-19

3183. 1 способ

Решаем задачу перебором всех возможных вариантов.

Восемнадцать чисел: $408$ , $480$ , $804$ , $840$ , $404$ , $440$ , $808$ , $880$ , $444$ , $888$ , $448$ , $484$ , $844$ , $848$ , $884$ , $488$ , $400$ , $800$ .

2 способ

По правилу произведения: $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ .

Ответ: $18$ .

3184.

$A B 5 - A B = 212$

По последним цифрам каждого числа находим значение $B$ .

$. . .5 - . . . B = . . .2$

$B = 3$

Подставляем найденное значение $B$ в равенство.

$A 35 - A 3 = 212$

Находим значение $A$ .

$A = 2$

$235 - 23 = 212$

$B = 3; A = 2$

Это числа $235$ и $23$ , их сумма равна: $235 + 23 = 258$ .

Ответ: $258$ .

3185. В каждой корзине разное число яблок, не менее одного и не более девяти.

$16 = 9 + 7$ - возможны только такие слагаемые.

$14 = 7 + 7$ - не подходит, должно быть разное число яблок, значит:

$14 = 5 + 9$

В первой - $5$ , во второй - $9$ , в третьей - $7$ .

Ответ: $9$ .

3186. Монет каждого достоинства было поровну.

$170 : (2 + 5 + 10) = 10$

По десять монет каждого достоинства:

$2 \cdot 10 + 5 \cdot 10 + 10 \cdot 10 = 170$

Всего было монет: $10 + 10 + 10 = 30$ .

Ответ: $30$ .

3187. Пусть $x$ лет - Ване сейчас, а через $12$ лет Ване будет - $3 x$ лет.

$x + 12 = 3 x$

$2 x = 12$

$x = 6$

Сейчас Ване $6$ лет.

Через $5$ лет Ване будет: $6 + 5 = 11$ лет.

Ответ: $11$ .

3188. 1 способ

Сторона квадрата: $20 : 4 = 5$ см.

Площадь квадрата: $5 \cdot 5 = 25$ кв. см.

Площадь прямоугольника в $3$ раза больше: $25 \cdot 3 = 75$ кв. см.

2 способ

Сторона квадрата: $20 : 4 = 5$ см.

Ширина прямоугольника $5$ см, а длина $5 \cdot 3 = 15$ см.

Площадь прямоугольника: $5 \cdot 15 = 75$ кв. см.

Ответ: $75$ .

3189. $1 * 2 + * 3 * - 45 = 678$

$1 * 2 + * 3 * = 723$

Сначала находим последнюю цифру второго слагаемого - это цифра $1$ :

$. . .2 + . . . * = . . .3$

Затем вторую цифру первого слагаемого - это цифра $9$ :

$. .92 + . .3 * = . . .23$

Затем первую цифру второго слагаемого - это цифра $5$ :

$192 + 531 = 723$

Сумма трёх пропущенных цифр: $9 + 5 + 1 = 15$ .

Ответ: $15$ .

Задача 3176 - 3182 проекта "Матема"

2017-04-18

3176. Пусть $A$ - однозначное число.

$A 1 - A = 73$

$73 + A = A 1$

К $73$ прибавили однозначное число, и значение суммы оканчивается на $1$ , значит, прибавили $8$ .

$73 + 8 = 81$

Ответ: $8$ .

3177.

$1$ способ

Решаем задачу "с конца":

$6 - 5 = 1$

$1 + 4 + 4 + 4 = 13$

$13 \cdot 2 = 26$

$2$ способ

Пусть $x$ - задуманное число, составим и решим уравнение:

$x : 2 - 4 - 4 - 4 + 5 = 6$

$x : 2 - 12 + 5 = 6$

$x : 2 - 7 = 6$

$x : 2 = 13$

$x = 26$

Ответ: $26$ .

3178. Пусть Даше $x$ лет, тогда Саше - $4 x$ лет.

$4 x - x = 12$

$3 x = 12$

$x = 4$

$4 x = 16$

Ответ: $16$ .

3179. Если Маша купит $7$ пирожков, то у неё останется $7$ рублей, а для покупки ещё одного пирожка не хватит $8$ рублей, значит, один пирожок стоит:

$7 + 8 = 15$ рублей.

У Маши было: $15 \cdot 8 - 8 = 15 \cdot 7 + 7 = 112$ рублей.

Ответ: $112$ .

3180.

$1$ способ

Если бы у всех было по $2$ ноги, то ног было бы $2 \cdot 10 = 20$ .

По условию задачи ног было $26$ .

$26 - 20 = 6$ - это ноги котят, у каждого котёнка ещё по $2$ ноги, $6 : 2 = 3$ .

$3$ котёнка и $10 - 3 = 7$ гусят.

$4 \cdot 3 + 2 \cdot 7 = 26$

$2$ способ

Если бы у всех было по $4$ ноги, то ног было бы $4 \cdot 10 = 40$ .

По условию задачи ног было $26$ .

$40 - 26 = 14$ - это лишние ноги, которые приписаны гусятам, по две каждому, значит, гусят было:

$14 : 2 = 7$

Ответ: $7$ .

3181. Первый набор отличается от второго тремя лишними тетрадями.

Три тетради стоят $90 - 30 = 60$ рублей.

Одна тетрадь: $60 : 3 = 20$ рублей.

Один блокнот: $30 - 20 = 10$ рублей.

Ответ: $10$ .

3182. $4 A B - A B 4 = 279$

Находим последнюю цифру уменьшаемого:

$. . . B - . . .4 = . . .9$

$B = 3$

Подставим найденное значение $B$ в равенство:

$4 A 3 - A 34 = 279$

$A = 1$

$413 - 134 = 279$

$A = 1, B = 3$

$A + B = 1 + 3 = 4$ .

Ответ: $4$

Задачи 3169 - 3175 проекта "Матема"

2017-04-17

3169.Девять чисел: $33$ , $35$ , $37$ , $53$ , $55$ , $57$ , $73$ , $75$ , $77$ .Ответ: $9$ .

