vivat2.okis.ru

Локация Главная страница Карта сайта

Математика - это здорово!

 ПРОЕКТ "МАТЕМА" 

(самоучитель по решению олимпиадных математических задач)

“Умение решать задачи - такое же практическое искусство как умение плавать или прыгать.

 Ему можно научиться только путем подражания или упражнения.

Реши следующие задачи, выделенные желтым цветом и пришли их ответы (смотри меню "Контакты"). Если правильно решишь - получишь 100 баллов за каждую задачу и твои успехи отразятся на главной странице нашего сайта. Если твой ответ неверный - повтори попытку. Хочешь получить верное решение - напиши. Если трудно, изучи решение соответствующих задач, выделенных голубым цветом и воспользуйся их методами для решения "желтых" задач. Реши любую из предложенных "желтых" задач и присылай ответ в любое удобное для тебя время. Желаем удачи и успехов! Вперед и вверх! Вершины покоряются смелым! Решите и пришлите аналогичную свою задачу!

1.Сравните дроби 20132013/20142014 и 201320132013/201420142014. Ответ поясните.

1а.Сравните дроби 23/99, 2323/9999, 232323/999999. Ответ поясните.

Решение 1. Метод Ильи Макуцевича: если а – b = 0, то а = b.

Имеем: 23/99 – 2323/9999 = 0, 23/99 – 232323/999999 = 0. Следовательно, 23/99 =2323/9999 = 232323/999999.

Решение 2. Метод Анастасии Клебеко: если а/b = 1, то а = b.

Имеем: 23/99 : 2323/9999 = 1, 23/99 : 232323/999999 = 1. Следовательно, 23/99 =2323/9999 = 232323/999999.

Ответ: 23/99 =2323/9999 = 232323/999999.

2.Тик-так. Через сколько минут после того, как часы показывали 14 часов, минутная стрелка догонит часовую?

2а.Тик-так. Через сколько минут после того, как часы показывали 9 часов, минутная стрелка догонит часовую?

Основная идея решения: длину пути, пройденного более быстрым телом (минутной стрелкой) до следующей встречи, определяют двумя способами: 1) как произведение скорости более быстрого тела (минутной стрелки) на время до встречи и 2) как сумму длины окружности и длины пути, пройденного более медленным телом (часовой стрелкой).

Решение. Пусть длина окружности равна 1. Скорость минутной стрелки 1/60 часть окружности в минуту, скорость часовой – 1/(60·12) = 1/720 часть окружности в минуту. Пусть через t мин стрелки совпадут. Тогда (1/60)t = (1/720)t + ¾ и t = 49 и 1/11 (мин).

Ответ: 49 и 1/11 (мин).

3.Тук-тук. Поезд длиной 100 метров проезжает мимо телеграфного столба за 10 секунд. За сколько секунд он проедет 200-метровый мост?

3а. Тук-тук.Поезд идет четверть минуты мимо телеграфного столба и за 50 с проходит мост длиной 700 м. Вычислите среднюю скорость и длину поезда.

Основная идея решения: при прохождении поезда мимо стрелочника (будки стрелочника, столба и т. п.) расстояние принимают равным длине поезда l. Если же поезд проходит мост (тоннель, платформу) длиной а, то расстояние равно а + l, и время прохождения моста считается от момента вхождения поезда на мост и до выхода с моста его последнего вагона.

Решение. Пусть l – длина поезда. Так как l м поезд проходит за 15 с, (l +700) м – за 50 с, то l/15=(l+700)/50. Откуда l = 300 м. Тогда скорость поезда 300:15 = 20(м/с).

Ответ: 300 м и 20 м/с.

3 б. Гусеница длиной 1 см может двигаться со скоростью 54 см/ч. За какое время она может преодолеть расстояние 1 м 25 см?

Решение. Так как длина гусеницы 1 см и она должна проползти расстояние длиной 125 см, то всего ей надо проползти 125 + 1 = 126 (см). Известно, что скорость гусеницы 54 см/ч, следовательно, 126 см она проползет за 126/54 = 63/27 = 7/3 = 2 и 1/3( ч), т. е. за 2 ч 20 мин.

Ответ: за 2 ч 20 мин.

4. Из 10 одна. В стозначном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры на четных местах. В полученном пятидесятизначном числе снова вычеркнули все цифры на четных местах. Такое вычеркивание продолжалось до тех пор, пока не осталась одна цифра. Какова она?

4а. Из 10 одна. В стозначном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры на нечетных местах. В полученном пятидесятизначном числе снова вычеркнули все цифры на нечетных местах. Такое вычеркивание продолжалось до тех пор, пока не осталась одна цифра. Какова она?
Решение. 1-й шаг – остается 50 четных цифр: 2468024680… 2-й шаг – остаются цифры 4826048260482604826048260. 3-й шаг – остаются цифры 864208642086. 4-й шаг – 628406. 5-й шаг – 246. 6-й шаг – 4.
Ответ: 4.

5. Комбинаторика. Сколько есть трехзначных чисел, в записи каждого из которых встречается хотя бы раз одна цифра 2?

5а. Комбинаторика. Сколько имеется всего трехзначных чисел, в запись которых входит один раз цифра 5?

Решение. 1) Если в трехзначных числах первая цифра 5, то вторую и третью цифру можно выбрать девятью способами. Таких чисел 9·9 = 81. 2) Если цифра 5 стоит на втором месте, то первую цифру можно выбрать восемью способами (0 не подходит), а третью – девятью. Таких чисел 8·9 = 72. 3) Если цифра 5 стоит на третьем месте, то первую цифру можно выбрать восемью способами (0 не подходит), а вторую – девятью. Таких чисел тоже 8·9=72.

Имеем: 81 + 72 + 72 = 225 искомых чисел.

Ответ: 225
6. Чет-нечет. На доске записаны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам прибавить по 1. Можно ли, проделав эту операцию несколько раз, сделать все числа равными?

6а. Чет-нечет. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «-» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
 Решение. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 пять нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9. При сложении или вычитании нечетного количества нечетных чисел получается число нечетное. При сложении или вычитании четного и нечетного числа получается число нечетное. Следовательно, и значение всего выражения в любом случае – число нечетное. Поэтому четное число 0 получить нельзя.
Ответ: нет.
7. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая – половину остатка и еще пол-яйца, а третья – 1 яйцо. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

7а.Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая – половину остатка и еще пол-яйца, а третья – последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

Решение. 1) половина яиц и еще пол-яйца достались первой покупательнице.

2) половина остатка и еще пол-яйца досталось второй покупательнице.

3) последние 10 яиц достались третьей покупательнице.

Значит, 10 яиц и пол-яйца составляют половину остатка, а весь остаток – это 21 яйцо. Следовательно, 21 яйцо и пол-яйца - это половина всех яиц крестьянки. Таким образом, крестьянка принесла на рынок 43 яйца.

Ответ: 43.

7 б. Мама дала своим детям конфеты. Дочери - половину всех конфет и ещё одну конфету. Сыну - половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет дала мама детям? 
Решение: Половина остатка, полученного сыном, и последние пять конфет- это те десять конфет , которые остались у матери после того, как она поделилась с дочерью. Добавим к этим конфетам ещё одну конфету, отданную дочери, получим 11 конфет, которые составляют половину всех конфет, имевшихся первоначально у матери.