3170.Первые $9$ цифр - для записи однозначных чисел.

$39 - 9 = 30$ - столько цифр для записи двузначных чисел.

$30 = 15 + 15$ ; двузначных чисел - $15$

$9$ страниц с однозначными числами и $15$ страниц с двузначными числами;

$9 + 15 = 24$ - страницы в тетради

Ответ: $24$ .

3171.В каждой корзине разное число яблок, не менее одного.

$6 = 5 + 1$

$4 = 1 + 3$

В первой - $5$ , во второй - $1$ , в третьей - $3$ .

Ответ: $5$ .

3172.

$(2 + 5) + (2 + 5) + (2 + 5) + (2 + 5) + (2 + 5) = 35$

Пять монет по $2$ рублей и пять монет по $5$ рублей.

$2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35$

Всего было монет: $5 + 5 = 10$ .

Ответ: $10$ .

3173.Сейчас Коле $7$ лет.

$5$ лет назад Коле было: $7 - 5 = 2$ года.

Ответ: $2$ .

3174.Половина всех конфет: $4 + 1 = 5$ .

Оля съела: $5 + 1 = 6$ конфет.

Ответ: $6$ .

3175. $75 + 35 - 10 = 100$

Сумма трёх пропущенных цифр: $7 + 5 + 1 = 13$ .

Ответ: $13$ .

Задачи 3159 - 3168 проекта "Матема"

2017-03-14

3159. x = –2.

3160. 670, 672 и 674.

3161. (x – y)(x + y + 3).

3162. a и c.

3163. 126°.

3164. 11, 12, 15, 24, 36.

3165. 115°.

3166. 23 стороны.

3167. 16 и 24 поезда.

3168. 1681.

Задачи 3149 - 3158 проекта "Матема"

2017-03-09

3149. 101 + 1/400.

3150. 16 конфет.

3151. 30 и 50.

3152. 55 человек.

3153. 3 дроби.

3154. 6, 7, 48, 6, 7, 48, 6, 7.

3155. 3528.

3156. 561 морковка.

3157. 26 чисел.

3158. 4 племянника.

Задачи 3141 - 3148 проекта "Матема"

2017-03-06

3141. 1/900.

3142. Например, 91 + 32 = 45 + 78 или 173 + 4 = 82 + 95. Есть и другие примеры.

3143. 89 деревьев.

3144. 27 солдат.

3145. 12:20.

3146. 4 тысячи рублей.

3147. 24.

3148. 12 очков.

Задачи 3132 -3140 проекта "Матема"

2017-02-20

3132.Если нынешний день 1 января, а День Рождения у Пети 31 декабря. Позавчера (30 декабря) ему было еще 17 лет, вчера (31 декабря) исполнилось 18 лет, в нынешнем году исполнится 19 лет, а в следующем 20.

3133.Премьер-министр вытащил листок бумаги и, не глядя на него, скатал из него шарик — и проглотил. Поскольку на оставшемся листке стояло -Уходите-, то королю пришлось признать, что на проглоченном листке значилось -Останьтесь-.

3134.На портрете изображен сын этого джентльмена.

3135.Восемь.

3136.15 градусов.

3137.Два разреза.

3138.Одна.

3139.Кнопка первого этажа.

3140.Холодильник.

Задачи 3126 -3131 проекта "Матема"

2017-02-19

3126. Об углах четырехугольника.

3127.Хотя часовые смотрят в противоположные стороны, стоят они не спиной к спине, а лицами друг к другу.

3128.Нет, так как через 72 часа снова будет полночь.

3129.Привязав веревку одним концом к дереву, растущему на берегу, необходимо обойти озеро с натянутой над водой веревкой и привязать второй конец веревки к тому же дереву. В результате между деревьями будет натянута сдвоенная веревка для переправы на остров.

3130.Этот человек – лилипут, и до кнопки 17-го этажа дотягивается только зонтиком или просит кого-нибудь нажать на эту кнопку.

3131.Например, если человеку 50 лет, а его внуку или внучке 1 месяц.

Задачи 3122 -3125 проекта "Матема"

2017-02-19

3122.Ответ:-50+60-70+80=20

3123.Они плыли с разных берегов.

3124.На одну чашку весов кладём кирпич. На другую кладём 2-х килограммовую гирю и пол-кирпича. Теперь разломим целый кирпич пополам и уберём по пол-кирпича с каждой чашки весов. Получаем: слева пол-кирпича, справа — 2-х килограммовая гиря. То есть пол-кирпича весит два килограмма. А два пол-кирпича, то есть целый кирпич, весит четыре килограмма.

3125.У Ивана были три сестры.

Задачи 3111 -3121 проекта "Матема"

2017-02-19

3111. Позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра.

3112. Шесть.

3113. Буква -О-

3114. Запятую.

3115. Да, 0 – 0.

3116. Цифра 9, числа 99, 999, ...

3117. Пять.

3118. Оба человека играли разные партии с другими людьми.

3119. Один час сорок минут равны ста минутам.

3120. Одинаково.

3121. Решение 1. Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно. Решение 2. Вначале крестьянин опять-таки перевозит козу. Но вторым можно взять капусту, отвезти ее на другой берег, оставить там и вернуть на первый берег козу. Затем перевезти на другой берег волка, вернуться за козой и снова отвести ее на другой берег.

Задача 3110 проекта "Матема"

2017-02-11

3110.21 см.

Задачи 3103 -3109 проекта "Матема"

2017-01-29

3103.Ответ: 40%.Решение. 80 + 60 – 100 = 40. Здесь проценты можно складывать и вычитать потому, что они берутся от одного числа — общего числа учеников класса.

3104.Ответ: 4 ученика. Решение 1. Всего в списках обоих кружков 15 + 21 =36 человек. Это больше количества дете̮й в классе,так как какие-то дети включены в оба списка (они ходят на оба кружка). Таких учеников 36 – 32 = 4 человека.

Решение 2. Сколько ребят ходит в математический кружок, но не ходят в музыкальный ? Ответ: 32 – 15 = 17. Сколько ребят ходит в музыкальный кружок, но не ходят в математический ? Ответ: 32 – 21 = 11. Из ответов на эти вопросы складывается другое решение. Только на математический кружок ходит 17 человек, только на музыкальный кружок — 11 человек. Значит, 32 – 17 – 11 = 4 человека ходит в оба кружка.

3105.Ответ: 8 мальчиков. Решение. Задача практически идентична задаче про кружки, за одним исключением — есть Вовочка, который никуда не ходит. Тогда из суммарного числа детей из списков нужно будет вычесть не 29, а 28: (15 + 21) – 28 = 8.

3106.Ответ: 279 .Решение. Чисел вида **12 всего 9 x 10 = 90; чисел вида *12* также 9 x 10 = 90; чисел вида 12** всего 10 x 10 = 100. Заметим, что только одно число учтено дважды: 1212 посчитали и в первой группе, и в третьей. Значит, всего 90 + 90 + 100 – 1 = 279 чисел.

3107.Ответ. 18 м/мин. Решение. Валентин пробегает 50 ∙ 60 = 3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин

3108. Ответ: 500 м. Решение. Пока поезд едет мимо столба, он преодолевает расстояние, равное длине поезда. Так как 60 км/ч = 1000 м/мин, то за полминуты поезд проедет 500 м, что равно длине поезда.

3109.Ответ: 10999. Решение. Первые две цифры — наименьшие из возможных, остальные обязаны быть девятками.

Задачи 3091 -2102 проекта "Матема"

2017-01-26

3091. 20.

3092. 23.

3093. 301.

3094. 16.

3095. 180.

3096. 25.

3097. 19,35.

3098. 20.

3999. 334.

3100. 146,5.

3101.680.

3102. 2018.

Задачи 3087 - 3090 проекта "Матема"

2017-01-24

3087.Пусть производительность первой бригады - $x$ , второй - $y$ , третьей - $z$ , четвертой - $t$ . Найти $\frac{1}{z + t}$ .

По условию: ${\begin{cases} y + z + t = 4 x, \\ x + z + t = 3 y, \\ x + y = \frac{1}{11} . \end{cases}$

Найдем $z + t$ - производительность третьей и четвертой бригад:

$4 x - y = 3 y - x; 5 x = 4 y; x = \frac{4}{5} y$ . Подставим в третье уравнение:

$\frac{4}{5} y + y = \frac{1}{11}, y = \frac{5}{99}, x = \frac{4}{99}$ .

$z + t = 4 \cdot \frac{4}{99} - \frac{5}{99}$ , $z + t = \frac{1}{9}$ .

Тогда третьей и четвертой бригадам понадобится $1 : \frac{1}{9} = 9$ (дней).

Ответ: $9$ .

3088. ( $\frac{c + 7}{c - 4} = \frac{c - 4 + 11}{c - 4} = 1 + \frac{11}{c - 4}$ , поэтому исходное число будет целым, если $11$ кратно $c - 4$ ,

$11$ - простое число, значит, его делителями будут $- 11; - 1; 1; 11$ .

Решим четыре уравнения: $c - 4 = - 11; c - 4 = - 1; c - 4 = 1; c - 4 = 11$ .

Получим: $c = - 7; c = 3; c = 5; c = 15$ . Всего четыре числа.

Ответ: $4$ .

3089. $∠ B C A = ∠ C A D$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $B C$ и $A D$ .

Треугольник $A B C$ - равнобедренный, $A B = B C = 15$ .

$h = B M = A B \cdot s i n ∠ A = 15 \cdot s i n ∠ A$ .

$S_{A B C D} = \frac{B C + A D}{2} \cdot h = \frac{25 + 15}{2} \cdot 15 s i n ∠ A = 300 s i n ∠ A$

Рассмотрим $△ A B D$ :

$c o s ∠ A = \frac{A B}{A D} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

$s i n ∠ A = \sqrt{1 - c o s^{2} ∠ A} = \frac{4}{5}$ .

$S_{A B C D} = 300 \cdot \frac{4}{5} - 240$ .

Ответ: $240$ .

3090.Так как четырехугольник вписан в окружность, то $A C \cdot M B = M A \cdot B C + M C \cdot A B$ (по теореме Птолемея).

Так как $A B = A C = B C$ , то

$A C \cdot M B = M A \cdot A C + M C \cdot A C$

$M B = M A + M C$ .

Следовательно, $M C = M B - M A = 10 - 2 = 8$ .

Ответ: $8$ .

Задачи 3081 -3087 проекта "Матема"

2017-01-23

3081. Первые $9$ мест занимают однозначные числа.

Затем идут все двузначные, их $90$ , каждое из них записывается двумя цифрами. Значит, для записи всех двузначных потребуется $180$ цифр.

$400 - 9 - 180 = 211$ - столько мест занимают трёхзначные числа.

$211 : 3 = 70$ (ост. $1$ )

$70$ первых трёхзначных чисел будут записаны полностью, а $71$ -е - только одна первая цифра.

Первое трёхзначное число - $100$ , второе - $101$ , ..., $70$ -е - $169$ .

Первая цифра $71$ -го трёхзначного числа - $1$ .

На четырёхсотом месте - цифра $1$ .

Ответ: $1$ .

3062. $k \cdot k \cdot x + 7 = k (x + 7)$

$k \cdot k \cdot x + 7 = k x + 7 k$

$k \cdot k \cdot x - k x = 7 k - 7$

$k \cdot (k - 1) \cdot x = 7 (k - 1)$

Если $k = 0$ , то $0 = - 7$ , решений нет.

Если $k = 1$ , $x$ - любое число.

Если $k \neq 0$ и $k \neq 1$ , то $x = \frac{7}{k}$ .