Ответ: 22 конфеты.

7в. Кочаны капусты Дачница принесла на базар кочаны капусты и продала их трем покупательницам. Первая взяла половину всех кочанов и еще полкочана. Вторая купила половину оставшихся кочанов и еще полкочана. Третья покупательница взяла последний кочан. Сколько кочанов капусты вынесла на базар дачница?

Решение.
Когда вторая покупательница взяла половину оставшихся кочанов и еще полкочана, у дачницы остался только один кочан. Значит, полтора кочана составляют половину того количества, которое осталось после первой продажи. Ясно, что полностью это количество равно трем. Если к этому числу прибавить полкочана, то получится половина всех кочанов, которые были у дачницы. Нетрудно теперь догадаться, что она принесла на базар семь кочанов капусты.
Ответ: 7 кочанов капусты.

8. Ребята и жеребята. На лугу ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то получится 184, а если считать головы, то 53. Сколько на лугу ребят и сколько жеребят?

8 а. Щенки и утята. У щенков и утят вместе 44 ноги и 17 голов. Сколько щенков и сколько утят?

Решение. Если щенки встанут на задние ноги, то у всех будет по две ноги, стоящие на земле, т.е. 17·2=34. Тогда поднятыми окажутся 44-34= 10 ног, принадлежащих 10:2 = 5 щенкам. Следовательно, утят было 17 – 5 = 12.Ответ: 5 щенков и 12 утят.

8 б. Звери и птицы.В зоопарке живут четвероногие звери и двуногие птицы. В зоопарке имеется 30 голов и сто ног. Сколько зверей и сколько птиц живет в зоопарке?

Решение.Для решения этой задачи надо составить уравнение. Обозначим число зверей как х, а число птиц — как у. В зоопарке 30 голов, т.е. х + у = 30, и тогда х = 30 — у. В зоопарке сто ног, т.е. 4х + 2у = 100. Подставим в это равенство выражение х = 30 — у. Получим: 4(30 — у) + 2 у = 100. Преобразуем: 120 — 4у + 2у = 100 или 120 - 2у = 100, или 20 = 2у. Значит, у = 10, т.е. в зоопарке 10 птиц. А зверей в зоопарке: 30 — 10 = 20.Ответ: 10 птиц и 20 зверей.

8 в. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, затем сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Можно ли узнать, сколько гусей и поросят было на скотном дворе? 

Решение. Если бы на скотном дворе гуляли одни гуси, то всего было бы 60 ног, « лишние» ноги (а их 24) принадлежат поросятам – по две на каждого. Следовательно, было 12 поросят и 18 гусей.Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

9. Среднее арифметическое. Дано: (a+b+c):3= 28, (d+e+f+g):4=21. Чему равно (a+b+c+d+e+f+g):7?

9а. Среднее арифметическое. Дано: (a+b):2= 9, (c+d+e):3=14. Чему равно (a+b+c+d+e):5?

Решение. a+b=18, c+d+e=42. Тогда (a+b+c+d+e):5=(18+42):5=60:5 =12.Ответ: 12.

10а. «Мир музыки». В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение. Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

10. Иностранные туристы. В гостиницу приехали 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни итальянского, ни испанского языков, 75 человек знали итальянский язык и 83 человека знали испанский язык. Сколько туристов знали и испанский и итальянский языки?

10б.В летнем лагере 70 детей. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 – поют в хоре, 22 – увлекаются спортом. В драмкружке – 10 ребят из хора, в хоре – 6 спортсменов, в драмкружке – 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают драмкружок и хор. Сколько детей не участвует ни в одном кружке? Сколько занимающихся только спортом?

Ответ: 10 человек не посещают ни одного кружка, 11 человек занимаются только спортом.

11.Число партий.В шахматном турнире участвовало 12 игроков и каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно? Из ответов 1)30, 2)36, 3) 66, 4) 44, 5) 40 верный только один.

11а. Рукопожатия. На совещание явилось 10 человек, и все они обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

 Решение 1. Каждый из 10 человек пожал руки своим девяти коллегам. Однако произведение 10 · 9 = 90 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (10 · 9) : 2 = 45.

Решение 2. Первый участник совещания пожал руки 9-ти коллегам, второй - 8-ми (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий - 7-ми и т.д. Девятый ограничился одним рукопожатием, а на долю десятого выпала пассивная роль - принимать приветствия. Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой: N = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 или N = 1+2+3+4+5+6+7+8+9. Сложив почленно обе суммы получаем: 2N = (9+1) + (8+2) + (7+3) + (6+4) + (5+5) + (4+6) + (3+7) + (2+8) + (1+9) = 10 · 9; N = (10 · 9) : 2 = 45. Ответ: 45.

12. Логические таблицы.В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?

12а.Логические таблицы. Встретились три друга: Александров, Борисов и Владимиров. Владимиров сказал своему другу, которого зовут Борисом: одного из нас зовут Александром, другого – Борисом, третьего – Владимиром, но ни у одного из нас имя не соответствует фамилии. Как звали каждого из друзей?

Решение. Рассмотрим таблицу . В левом столбце таблицы напишем фамилии друзей (обозначив их первой буквой), в верхней строке – их имена (также обозначив их первой буквой). Если человек с данной фамилией по условию задачи не может иметь данного имени, то поставим знак минус в соответствующей клетке таблицы. Поскольку ни у одного из друзей имя не совпадает с фамилией, поставим знак минус в клетках вдоль диагонали. Поскольку Владимиров обращался к Борису, то имя Владимирова не Борис. Поставим минус в соответствующей клетке.

 Поскольку каждый из друзей имеет одно и только одно имя, в каждой строке и в каждом столбце таблицы должен быть единственный знак плюс (плюс означает, что человек с данной фамилией имеет имя, соответствующей данной клетке таблицы). В третьей строке два минуса, следовательно, в оставшейся клетке этой строки должен быть плюс, то есть Владимирова зовут Александром. В первом столбце уже есть один плюс, следовательно, в оставшейся клетке этого столбца стоит минус, то есть Борисова зовут не Александром. Во втором столбце уже два минуса, следовательно, в оставшейся клетке стоит плюс, то есть Александрова зовут Борисом. Во второй строке два минуса, следовательно, в оставшейся клетке должен стоять плюс, то есть Борисова зовут Владимиром.


 Ответ: Александрова зовут Борисом, Борисова – Владимиром, Владимирова – Александром.


 13. Число потомков. У Царя Гороха было три сына. Среди потомков Царя Гороха десять имели каждый ровно по два сына, а у остальных детей не было вообще. Сколько потомков было у царя Гороха?Замечание: Дочерей ни у кого не рождалось.

13а. Число потомков.У Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными. Сколько потомков было у царя Гвидона?
Подсказка. При подсчете потомков не забудьте о сыновьях Гвидона.