Ответ: $0$ .

3083. $| 8 - 5 x | = 6 a - 18 + 6$

$| 8 - 5 x | = 6 a - 12$

$| 8 - 5 x | = 6 (a - 2)$

Если $a > 2$ , то два корня;

если $a = 2$ , то один корень;

если $a < 2$ , то корней нет.

Ответ: $2$ .

3084. Сейчас возраста Ани, Тани и Вани: $x + 15; 3 x + 15; 6 x + 15$ .

$(x + 15) : (3 x + 15) = 2 : 3$

$3 x + 45 = 6 x + 30$

$3 x = 15$

$x = 5$

$6 x + 15 = 45$ .

Ване сейчас $45$ лет.

Ответ: $45$ .

3085. Пусть $x$ - скорость пловца, $y$ - скорость течения реки.

$(90 : (x + y))$ $\cdot$ $(y - x) = 30$

$(y - x) : (x + y) = \frac{1}{3}$

$3 y - 3 x = y + x$

$2 y = 4 x$

$y = 2 x$

В $2$ раза скорость течения реки больше, чем скорость пловца.

Ответ: $2$ .

3086. Пусть $A B = x$ см, тогда $A C = 30 - x - (4 + 8) = 18 - x$ см.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

$\frac{4}{8} = \frac{x}{18 - x}$

$\frac{1}{2} = \frac{x}{18 - x}$

$2 x = 18 - x$

$3 x = 18$

$x = 6$ (см)

Ответ: $6$ .

3087. Может ли четырёхзначное число вида $A B A B$ , где $A$ и $B$ - цифры, быть квадратом натурального числа?

3087. $A B A B = A B \cdot 101$

$101$ - простое число; $101^{2} = 10201$ , $10201 > A B A B$

Четырёхзначное число вида $A B A B$ , где $A$ и $B$ - цифры, не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: нет.

Задачи 3079 -3080 проекта "Матема"

2017-01-23

3079. Пусть $x$ (см) - сторона квадрата.

$x + 6$ (см) - длина прямоугольника; $x - 3$ (см) - ширина прямоугольника.

Площадь квадрата: $x^{2}$ (кв.см $^{2})$ .

Площадь прямоугольника: $(x + 6) (x - 3)$ (кв.см $^{2})$ .

$(x + 6) (x - 3) - x^{2} = 12$

$x^{2} - 3 x + 6 x - 18 - x^{2} = 12$

$3 x = 30$

$x = 10$ (см) - сторона квадрата

$x + 6 = 16$ (см) - длина прямоугольника

$x - 3 = 7$ (см) - ширина прямоугольника

Периметр прямоугольника: $2 (16 + 7) = 46$ (см).

Ответ: $46$ .

3080. $8642$ - делится на $2$ , но не делится на $4$ .

Пусть $a^{2}$ и $b^{2}$ - квадраты двух натуральных чисел.

Допустим, $a^{2} - b^{2} = 8642$ .

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Разность $a^{2} - b^{2}$ чётна, значит, чётны $(a - b)$ и $(a + b)$ , значит, разность $a^{2} - b^{2}$ должна делится на $4$ .

$8642$ не делится на $4$ , значит, нельзя число $8642$ представить как разность квадратов двух натуральных чисел.

Ответ: нет

3081. Обозначим через n число людей , являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков равно 7n, а число философов— 9n, что больше, нежели 7n. Ответ: философов больше

Задачи 3074 -3078 проекта "Матема"

2017-01-22

3074.Первые $9$ мест занимают однозначные числа.

$200 - 9 - 180 = 11$ - столько мест занимают трёхзначные числа.

Числа $100, 101, 102$ записаны полностью, они занимают $9$ мест, а число $103$ - только первые две цифры.

На двухсотом месте - цифра $0$ .

Ответ: $0$ .

3075. $5 k x + 7 = 5 (2 x - 3)$

$5 k x + 7 = 10 x - 15$

$5 k x - 10 x = - 15 - 7$

$5 (k - 2) x = - 22$

При $k = 2$ левая часть равенства равна $0$ , а правая равна $- 22$ , корней нет.

Ответ: $2$ .

3076. $| x + 1 + | - x - 3 | | = x + 6$

$x + 6 ⩾ 0; x ⩾ - 6$

$1) x + 1 + | - x - 3 | = x + 6$

$| - x - 3 | = 5$

$- x - 3 = 5; x = - 8$ (не подходит, $x ⩾ - 6$ )

$- x - 3 = - 5; x = 2$

$2) x + 1 + | - x - 3 | = - x - 6$

$| - x - 3 | = - 2 x - 7; - 2 x - 7 ⩾ 0$

$- x - 3 = - 2 x - 7; x = - 4$

$- x - 3 = 2 x + 7; x = - \frac{10}{3}$ (не подходит, $- 2 x - 7 ⩾ 0$ )

Уравнение имеет два корня: $2; - 4$ .

Ответ: $2$ .

3077.Сейчас Юле $x$ лет, а Юре $30 - x$ .

Юре будет $4 x$ . Вместе им будет $5 (30 - x)$ , значит, Юле будет $5 (30 - x) - 4 x$ .

Пройдёт одно и тоже число лет:

$4 x - (30 - x) = 5 (30 - x) - 4 x - x$

$15 x = 180$

$x = 12$

Юле сейчас $12$ лет.

Ответ: $12$ .

3078.Пусть $x$ (м/мин) - скорость эскалатора, $y$ (м/мин) - скорость первого человека; $L$ (м) - длина эскалатора.

$\frac{L}{x + y} = \frac{1}{2}$ (мин); $\frac{L}{x + 3 y} = \frac{1}{4}$ (мин)

$x = y$

$\frac{L}{y} = \frac{L}{x} = 1$ (мин) = $60$ (с)

Ответ: $60$ .

Задачи 3072 -3073 проекта "Матема"

2017-01-22

3072. По условию задачи: А = 2К; С = К - 13, А + К + С < 50, А + К + С — простое число.

$11 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6$

Простыми числами, меньшими $50$ , с суммой цифр $11$ , могут быть числа $29$ и $47$ .

Подходит только $47$ .

Всего было $47$ карандашей; у Кати $15$ , у Саши $2$ , у Ани $30$ .

Ответ: $15$ .

3073. $9009 = 9 \cdot 1001 = 9 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$

$9009 = (9 \cdot 13) \cdot 11 \cdot 7 = 117 \cdot 11 \cdot 7 = A A B \cdot A A \cdot B$

$A = 1, B = 7$

Значение суммы: $A + B = 1 + 7 = 8$

Ответ: $8$ .

Задачи 3067 - 3071 проекта "Матема"

2017-01-21

3067. $15$ % от $40$ - это $6$

$40 \cdot 0, 15 = 6$

$\frac{2}{3} \cdot x = 6$

$x = 6 : \frac{2}{3}$

$x = 9$

Ответ: $9$ .

3068. $60 = 2 \cdot 3 \cdot 10$

Применить признаки делимости на $3$ , на $10$ , на $20$ .

Сумма цифр числа - $3$ , последняя цифра - $0$ , предпоследняя цифра - чётная.

$7$ чисел: $11100, 12000, 10200, 10020, 21000, 20100, 30000$ .

Ответ: $7$ .

3069.Пусть все числа стали равны $x$ .

Тогда первоначально числа были равны: $x - 2$ , $x + 2$ , $\frac{x}{2}$ , $2 x$ .

$x - 2 + x + 2 + \frac{x}{2} + 2 x = 45$

$4, 5 x = 45$

$x = 10$

$8 + 12 + 5 + 20 = 45$

Наибольшее из этих чисел: $20$ .

Ответ: $20$ .

3070.Пусть $x$ (лет) - было сестре, тогда Коле было $2 x$ (лет).

Сейчас Коле $3 x$ (лет), через $20$ лет ему будет $3 x + 20$ (лет).

Сейчас Оле $2 x$ (лет), через $20$ лет ей будет $2 x + 20$ .

$3 x + 20 + 2 x + 20 = 100$

$5 x + 40 = 100$

$5 x = 60$

$x = 12$

$2 x = 24$

Ответ: $24$ .

3071.Пусть $S$ (км) - расстояние.

$\frac{S}{6} - \frac{S}{8} = 2$

$\frac{4 S}{24} - \frac{3 S}{24} = \frac{48}{24}$

$S = 48$ (км)

$48 : 12 = 4$ (ч)

Ответ: $4$ .

Задачи 3060 -3066 проекта "Матема"

2017-01-20

3060. $1$ способ

Четверть от $240$ - это $60$ .

Половина от $60$ - это $30$ (треть числа), значит, число равно $90$ .

$2$ способ

Пусть $x$ - задуманное число, составим и решим уравнение:

$\frac{2}{3} \cdot x = \frac{1}{4} \cdot 240$

$\frac{2}{3} \cdot x = 60$

$x = 60 : \frac{2}{3}$

$x = 90$

Ответ: $90$ .

3061. Сумма цифр числа равна $7$ , цифры разные, возможные наборы цифр: $0, 1, 6; 0, 2, 5; 0, 3, 4; 1, 2, 4$ .

$7 = 0 + 1 + 6$

$7 = 0 + 2 + 5$

$7 = 0 + 3 + 4$

$7 = 1 + 2 + 4$

Последняя цифра числа - чётная, первая не может быть $0$ .

Получаем $13$ чисел: $106, 160, 610, 250, 502, 520, 304, 340, 430, 124, 142, 214, 412$ .

Ответ: $13$ .

3062. Нуль в конце произведения появляется при умножении числа, кратного $5$ , на чётное число.

Чисел, кратных $5$ , от $1$ до $300$ включительно меньше, чем чётных чисел.

Надо сосчитать числа, кратные $5$ , кратные $25$ и кратные $125$ .

Если в разложении на простые множители число содержит несколько $5$ , то число нулей будет больше, чем один.

Так, например, $25 \cdot 4 = 100; 125 \cdot 8 = 1000$ .

$25 = 5 \cdot 5$ (два нуля)

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5$ (три нуля)

$300 : 5 = 60$ - столько чисел, делящихся на $5$

$300 : 25 = 12$ - столько чисел, делящихся на $25$

$300 : 125 = 2$ (ост. $50$ ) - два числа, делящихся на $125$

Итого нулей: $60 + 12 + 2 = 74$ .

Ответ: $74$ .

3063. $10$ лет назад сыну было $x$ лет, а отцу $10 x$ лет.

$4$ года назад сыну было $x + 6$ лет, а отцу $10 x + 6$ лет.

$4$ года назад отец старше сына в $4$ раза.

$10 x + 6 = 4 (x + 6)$

$10 x + 6 = 4 x + 24$

$6 x = 18$

$x = 3$

Сейчас сыну $3 + 10 = 13$ лет

Ответ: $13$ .

3064. Скорость сближения поездов: $90$ км/ч = $25$ м/с.

$25$ м/с $\cdot$ $8$ с = $200$ м

Ответ: $200$ .

3065. Пусть $a$ и $b$ - стороны прямоугольника (см).

$a \cdot b = 90$

Одна из сторон прямоугольника - число, делящееся на $5$ .

Допустим $a = 5$ (см), тогда $b = 90 : 5 = 18$ (см), $18 - 5 = 13$ (см), не подходит, по условию "длина больше ширины на $9$ см."

Допустим $a = 10$ (см), тогда $b = 90 : 10 = 9$ (см), $10 - 9 = 1$ (см), не подходит, по условию "длина больше ширины на $9$ см."

Допустим $a = 15$ (см), тогда $b = 90 : 15 = 6$ (см), $15 - 6 = 9$ (см), подходит, по условию "длина больше ширины на $9$ см."