 Решение. Всякий потомок Царя Гвидона - это либо сын одного из его потомков, либо сын самого Гвидона. Из условия следует, что у всех потомков Гвидона было в общей сложности 100·3=300 сыновей. А у самого Гвидона было 5 сыновей, следовательно, всего потомков было 305.Ответ: 305
14. Костин дедушка очень любит давать Косте задачи на числа. Вот одна из его задач: «Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 210. Найди эти числа».

14а.Бабушка Аня спрашивает у внучки, какие два последовательных натуральных числа надо перемножить, чтобы получить 462? Помогите внучке ответить на вопрос бабушки.
Решение.462 = 2·3·7·11= (2·11)·(3·7) = 21·22.Ответ: 21 и 22.
14б. Дед Бародед придумал задачу: «Произведение каких двух последовательных натуральных чисел равно 1122?» Решите дедушкину задачу.
Решение.1122 = 2·3·11·17 = (2·17)·(3·11) = 33·34.Ответ: 33 и 34.
14в. Учитель предложил учащимся 5 класса найти такие два последовательных натуральных числа, чтобы их произведение равнялось 1482. Какой же ответ ожидал услышать учитель?
Решение.1482 = 2·3·13&mi

15.Признак делимости.Вчера Луиза купила 9 бубликов, 6 булочек, 12 яиц (по 15 центов каждый). Ей также было нужно молоко, и она купила 3 литровых пакета молока. Когда кассирша выдала ей чек на $8,65, Луиза попросила проверить счет. Как Луиза догадалась, что кассирша ошиблась?

15а. Проверим продавца. Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 3,45 рубля, коробку творога стоимостью 3,6 рубля, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбил чек на 29,6 рубля, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счет неверен?

Решение. Стоимость товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов кратна трем цена, для остальных - количество купленных товаров). Если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 29,6 на 3 не делится; следовательно, расчет неверен.

15 б. Ковбой Джо зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов (в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?

Ответ. 1180 не делится на 3.

16.Догадайся. У арфы их четыре, у домбры шесть, и у гитары тоже шесть. О чем идет речь?

16а. Животные и числа Собака — 3, лошадь — 5, свинья — 3, кошка — 3, петух — 8, корова — 2, утка — ?
Решение.
Собака — 3 - гав, лошадь — 5 - игого, свинья — 3 - хрю, кошка — 3 - мяу, петух — 8 - кукареку, корова — 2 - му, утка — ? – кря – 3
Ответ: 3.
17. Лилия.В пруду растет один лист лилии. Каждый день число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями лилии наполовину, если известно, что полностью он будет покрыт ими через 100 дней?

17а. В Южной Америке есть круглое озеро, в центре которого каждый год появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и через 30 дней он, наконец, покрывает все озеро, лепестки осыпаются, семена опускаются на дно. А вот через сколько дней площадь цветка составляет половину площади озера?

Решение. Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое. Значит, если через 30 дней покрыто все озеро, то день назад озеро было покрыто наполовину. Поэтому через 29 дней площадь цветка составляет половину площади озера.

Ответ: через 29 дней.


18. Для покупки порции мороженого у Пети не хватало семи рублей, а у Маши - одного рубля. Тогда они сложили имевшиеся у них деньги. Но их также не хватило на покупку одной порции мороженого. Сколько стоила порция мороженого?

18а. Пете не хватает на мороженое 19-ти копеек, а Васе — одной. Если они сложат свои деньги вместе, то на мороженое все равно не хватит. Сколько копеек стоит мороженое?

Решение 1. Если бы у Пети была хотя бы 1 копейка, то вместе с Васей им бы хватило денег на морженое. Следовательно, у Пети денег нет. Значит, сколько Пете на мороженое не хватает, столько стоит мороженое.
Ответ: мороженное стоит 19 копеек.
Решение 2. Пусть цена мороженого х, тогда у Пети х-19 копеек, а у Васи х-1.
По условию х-19 + х-1 < x, x < 20.
 С другой стороны, x-19 ≥ 0 и х-1 ≥ 0,т. е. x ≥ 19
Итак, 19 ≤ x
Ответ: мороженное стоит 19 копеек.

19. Улитка за день проползает 3 метра вверх, а за ночь съезжает на 2 метра вниз. За сколько дней она доберётся до вершины шеста, длиной 20 метров?

19а. Улитка за 6 минут залезает с постоянной скоростью вверх по столбику на 30 см, а следующие 4 минуты она отдыхает и сползает под собственной тяжестью на 15 см. Высота столбика 1 метр, а наверху лежит конфета. Через сколько минут улитка её достанет?

Решение. Через 6 мин улитка будет на высоте 30 см, через 10мин - 15 см, через 16 мин - 45 мин, через 20 мин - 30 см, через 26 мин - 60 см, через 30 мин-45 см, через 36 мин - 75 см, через 40 мин - 60 см, через 46 - 90 см, через 50 мин - 75 см, через 55 мин - 100см.

Ответ: через 55 мин.

20.Взвешивание. Из девяти монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

20а. Среди трех одинаковых по размеру монет одна фальшивая (легче остальных, равных по массе). Какое наименьшее количество взвешиваний на весах без гирь необходимо для того, чтобы выявить фальшивую монету?

Решение. Для того, чтобы выявить фальшивую монету, достаточно одного взвешивания. Обозначим монеты: А, В и С. Если поместить монеты А и В на чашки весов, то возможны три случая:

если монета А окажется легче монеты В, то она и является фальшивой;

если монета В окажется легче монеты А, то она и является фальшивой;

если весы будут находится в равновесии, то фальшивой является отложенная нами монета С.

 Нам удалось обойтись одним взвешиванием благодаря тому, что мы знали, легче фальшивая монета настоящей или тяжелее.

21. Количество страниц. Для нумерации страниц в учебнике понадобилось 534 цифры. Сколько страниц в учебнике?

21а. Количество цифр. Вася написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал Вася?

Решение. Первые девять однозначных чисел написаны девятью цифрами. Двузначные числа от 10 до 99 требуют по две цифры. А так как этих чисел 99 - 9 = 90, то на их написание ушло 180 цифр. На трехзначные числа (а их 999 - 99 = 900) ушло 3 х 900 = 2700 цифр. И на число 1000 потрачено четыре цифры. Общее число написанных Васей цифр равно: 9 + 2 · 90 + 3 · 900 + 4 = 2893 цифры.

 Ответ: 2893.

21 б. Сколько страниц? При издании книги потребовалось 2775 цифр, для того чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в книге?

Решение. Из первых девяти страниц каждая нумеруется одной цифрой. Нумерация следующих 90 страниц требует 180 цифр, по две цифры на каждую страницу. Чтобы пронумеровать дальше 900 страниц, надо 2700 цифр. Значит, если бы книга содержала 999 страниц, то для ее нумерации потребовалось бы 2889 цифр (9 + 180 + 2700). На самом деле употребили 2775 цифр. Отсюда можно сделать вывод, что в книге больше 100 страниц, но меньше 999. Вычтя из 2775 то количество цифр, которое потребовалось для нумерации первых 99 страниц, то есть 189, получим 2586. Такое число цифр оказалось необходимым, чтобы пронумеровать страницы книги, начиная от 100. Разделив 2586 на 3, узнаем, что таких страниц было 862. Значит, книга содержит (862 + 99) =961 страницу.