Значения $a$ , равные $20; 25; 30; 35; 40; 45$ не подходят.

Стороны этого прямоугольника: ширина $6$ см; длина $15$ см.

Периметр прямоугольника: $2 (6 + 15) = 42$ (см).

Ответ: $42$ .

3066. $T O K + T O + T = O K O$

К трёхзначному числу прибавляется двузначное и однозначное.

$O = T + 1$ .

Последние цифры $. . . K + . . . O + T = . . . O$ .

$K + T = 10$

Вторая цифра суммы $. . . O . . . + . . . T . . . + 1 = . . . K . . .; . . O . . . + . . . O . . . = . . . K . . .$

$K$ - чётное число, значит, $T$ - тоже чётное число ( $K + T = 10$ ).

$3 < T < 9$

Из двух значение $T$ ( $6$ и $8$ ) подходит только одно значение: $T = 6$ .

$T = 6; O = 7; K = 4$

$674 + 67 + 6 = 747$

$K + O + T = 4 + 7 + 6 = 17$

Ответ: $17$

Задачи 3053 -3059 проекта "Матема"

2017-01-19

3053. Треть от $48$ - это $16$ . Половина числа - это $16$ , значит, число равно $32$ . Ответ: $32$ .

3054. $14$ чисел: $123, 132, 213, 231, 312, 321, 402, 420, 204, 240, 105, 150, 501, 510$ . Ответ: $14$ .

3055. Решаем задачу "с конца": $15; 155; 56; 156; 468$ .

Получилось $15$ , значит, до отбрасывания цифры $5$ было $155$ ; до прибавления $99$ было $155 - 99 = 56$ ; до вычитания $100$ было $56 + 100 = 156$ ; до деления на $3$ было $468$ . Ответ: $468$ .

3056. Шесть лет назад Маше было $x$ лет, а Ване $3 x$ лет.

Сейчас Маше $x + 6$ лет, а Ване $3 x + 6$ лет.

Сейчас Ваня в $2$ раза старше Маши.

$3 x + 6 = 2 (x + 6)$

$3 x + 6 = 2 x + 12$

$x = 6$

Сейчас Маше $6 + 6 = 12$ лет

Ответ: $12$ .

3057. Три четверти нового остатка - это $3$ тетради, значит, четверть нового остатка - $1$ тетрадь.

Миша взял $1$ тетрадь.

Новый остаток - $4$ тетради, это две трети первого остатка.

Треть первого остатка - $2$ тетради.

Коля взял $2$ тетради.

Половина всех тетрадей: $2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6$ .

Саша взял $6$ тетрадей.

Ответ: $6$ .

3058. Стороны этого прямоугольника: ширина $2$ см; длина $8$ см.

Площадь этого прямоугольника: $2 \cdot 8 = 16$ (см $^{2}$ ).

Площадь квадрата: $8 \cdot 8 = 64$ (см $^{2}$ ).

$64 : 16 = 4$

Ответ: $4$ .

3059. $514 - 145 = 369$

$A + B = 1 + 4 = 5$

Ответ: $5$ .

Задачи 3047 - 3053 проекта "Матема"

2017-01-18

3047. $11$ чисел: $95, 59, 84, 48, 73, 37, 62, 26, 51, 15, 40$ . Ответ: $11$ .

3048. $6$ чисел: $300, 210, 201, 120, 102, 111$ . Ответ: $6$ .

3049. Решаем задачу "с конца": $13; 134; 35; 70$ .

Получилось $13$ , значит, до отбрасывания цифры $4$ было $134$ ; до прибавления $99$ было $134 - 99 = 35$ ; до деления на $2$ было $70$ .

Ответ: $70$ .

3050. Пять лет назад Маше было $7 - 5 = 2$ года. Ване было пять лет назад $2 \cdot 5 = 10$ лет. Сейчас Ване $10 + 5 = 15$ лет.

Ответ: $15$ .

3051.Две трети остатка - это $2$ тетради, значит, треть остатка - $1$ тетрадь.

Половина всех тетрадей: $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ .

Оля взяла $5 + 2 = 7$ тетрадей.

Ответ: $7$ .

3052. Стороны одного прямоугольника: ширина $2$ см; длина $7$ см.

Стороны другого прямоугольника: ширина $5$ см; длина $7$ см.

Периметр другого прямоугольника: $5$ см + $7$ см + $5$ см + $7$ см = $24$ см.

Ответ: $24$ .

3053. $135 + 13 + 1 = 149$

$A + B + C = 1 + 3 + 5 = 9$

Ответ: $9$ .

Задачи 3040 - 3046 проекта "Матема"

2017-01-17

3040. Треть числа $36$ - это $12$ . Половина от $12$ - это $6$ . Ответ: $6$ .

3041. $98 + 10 = 108$ Ответ: $108$ .

3042. $4$ раза по $4$ - это $16$ .

$5$ раз по $5$ - это $25$ .

$x + 16 - 25 = 40$

$x - 9 = 40$

$x = 40 + 9$

$x = 49$

Ответ: $49$ .

3043. Сейчас трём братьям вместе $13 + 3 + 3 + 3 = 22$ года.

Через $13$ лет каждый из них станет на $13$ лет старше, значит, им вместе будет $22 + 13 + 13 + 13 = 61$ год.

Ответ: $61$ .

3044. $5 - 3 = 2$ тетради.

$2$ тетради стоят $30 + 20 = 50$ рублей, значит, одна тетрадь стоит $25$ рублей.

У Маши $25 + 25 + 25 + 30 = 105$ рублей.

Ответ: $105$ .

3045. $4$ сливы - это две трети остатка, значит, треть остатка - $2$ сливы.

Половина всех слив: $2 + 2 + 2 = 6$ слив.

Ваня съел: $6 + 2 = 8$ слив.

Ответ: $8$ .

3046. $91 - 19 = 72$

$9 + 1 = 10$ .

Ответ: $10$ .