Ответ: 961 страница.
22.В соревнованиях по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 47 боксёров. Сколько боёв надо провести, чтобы определить победителя?

22а. Сколько нужно провести матчей по олимпийской системе (проигравший вылетает), чтобы из 30 футбольных команд определить победителя?

Решение 1. В первом круге будет сыграно 15 матчей, во втором - 7(одна команда не играет), в третьем - 4, в четвертом - 2, в финале 1. Всего 29 игр.

Решение 2. В каждом матче проигравший "вылетает". Должно "вылететь" 29 команд, значит нужно 29 матчей.

Ответ: 29 матчей.

23. За десять дней пират Ерема

 Способен выпить бочку рома.

 А у пирата у Емели

 Ушло б на это две недели.

 За сколько дней прикончат ром

 Пираты, действуя вдвоем?

23а. Малыш может съесть банку варенья за 6 минут, а Карлсон — за 3. За сколько минут они вместе опустошат эту банку?

Решение. За 1 мин Малыш может съесть 1/6 банки варенья, Карлсон – 1/3. Вместе за 1 мин они могут съесть ½ банки варенья. Следовательно, банку варенья они вместе опустошат за 1:(1/ 2) = 2  мин.

Ответ: 2 мин.

23 б. Один человек выпьет бочонок кваса за 14 дней, а с женой – за 10 дней. За сколько дней выпьет тот же бочонок кваса жена?

Решение. За день человек выпьет 1/14 бочонка кваса, а с женой – 1/10. Следовательно, жена за день выпьет 1/10 – 1/14 = 1/35 бочонка кваса. Значит, весь бочонок жена выпьет за 1: (1/35) = 35 дней.

Ответ: за 35 дней.

23 в. Лев съедает овцу за 1 час, волк – 2 ч, а пес – за 3 ч. За сколько времени они съедят одну овцу вместе?

Решение. За час волк съедает ½ овцы, пес – 1/3, вместе лев, волк и пес –  1+1/2+1/3 =11/6 овцы. Тогда 1: (11/6) = 6/11 ч.

Ответ: за 6/11 ч.

24. Жили-были дед да баба. Была у них курочка ряба. Принесла им курочка задачку Иосифа Флавия. Задачка не простая, с изюминкой. 100 яичек лежат по кругу. Их начинают забирать так: первое оставляют, следующее за ним по часовой стрелке (второе) — забирают, следующее за ним (третье) — не берут, четвёртое — забирают и так далее через одно по кругу. Круг сужается до тех пор, пока в нём не останется только одно яйцо. На каком месте сначала лежало это яйцо (считая от первого по часовой стрелке)?Дед решал, решал — не решил. Баба решала, решала — не решила. Мышка по кругу побегала, хвостиком помахала и задачку решила. Так на каком же месте лежало оставшееся яйцо?

24а. Сто учеников, у каждого из которых на майке был номер, встали по окружности в такой последовательности своих номеров: 1, 2, 3, 4,…, 100. По команде стали выходить так: с номером 1 на майке остается, с номером 2 выходит, с номером 3 остается, с номером 4 выходит и т. д. через одного по окружности до тех пор, пока не останется один ученик. Какой номер на майке у этого ученика?

Решение. После выхода пятидесяти учеников нетрудно себе представить, с какими номерами ученики остались:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.

Так как во второй раз выходят 25 учеников, то можно установить, то можно установить, в какой последовательности располагаются оставшиеся номера:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97.

Дальше выйдут 12 учеников и останутся  номера: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97.

После этого остаются номера: 9, 25, 41, 57, 73, 89.

Далее остаются: 9, 41, 73.

После этого: 9 и73. Последним остается номер 73.

Ответ: 73.

25. Из спичек сложили три неверных равенства: XII + IX = II, X = VII – III и VI – VI = XI. Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы все они стали верными.

25 а. Рассмотрим пять равенств, сложенных из спичек: IV – I + V = II, X = I – IX, IV – V = I, X + X = I и XXV + XXV = I. Все эти равенства — неверные. Переложите в каждом из них по одной спичке, чтобы все они стали верными.

Решение. IV = I + V – II, X – I = IX, VI – V = I, XI – X = I и XXVI – XXV = I.

25 б. Из спичек сложили неверное равенство XVI + II = XV. Переложите в этом равенстве одну спичку так, чтобы получить верное равенство.

Решение. XVII – II = XV.

26. В равенстве (Р + О + М + А)⁴ = РОМА определите число РОМА. 

26 а.Решите ребус АА^н = АННА.
Ответ: 11³ = 1331.

27. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

27 а. 48 спичек разложены на три неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось, затем из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, то спичек во всех кучках станет одинаковое количество. Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?

Указание. Рассмотрите процесс перекладывания спичек "с конца".

Решение. Так как 48 спичек оказались разложены в 3 равные кучки, то в этих кучках было по 48:3=16 спичек. Рассмотрим процесс перекладывания спичек "с конца":

1. "Из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься"-в первой кучке стало 16 спичек, при том, что добавили в неё столько, сколько там на тот момент было. Значит, в первой кучке на предыдущем шаге стало 16:2=8 спичек, а в третьей - 16+8=24 спички.

2. "Из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться"-в третьей кучке стало 24 спички, при том, что добавили в неё столько, сколько там на тот момент было. Значит, в третьей кучке на предыдущем шаге стало 24:2=12 спичек, а во второй - 16+12=28 спичек. В первой кучке пока 8 спичек.

3. И, наконец, "из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось"-во второй кучке стало 28 спичек, при том, что добавили в неё столько, сколько там на тот момент было. Значит, во второй кучке изначально было 28:2=14 спичек.

Ответ: 22, 14 и 12 спичек было в кучках изначально.

28. Отцу 36 лет, сыну 7 лет. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына? 

28а. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

Решение. Разница между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе исполнится через 285-15=270 лет.

Ответ. Через 270 лет.

29. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

30.Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2кг 400г. Сколько весит гусёнок?       

30а. 1 тетрадь, 2 альбома и 3 линейки стоят 48 руб. 3 тетради, 2 альбома и 1 линейка стоят 32 руб. Сколько стоит набор из 1 тетради, 1 альбома и 1 линейки?

Решение. 1 тетрадь+ 2 альбома +3 линейки+3 тетради+2 альбома + 1 линейка стоят  48 руб. + 32 руб., т. е. 4 тетради + 4 альбома + 4 линейки стоят 80 руб. Значит, набор из 1 тетради, 1 альбома и 1 линейки стоит 80: 4 = 20 руб.

Ответ: 20 руб.

31. Двое часов начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые — через каждые 3 с. Всего было насчитано 13 ударов, причем слившиеся удары воспринимались как один. Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

31а. Сколько ударов за сутки сделают часы, если они отбивают целое число часов да еще одним ударом отмечают середину каждого часа?

Решение. Просуммируем число ударов за 12 часов (полсуток), полученный результат удвоим и прибавим 24 удара, отмечающих середину каждого получаса. Искомое число равно (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)·2+24=180.

Ответ: 180.

32.Подряд стоят шесть стаканов: три с водой  и три пустых. Дотронувшись рукой лишь до одного стакана, добейтесь, чтобы пустые и полные стаканы чередовались.

33. Из Минска в Гродно помчал  на «Volvo» предприниматель Вася. Навстречу в то же время на велосипеде  выехал доцент Иван Петрович. Кто из них в момент встречи был ближе к Минску?

33 а. Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда идут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

Решение. В момент встречи они будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона. Более того, и от Нью-Йорка тоже!

Ответ: оба поезда будут на одинаковом расстоянии от Бостона.

33б. Из Москвы в Петербург, расстояние между которыми приблизительно равно 650 км, вышел поезд со скоростью 70 км/час. В то же время из Петербурга в Москву вышел поезд со скоростью 120 км/час. Какой из этих поездов будет находиться ближе к Москве, когда они встретятся?

Решение. Может показаться, что эту задачу надо каким-либо образом решать, причем математическим путем, делая какие-либо расчеты или составляя уравнение. Ее условие рассчитано на то, чтобы ввести человека как раз в такое заблуждение. На самом же деле в полном смысле слова решать в этой задаче ничего не надо. Ведь когда поезда встретятся (здесь надо обратить внимание именно на слово «встретятся»), расстояние от каждого из них до Москвы будет одинаковым, как и до Петербурга, т.е. ближе к Москве в момент встречи не будет находиться ни один из указанных поездов.

Ответ: ни один из указанных поездов.

34. От куска сукна в 16 метров портной отрезает ежедневно по 2 м. По истечении скольких дней портной отрежет последний кусок?

34а. Каждую минуту от бревна длины 6 аршин отпиливают 1 аршин. За сколько минут распилят все бревно?

Решение. Бревно в 2 аршина распиливается 1 разрезом за 1 мин, бревно в 3 аршина – 2 разрезами за 2 мин, бревно в 4 аршина – 3 разрезами за 3 мин, бревно в 5 аршин – 4 разрезами за 4 мин, бревно в 6 аршин – 5 разрезами за 5 мин. Последний кусок разрезать не надо.

Ответ: за 5 мин.

34б. Сколько распилов надо сделать, чтобы распилить 60 трехметровых бревен на полуметровые поленья?

Решение. Одно трехметровое бревно распиливается на полуметровые поленья 5 распилами, а 60 таких же бревен – 60·5 = 300 распилами.

Ответ: 300 распилов.

35. Во сколько раз лестница на 6 этаж дома длиннее лестницы на 2 этаж этого же дома?

35а. В шестиэтажном доме (не считая цокольного этажа) с этажа на этаж идут лестницы одинаковой длины. Во сколько раз подъем с первого этажа на шестой длиннее, чем подъем с первого этажа на третий?

Решение. Лестниц от первого этажа до третьего 2, а от первого этажа до шестого - 5. Значит, подъем с 1-го этажа на 6-й длиннее, чем подъем с 1-го этажа на 3-й в 5:2 = 2,5 раза. Ответ: в два с половиной раза.

36. Сколько концов у 4 палок? У пяти палок? У четырех с половиной палок?

36а. Сколько концов у трех спичек? У семи спичек? У пяти с половиной спичек?

Решение. У одной спички имеется 2 конца, у трех –  6, у семи –  14, у пяти с половиной –  12. Ответ: 6, 14, 12.

37. К числу 15 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

37 а. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное  72.

Решение. Число делится на 72, если оно делится на 9 и на 8 одновременно. На 8 делятся те числа, три последние цифры которых составляют трехзначное число, которое делится на 8. При делении 100 на 8 получаем остаток 4. Значит, искомое число делится на 8, если справа оно оканчивается 4.  На 9 делятся те числа, сумма цифр которого делится на 9. Искомое число будет делиться на 9, если первая его цифра 4.

Ответ: 4104.

38. Сколько слов (не обязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы  слова МАМА?

38а. Маша собирается съесть яблоко, сливу и мандарин, но пока не решила, в какой последовательности. Сколькими способами Маша может выбрать эту последовательность?

Решение. Обозначаем буквами:  Я –  яблоко, С – слива, М – мандарин. Тогда, например, СМЯ – это вариант, когда Маша съест сливу, потом – мандарин, потом –  яблоко. Выпишем варианты в алфавитном порядке: МСЯ, МЯС, СМЯ, СЯМ, ЯМС, ЯСМ. Получилось 6 вариантов.

Ответ: 6

39. Запишите самое большое и самое малое пятизначные числа.

39а. С помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 запишите  самое большое и самое малое шестизначные числа, если каждую цифру можно использовать произвольное число раз (даже ни одного).

Решение. Чтобы шестизначное число было наибольшим, надо чтобы в его разрядах стояли наибольшие цифры. Поэтому наибольшим будет 888 888.  Аналогично, наименьшим будет 200 000.

Ответ: 888 888, 200 000.

40. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков?

40а. Семь рыбаков съедят 7 осетров за 7 дней. За сколько дней 100 рыбаков съедят 100 осетров?

Решение. Каждый из 7 рыбаков съест по 1 осетру за 7 дней. Каждому из 100 рыбаков тоже достанется по одному осетру. Значит, 100 рыбаков съедят 100 осетров тоже за 7 дней.

Ответ: за 7 дней.

41.В трех ящиках находятся крупа, вермишель и сахар. На первом ящике написано «крупа», на втором – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». Что в каком ящике находится, если содержимое каждого из ящиков не соответствует надписи на нем?

41а. Рассказывают, что черепаха Тортилла отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказывал А.Н.Толстой, а вынесла три коробочки: красную, синюю и зеленую. На красной коробочке было написано «Здесь золотой ключик», на синей — «Зеленая коробочка пуста», а на зеленой — «Здесь сидит гадюка». Тортилла прочла надписи и сказала: «Действительно, в одной из коробок лежит золотой ключик, в другой — гадюка, а третья пуста, но все надписи неверны». Где лежит золотой ключик?

Решение. Ключик находится в зеленой коробочке. Действительно, из надписи на синей коробочке следует, что в ней что- то лежит, а из надписи на самой зеленой коробочке следует, что в ней лежит не гадюка. А так как, по словам Тортиллы, лежать в коробочке может лишь гадюка или золотой ключик, то там находится золотой ключик.

Ответ: в зеленой.

41б. На всех трех железных банках с печеньем перепутаны этикетки: «Овсяное печенье», «Песочное печенье» и «Шоколадное печенье». Банки закрыты, и вы можете взять только одно печенье из одной (любой) банки, а потом правильно расположить этикетки. Как это сделать?

Решение.

Надо взять печенье из банки с надписью «Овсяное печенье» (можно и из любой другой). Так как банка надписана неправильно, то это будет песочное печенье или шоколадное. Допустим, вы достали песочное. После этого надо поменять местами этикетки «Овсяное печенье» и «Песочное печенье». А поскольку по условию все этикетки перепутаны, то теперь в банке с надписью «Шоколадное печенье» находится овсяное, а в банке с надписью «Овсяное печенье» находится шоколадное, значит, надо поменять местами и эти две этикетки.