Задачи 3033 -3039 проекта "Матема"

2017-01-16

3033. Половина числа $16$ - это $8$ . Половина от $8$ - это $4$ . Ответ: $4$ .

3034. Шесть чисел: $15, 24, 33, 42, 51, 60$ . Ответ: $6$ .

3035. $3$ раза по $5$ - это $15$ .

$x + 15 = 25$

$x = 25 - 15$

$x = 10$

Ответ: $10$ .

3036. Каждый из них станет на $5$ лет старше, значит, им вместе будет $20 + 5 + 5 + 5 = 35$ лет. Ответ: $35$ .

3037. Маша + Катя + Катя + Света + Маша + Света = $60$ книг.

Это удвоенное число книг Маши, Кати и Светы.

Маша + Катя + Света = $30$ книг.

Маша + Света = $20$ книг, значит, у Кати $30 - 20 = 10$ книг.

Ответ: $10$ .

3038. Белых - $1$ , красных - $9$ , синих - $1$ .

Ответ: $1$ .

3039. $A B + A B = 60 - A B$

$A B + A B + A B = 60$

$A B = 20$

$A + B = 2 + 0 = 2$

Ответ: $2$ .

Задачи 3023 -3032 проекта "Матема"

2017-01-13

3023. 1568.

3024. 10,5.

3025. 1200.

3026. 495.

3027. 5/24.

3028. 74.

3029. 2.

3030. 85.

3031.8.

3032. Первому 6, второму 0.

Задачи 3018 -3022 проекта "Матема"

2017-01-10

3018.3 мандарина.

3019.Да.

3020.22 рыбки.

3021.Большой петух весил 16 фунтов, а поменьше – 4 фунта.

3022.Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков, но собака за 5 скачков из 6 пробежит то же расстояние, что заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку. Поскольку в начальный момент расстояние между зайцем и собакой было равно 40 скачкам собаки, то собака догонит зайца через 40*6 =240 скачков.

Задачи 3011 -3017 проекта "Матема"

2017-01-09

3011. 1288.

3012. 9.

3013. 252.

3014. 64.

3015. 177.

3016. Нет.

3017. 634.

Задача 3009 - 3010 проекта "Матема"

2017-01-04

3009. Рассмотрим варианты очков, которые может получить Миша за 2 бросания дротика:
3+3=6
6+6=12
11+11=22
3+6=9
3+11=14
6+11=17.
Значит, он не может набрать только 15 и 13.Ответ: 15, 13.

3010. Данная последовательность формируется следующим образом: подряд выписываются двузначные числа, начиная с 11, а затем их делят на новые числа, беря 3 цифры подряд из ряда. 111213141516171819202122232425, т. е. 111 | 213 | 141 | 516 | 171 | 819| 202 | 122 | 232 | 425. Таким образом, получаем следующие два члена последовательности: 232, 425.

Задачи 3008 - 3009 проекта "Матема"

2017-01-02

3008. Решение. Остаток от деления $17$ на $4$ равен $1$ . Выигрышная стратегия для второго игрока: второй должен брать всегда столько, чтобы вместе со своим противником взять $4$ камня. Ответ: выиграет второй при правильной игре.

3009. Решение. Выиграет второй игрок в любом случае. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков, а затем делать симметричные ходы. Ответ: выиграет второй при правильной игре.

Задача 3007 проекта "Матема"

2017-01-01

3007. Пусть красного зелья надо взять х л, зеленого - у л. Тогда получаем систему из двух уравнений: х + у = 5, (12/15)х +(7/10)у = (19/25) (х +у).

Ответ: 3 л красного зелья и 2 л зеленого зелья

Задача 3006 проекта "Матема"

2016-12-29

3006. Астрономия.

Задачи 3004 -3005 проекта "Матема"

2016-12-28

3004. 1.

3005. 9.

Задачи 3003 проекта "Матема"

2016-12-26

3003. 180 градусов.

Задачи 3001 - 3002 проекта "Матема"

2016-12-22

3001. 16.

3002. 9.

Задачи 2999 -3000 проекта "Матема"

2016-12-18

2999. 27.

3000. 681.

Задачи 2997 -2998 проекта "Матема"

2016-12-18

2997. Маше 11, Пете 7.

2998. 8.

Задачи 2994 -2996 проекта "Матема"

2016-12-17

2994. 3.

2995. 90 с.

2996. 95 м.

Задачи 2992 -2993 проекта "Матема"

2016-12-11

2992.19 + 98 + 81 = 198.

2993. 15 и 376.

Задача 2991 проекта "Матема"

2016-12-11

2991. https://plus.olimpiada.ru/example_cards/1

Задачи 2987 -2990 проекта "Матема"

2016-11-20

Ответы:

2987. 2018.

2988. 105 градусов.

2989. 4,4.

2990. 301.

Задачи 2984-2986 проекта "Матема"

2016-10-25

2984.При каких значениях параметра $m$ уравнение $2 x - 3 = m (\frac{x}{3} + 4) - 1$ не имеет корней?

(8m^2−8)/(m^3−1) : (4m+4)/(m^2+m+1) $\frac{8 m^{2} - 8}{m^{3} - 1} : \frac{4 m + 4}{m^{2} + m + 1} = 2$ .

$\frac{m + 2}{1 - m} - 2 = \frac{3 m}{1 - m}$ .

$\frac{3 m}{1 - m} : m = \frac{3}{1 - m}$ .

$\frac{3}{1 - m} + \frac{2 + m}{m - 1} = 1$ .

Ответ: $1$ .

2985.

$1 - \frac{18}{x} + \frac{72}{x^{2}} ⩾ 0$ .

При $x \neq 0$ , решаем неравенство $x^{2} - 18 x + 72 ⩾ 0$ .

Ответ: $(- \infty; 0) \cup (0; 6] \cup [12; \infty)$ .