42. В стране Лимпопо 9 городов и каждые два города соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране Лимпопо?

42а. Какое наибольшее число точек пересечения у десяти прямых?

Решение 1. Каждая прямая из 10 имеет пересечение с девятью другими, Кроме того, надо учесть, что каждая точка пересечения принадлежит двум прямым, т. е. считается дважды. Поэтому искомое число равно  9·10/2= 45.

Решение 2. Пересечение двух прямых дает 1 точку, наибольшее число пересечений 3-х прямых: 1+ 2=3, 4-х: 1+ 2 +3 = 6, 5-ти: 1+ 2+ 3+4=10,..., 10-ти: 1 +2+ 3+ 4+ 5+ 6 +7 +8+ 9=45.

Ответ: 45.

43. В трёх кучках лежат спички, по 10 спичек в каждой. Играют Аня и Вова. Ход состоит в том, что игрок забирает несколько спичек, но только из какой-либо одной кучки. Начинает Аня. Побеждает тот, кому достанется последняя спичка. Может ли кто-нибудь из игроков играть так, чтобы наверняка выиграть, как бы ни старался другой? 

43а. В двух кучках лежат по 100 конфет. За ход можно взять любое количество конфет из одной кучки. Выигрывает взявший последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре: первый игрок или второй?

Решение. Какой бы ход ни сделал первый игрок, у второго есть возможность взять то же число конфет из другой кучки. Следовательно, и последний ход будет у второго: он возьмет последнюю конфету.

Ответ: второй игрок.

44. Камень весит 5 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит камень?

44а. Кот в Сапогах поймал четырех щук и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах, если верен только один из ответов: а) 4, б) 6, в) 8, г) 10?

Решение. По условию задачи весь улов разделен на две части, одна из которых - это 4 щуки, вторая часть равна половине улова. Значит, первая часть - это тоже половина улова, а так как она равна 4, то весь улов равен 8 щукам.

Ответ: 8 щук

45. Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты от своего многочисленного стада?». Пастух отвечает: « Я привожу две трети от стада». Сколько животных в стаде?

45а. На вопрос путника: «Сколько у тебя в стаде голов скота?» - пастух ответил: «Если бы к моему стаду добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составили бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок. Сколько голов скота было в стаде?

Решение. 1/3 часть 1 козленок.  Следовательно, всех коз 3. Если 1/7 часть козы, следовательно, овец и коз 3: (1/7) = 21. Уберем 1 овцу и получим 20 коз и овец – это 1/3 стада. Тогда все стадо с одной лишней коровой равно 20:(1/3) = 60. Значит, в стаде пастуха 59 голов скота.

Ответ: 59 голов.

46. В записи  8 8 8 8 8 8 8 8  расставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.

46а. В записи  66666666 поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 264.

Решение. 66+66+66+66 = 264.

47. Задумано число, к нему прибавлена 1, сумма умножена на 2, произведение разделено на 3 и от результата отнято 4.  Получилось 6. Какое число задумано?

47а. Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1, потом полученную сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2, затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4, то получится число, которое в 16 раз больше числа 135. Найдите задуманное число.

Решение. Обратный ход: 135·16 = 2160; 2160 – 4 = 2156; 2156:7 = 308; 308 – 2 = 306; 306:6 = 51; 51 – 1 = 50; 50:5 = 10. Ответ: 10.

48. Запишите число, являющееся суммой 13 тысяч, 12 сотен и 11 единиц.

48 а. Сумма в девять тысяч, девять сотен и девять долларов записывается в виде $9909. Запишите сумму в двенадцать тысяч, двенадцать сотен и двенадцать долларов.

Решение. 12000+1200+12=13212.

Ответ: $13212

49. Один биолог открыл удивительную разновидность амёб. Каждая из них через 1 минуту делилась на две. Биолог в пробирку кладёт амёбу, и ровно через час она оказывается заполненной амёбами. Сколько времени  потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё вначале положить не одну, а две амёбы?

49а. Число яиц в корзине удваивается каждую минуту. Через час она наполнится. За сколько времени она наполнится наполовину?

Решение. Через час корзина наполнится полностью. Следовательно, минуту назад она была наполнена наполовину. А это значит, что корзина наполнится наполовину за 59 мин.

 Ответ: за 59 минут.

50. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько больше тетрадей было в первой стопке, чем во второй?   

50а. На двух книжных полках находилось 70 книг. С одной полки взяли 20 книг, и на обоих полках оказалось равное количество книг. Сколько книг было на каждой полке?

Решение.1) 70 – 20 = 50(книг) осталось.

2) 50:2 = 25(книг) было на полке с меньшим количеством книг.

3) 25 + 20 = 45 (книг) было на полке с большим количеством книг.

Ответ: 25 и 45 книг.

51.Сколько существует трехзначных чисел?

51а. Сколько существует четырехзначных чисел?

Решение 1. Самое большое четырехзначное число – это 9999. Самое большое трехзначное число – 999. Поэтому  существует 9999 – 999 = 9000 четырехзначных чисел.

Решение 2. Тот же ответ можно получить и другим способом. Вообразите, что мы пишем, цифра за цифрой, четырехзначное число. Сначала напишем любую из девяти цифр 1, 2, 3,…, 9 в разряд тысяч. Затем любую из 10 цифр в разряд сотен, разряд десятков и, наконец, какую-нибудь (любую) цифру – в разряд единиц. Получим: 9·10·10·10 = 9000. Ответ: 9000.

52. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное, чтобы получить наибольшее трехзначное?

52а. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее трехзначное, чтобы получить наибольшее четырехзначное?

Решение. 9+999·n = 9999, n = 10. Ответ: 10 раз.

53. Продолжите ряд чисел:  10, 8, 11, 9,  12,  10  до восьмого числа.  По какому правилу он составлен? 

53а. По какому правилу составлена следующая последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, …?

Решение. Способ составления последовательности следующий: первые два члена равны 1, каждый следующий равен сумме двух предыдущих.

54. В одном месяце три среды пришлись на чётные числа. Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?  

54 а. В определенном месяце было 5 воскресений. Только на одно из них приходилась дата, которая выражалась однозначным числом. Какая дата была в третий вторник этого месяца?

Решение. Если первое воскресенье будет 1-го или 2-го числа, то будет 2 воскресенья дата, которых выражается однозначным числом (противоречие с условием). А если первое воскресенье будет 4-го числа, то будет 32 дня в месяце. Не подходят и однозначные числа, большие 4. Только в воскресенье 3-го числа дата выражается однозначным числом и  в месяце 5 воскресений (последнее приходится на 31-е число). Тогда дата третьего вторника – число19.

Ответ:  дата третьего вторника - число 19.

55. Коля, Боря,  Вова и Юра заняли в соревновании первые четыре места, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: « Ни первое, ни четвёртое».  Боря сказал: « Второе», а  Вова заметил, что он не был последним. Какое место занял каждый из мальчиков, если все они сказали правду?

55а. В олимпиаде по математике участвовало пять школьников: Андрей, Борис, Владимир, Петр и Сергей. Олимпиада включала пять заданий. Каждый из участников решил различное число задач (количество задач, решенных каждым из участников – число целое). После подведения итогов каждый участник сделал два утверждения.