2986.Пусть третий сплав содержит $x$ частей первого и $y$ частей второго сплава, т.е. на $x$ кг первого сплава приходится $y$ кг второго сплава. Тогда в $(x + y)$ кг третьего сплава содержится ( $\frac{1}{3} x + \frac{3}{7} y$ кг первого металла и ( $\frac{2}{3} x + \frac{4}{7} y$ кг второго металла.

По условию (( $\frac{\frac{1}{3} x + \frac{3}{7} y}{\frac{2}{3} x + \frac{4}{7} y} = \frac{15}{22}$ .

Разделив числитель и знаменатель на $y$ , получим:

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{3}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{4}{7}} = \frac{15}{22}$ , откуда $\frac{x}{y} = \frac{9}{28}$ .

Ответ: $9 : 28$

2987.При каких значениях параметра $m$ уравнение $2 x - 3 = m (\frac{x}{3} + 4) - 1$ не имеет корней?

$(2 - \frac{m}{3}) x = 4 m + 2$ .

При $2 - \frac{m}{3} = 0$ , т.е. $m = 6$ уравнение примет вид: $0 \cdot x = 26$ (ложно); нет решения.

Ответ: при $m = 6$ уравнение не имеет решений.

2988.Первое число. Пусть в нем $x$ - число десятков, $y$ - число единиц.

Тогда $10 x + y = x^{2} + y^{2} - x y$ .

Второе число на $11$ больше первого, поэтому

$10 (x + 1) + (y + 1) = (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} - (x + 1) (y + 1)$ .

Вычитая из второго равенства первое, получим $x + y = 10$ .

Условию задачи удовлетворяют только $x = 3$ и $y = 7$ . Первое число $37$ , второе $48$ .

Ответ: $48$ .

2989.Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны $9$ дм и $5$ дм. Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько граммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка $A B$ равна $3$ дм, а на $1$ квадратный дециметр поверхности расходуется $15$ г краски?

Решение Так как треугольник $A M K$ - равнобедренный, то вершина $A$ лежит на прямой $C D$ , перпендикулярной $M K$ . Аналогично $B \in C D$ .

Тогда $C D ∥ M P$ , $B A M P$ - трапеция.

Площадь фигуры равна удвоенной площади трапеции

$S = 2 \cdot \frac{A B + M P}{2} \cdot \frac{M K}{2} = \frac{(3 + 9) \cdot 5}{2} = 30$ (квадратных дециметров).

Расход краски равен $30 \cdot 15 = 450$ (г).

Ответ: $450$

2990.В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус угла при основании треугольника равен $\frac{12}{13}$ . Радиус $O M$ пересекает под прямым углом боковую сторону в точке $K$ . Найдите длину отрезка $O K$ .

Решение или указание:

Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только острым, значит, центр $O$ с вершиной $A$ лежит по одну сторону от хорды $B C$ . Тогда $∠ B O C$ - центральный угол, соответствующий углу $A$ . Отсюда $∠ B O C = 2 ∠ A$ .

$△ B O C$ - равнобедренный, $O K$ - высота, проведенная к основанию, тогда $O K$ - биссектриса угла $O$ , отсюда: $∠ B O K = ∠ B O C : 2 = ∠ B A C$ .

$△ B O K$ : $∠ K = 90^{\circ}, O B = 13, s i n ∠ B O K = \frac{12}{13}$ .

$\frac{12}{13} = \frac{B K}{13}, B K = 12, O K = 5$ .

Ответ: $5$ .

Задачи 2979 - 2983 проекта "Матема"

2016-10-24

2979. $(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 2 a b$

Числа $a$ и $b$ - различные, значит, $0$ и $2$ - не подходят.

Нечётные числа $5$ и $9$ тоже не подходят.

Подходит только число $8$ .

Ответ: $8$ .

2980.Пусть $x$ - числитель дроби до её сокращения, тогда $4140 - x$ - знаменатель.

$\frac{x}{4140 - x} = \frac{7}{13}$

$13 x = 28980 - 7 x$

$20 x = 28980$

$x = 1449$

Ответ: $1449$ .

2981.Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $| x + 20 | - 40 = 60; | x + 20 | = 100; x = 80$ и $x = - 120$ ;

2) $| x + 20 | - 40 = - 60; | x + 20 | = - 20$ (решений нет).

Корни уравнения: $80; - 120$ .

Больший корень уравнения: $80$ .

Ответ: $80$ .

2982. $a^{2} x - 8 = 64 x - a$

$a^{2} x - 64 x = - a + 8$

$(a^{2} - 64) x = - (a - 8)$

$(a - 8) (a + 8) x = - (a - 8)$

Если $a \neq \pm 8$ , то $x = \frac{- 1}{a + 8}$ .

Если $a = - 8$ , то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 16$ и не имеет решений.

Если $a = 8$ , то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$ , $x$ – любое число.

Ответ: $8$ .

2983.Мальчиков без троек: $0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 12$ .

Девочек без троек: $(1 - 0, 4) \cdot 0, 5 = 0, 3$ .

Всего без троек: $0, 12 + 0, 3 = 0, 42 = 42$ %.

Ответ: $42$ .

2984.Велосипедист подсчитал, что если он поедет со скоростью $6$ км/ч, то опоздает на $1$ час, а если поедет со скоростью $7, 2$ км/ч, то приедет вовремя. С какой скоростью надо ехать, чтобы приехать на $1$ час раньше намеченного срока? Дайте ответ в километрах в час.

Пусть $S$ (км) - расстояние.

$\frac{S}{6} - \frac{S}{7, 2} = 1$

$S = 36$ (км);

$36 : 7, 2 = 5$ (ч);

$5 - 1 = 4$ (ч);

$36 : 4 = 9$ (км/ч).

Ответ: $9$ .

2985.Расшифруйте запись: ПАРК $\cdot$ А = КАФЕ. Одинаковые буквы – это одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.Известно, что К= $9$ . Найдите значение суммы: П+А+Р+К.

$1609 \cdot 6 = 9654$

$1 + 6 + 0 + 9 = 16$

Ответ: $16$ .