Андрей: “Я решил одну задачу. Я занял пятое место.”

Борис: “Я решил две задачи. Я занял четвертое место.”

Владимир: “Я решил три задачи. Я занял третье место.”

Петр: “Я решил четыре задачи. Я занял второе место.”

Сергей: “Я решил пять задач. Я занял первое место.”

У каждого участника одно из сделанных утверждений истинно, а одно ложно. Какое место занял каждый из участников, если места определялись по количеству решенных задач (больше решенных задач – выше место)?

Решение. 1. Одно из утверждений сделанных Сергеем истинно, а другое ложно. Если истинно: “Я решил пять задач”, то второе утверждение также истинно, что не соответствует условию задачи. Значит у Сергея истинно утверждение: “Я занял первое место”. Первое место Сергей мог занять только с пятью или четырьмя решенными задачами. Однако утверждение “Я решил пять задач” ложно. Следовательно, Сергей решил четыре задачи.

2. По первому пункту решения утверждение Петра: “Я решил четыре задачи” – ложно. Следовательно, истинно утверждение: “Я занял второе место”. Петр с тремя решенными задачами занял второе место.

3. Рассуждения для Владимира, Бориса и Алексея аналогичны. У Владимира третье место с двумя решенными задачами, у Бориса четвертое место с одной решенной задачей, Андрей – пятый, ему не удалось решить ни одной задачи (ноль решенных задач).

Ответ: Сергей – первое место (4 задачи), Петр – второе место(3 задачи), Владимир – третье место (2 задачи), Борис – четвертое место (1 задача), Андрей – пятое место (0 задач).

56. В коробке лежат 10 красных и 10 синих воздушных шарика. Продавец, не глядя, достает по одному шарику. Какое наименьшее количество шариков надо ему вытащить из коробки, чтобы среди них обязательно  нашлись два шарика одного цвета?

56а. В корзине яблоки трех сортов. Какое наименьшее число яблок необходимо взять из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них было, по крайней мере,  два яблока одного сорта?

Решение. Яблок 3 сорта. Если возьмем 3 яблока, то может оказаться по одному каждого из трех сортов. Если возьмем четвертое яблоко, то оно окажется одного сорта с одним из 3 предыдущих яблок. Нужно взять 4 яблока. Тогда в любом случае будут 2 яблока одного сорта.

Ответ: нужно взять 4 яблока.

57.Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?

57а. Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился;

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение 1.Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х

х=84

Решение 2.Способ подбора Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.

НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84.

Ответ: 84 года.

58. Крестьянин должен перевезти через реку волка, козу и капусту. Лодка так мала, что в ней, кроме крестьянина, может поместиться только один волк, или только одна коза, или только одна капуста. Как ему поступить, чтобы во время этой переправы волк не съел козу, а коза не съела капусту? Считается, что в присутствии крестьянина волк не ест козу, а коза не ест капусту.

59. У некоего фермера 8 свиней: три розовых, четыре бурых и одна черная. Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдется, по крайней мере, еще одна свинья такой же "масти", как и ее собственная?

60.Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы». Сколько учеников было у Пифагора?

61. Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям задание – вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно. Но маленький Гаусс это задание выполнил почти моментально. Попробуйте и вы быстро выполнить это задание.

61а. Вера купила на рынке несколько арбузов. 20 мальчиков вызвались помочь ей донести эти арбузы. Первому мальчику Вера дала 1 арбуз, второму — 2, третьему — 3, ..., двадцатому — 20. А сама Вера по пути домой несла только зонтик и пыталась сосчитать, сколько арбузов она купила. Помогите ей в этом подсчете.

Решение. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 17 + 18 + 19 + 20 = (1+20) + (2+19) + (3+18) + (4+17)+ ... + (9+12) + (10+11) = 21 · 10 = 210.

Ответ: 210.

62. Решите математический ребус: ПЧЕЛКА · 7 = ЖЖЖЖЖЖ (разным буквам соответствуют разные цифры).

62а. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство: О + Л + И + М + П + И + А = ДА (Одинаковые буквы надо заменять одинаковыми цифрами, разные – разными, ДА – двузначное число)

Решение. Вычтем из обоих частей уравнения А, получим, что сумма цифр О+Л+И+М+П+И должна заканчиваться на ноль. Попробуем подобрать цифры так, чтобы например она была равна 20 (т.е. Д=2). Это легко сделать, например 3+4+0+5+8+0 =20. т.е. О=3, Л=4, И=0, М=5, П=8, Д=2, А=9

Ответ: например, О=3, Л=4, И=0, М=5, П=8, Д=2, А=9. Возможно много других решений. При этом Д может равняться 2, 3, 4.

63. Даны три сосуда емкостью 6, 7 и 12 литров. Два меньших сосуда заполнены водой. Можно ли в большем сосуде оставить 9 литров воды?

63а. В бочку налит квас. Как перелить из нее в другую бочку 6 л кваса с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?

Решение. Задачи на переливания с тремя сосудами можно записывать трехзначными числами. Имеем (Б-9)90, что означает, что из первой бочки перелили в 9-литровый сосуд 9 л кваса, в 5-литровом 0 л. Следущие переливания: (Б-9)45, (Б-4)40, (Б-4)04, (Б-13)94, (Б-13)85, (Б-8)80, (Б-8)35. После этого переливаем из 9-литровой бочки  3 л во вторую бочку. Этим закончен первый цикл переливания кваса. Осталось совершить второй такой же цикл и во вторую бочку в результате попадет еще 3 л. Итак, во второй бочке станет 6 литров кваса.

64. Две девочки родились в один и тот же день одного и того же месяца, в один и тот же год, у одних и тех же родителей, но они не двойняшки. Как такое может быть?

65. Отец имел 7 сыновей. У каждого из них было по 1 сестре. Сколько детей было в семье?

65а. В одной семье у каждого из трех братьев есть сестра. Сколько детей в семье?

Решение. 3 брата – это трое детей, сестра каждому брату – это еще один ребенок. Всего 4.  Ответ: 4.

66. Кирпич весит 2 кг и еще полкирпича. Сколько весят 4 кирпича?

66а. Арбуз стоит 12000руб. и еще пол-арбуза. Сколько стоит арбуз?

Решение. Стоимость арбуза состоит из двух частей: 12000 руб. и пол-арбуза, т. е. пол-арбуза + пол-арбуза или 12000 руб. + 12000 руб. = 24000 руб.

Ответ: 24000 руб.

67. На трех деревьях всего сидело 36 воробьев. Когда с первого дерева на второе перелетело 6 воробьев, а со второго на третье - 4 воробья, то на всех деревьях воробьев стало поровну. Сколько воробьев сидело на каждом дереве сначала?

68.Что легче: килограмм пуха или килограмм железа?

68а. Что тяжелее: пуд соли или пуд ваты?

Решение. 1 пуд (соли) равен 1 пуду (ваты).

Ответ: пуд соли и пуд ваты весят одинаково.

69. Емеля лёг спать в 7 часов вечера на печке, предварительно заведя будильник на 8 часов утра, с тем, чтобы встать утром пораньше. Сколько часов он спал, пока его не разбудил будильник?

69а. Мальчик лег спать в 19 ч вечера, поставив будильник так, чтобы он прозвенел в 9 ч утра. Сколько времени проспит мальчик?

Решение. Будильник прозвенит в 9 часов вечера. Следовательно, мальчик проспит 2 ч.Ответ: 2 ч.

70. Химик обнаружил, что некоторая реакция протекает в течение 80 мин., если он в пиджаке. Если же он без пиджака, то та же самая реакция протекает за 1 час 20 мин. Как вы это объясняете?

70а. Самолет преодолевает расстояние от одного города до другого за 1 ч. 20 мин. Однако на обратный перелет он затрачивает только 80 мин. Чем это можно объяснить? 

Решение. В задаче ничего объяснять не надо: перелет в обоих направлениях занимает одно и то же время, ведь 1 ч 20 мин = 80 мин. Эффект этой шуточной задачи основан на том, что невнимательному человеку может показаться, будто бы 1 ч 20 мин является большим временным интервалом, чем 80 мин. Причина такой иллюзии кроется в нашей привычке к десятичной системе мер и денежных единиц: мы часто непроизвольно и бессознательно оцениваем 1 ч 20 мин и 80 мин как 1 руб. 20 коп. и 80 коп. Задача рассчитана как раз на эту психологическую ошибку.

71.На одном дереве сидело 40 сорок. Проходил охотник, выстрелил и убил 6 сорок. Сколько сорок осталось на дереве ?

71а. Горели  5 свечей. Две из них потушили. Сколько свечей осталось?

Решение. В момент, когда 2 свечи потушили, остальные продолжают гореть, т. е. в этот момент свечи никуда не делись. Их было пять, столько же и осталось. Ответ: 5.

72. Три охотника сварили кашу. Первый дал 2 кружки крупы, второй – одну, третий – ни одной, но он расплатился 5 патронами. Как должны поделить эти патроны первые два охотника?

72а. В коммунальной кухне. Жилица Тройкина положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный, у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату?

Решение. Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по 10 коп. за полено. Деньги эти уплачены за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80·3 = 240 коп., т.е. в 2р.40коп., и цена одного полена 30 коп. Теперь можно сосчитать, что Пятеркиной за ее 5 поленьев следует заплатить 150 коп.; но она сама воспользовалась плитой на 80 копеек; значит ей остается заполучить еще 150-80 = 70 (коп.). Тройкина за свои 3 полена должна получить 90 копеек; а если вычесть 80 копеек, причитавшиеся с нее за пользование плитой, то, следовательно, отдать ей нужно будет только 10 коп.

Ответ: Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

73. Во время прогулки по лесу Винни-Пух каждые 40 метров находил гриб. Какой путь он прошёл от первого гриба до последнего, если всего он нашёл 15 грибов?

 74. В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано МА, на остальных – НЯ. Каждый ребенок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово МАМА могут сложить из своих карточек 25 детей, НЯНЯ – 30 детей, а слово МАНЯ – 36 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?

75. На какое число надо разделить 2, чтобы получить 4?

75а. На какое число надо разделить 100, чтобы получить 200?

Решение. 100:(1/2) = 200.

Ответ: на ½.

76.Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

76а. Дед в 2 раза сильнее бабки. Бабка в 3 раза сильнее внучки. Внучка в 5 раз сильнее Жучки, Жучка в 7 раз сильнее кошки, а кошка в 10 раз сильнее мышки. Сколько нужно позвать мышек, чтобы вытянуть репку?

Решение. 1 кошка равна по силе 10 мышкам,  т. е. 1 кошка = 10 мышек.  1 Жучка = 7 кошек = 70 мышек. 1 внучка = 5 Жучек = 350 мышек. 1 бабка = 3 внучки = 1050 мышек. 1 дед = 2 бабки = 2100 мышек. Вместе имеем: 2100 +1050 + 350 + 70 + 10 +1 = 3581 мышка. Ответ: 3581 мышка.

 
77. Имеется бесконечный ряд: о, д, т, ч, п, … . Найдите закономерность, по которой он составлен, и продолжите его.

77а. Имеется бесконечный ряд: п, в, т, ч, п, … . Найдите закономерность, по которой он составлен, и продолжите его.

Решение. Первый, второй, четвертый, пятый, шестой, седьмой, … .

Ответ: 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 7-й, … .

78. Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?

78а. Степа отпил 1/6 часть стакана яблочного сока и долил его вишневым соком. Затем он отпил 1/3 стакана и снова долил его вишневым соком. Потом отпил полстакана и опять долил вишневым соком. Затем Степа выпил полный стакан. Какого сока больше выпито: яблочного или вишневого?

Решение. Степа выпил 1 стакан яблочного сока и 1/6 + 1/3 + ½ = 1стакан вишневого сока. Следовательно, яблочного и вишневого сока выпито поровну.

Ответ:  поровну

79. Сумма каких двух натуральных чисел больше, чем их произведение?

80. Числитель дроби увеличили на 5, а знаменатель – на 2 (числитель и знаменатель – натуральные числа). При этом значение дроби уменьшилось. Приведите пример, как такое могло произойти.

81. На каждой перемене Робин-Бобин-Барабек съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Робин на переменах?

82. Сумма трех чисел равна их произведению. Эти числа различные и однозначные. Найдите эти числа. 

82а. Существуют ли два натуральных числа, чья сумма равна их произведению?

Решение. Если одно число х, а второе – у, то х+у =ху. Откуда ху-у=х, у(х-1)= х·1. Поучаем две возможности: 1) у=х и х-1=1, 2) у=1, х-1=х. В первом случае х=у=2, во втором –  решений нет. Итак, 2+2 = 2·2 = 4. Ответ: существуют.

83. На некотором острове каждый житель либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Трое островитян А, Б, В сказали следующее:
А: «Б – лжец»; Б: «ровно один из А и В лжец»; В: «у меня есть крокодил». Есть ли у В крокодил?

 83а. Два города А и В расположены рядом. Жители обоих городов часто навещают друг друга. Известно, что все жители города А всегда говорят только правду, а жители  В всегда лгут. Какой вопрос следует задать жителю, которого вы встречаете в одном из городов  (вы не знаете, в каком), чтобы по его ответу «да» или «нет» можно было сразу же определить, в каком городе вы находитесь?

Решение. Следует задать вопрос: «Вы живете в этом городе?». Ответ «да» –  независимо кто отвечает (житель города А или житель города В) –  означает, что вы находитесь в городе А. Ответ «нет» при любых условиях будет означать, что вы находитесь в городе В.

84. Представьте себе, что вы машинист паровоза, ведущего пассажирский состав. Всего в составе поезда 13 вагонов. Поезд обслуживает бригада в 30 человек. Начальнику поезда 46 лет, кочегар на 3 года старше машиниста. Сколько лет машинисту?

85. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено правильно:
     73*8
 + **46*
     9*36
   97125

86. Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов?

86а. Длина бревна 5 метров. В одну минуту от этого бревна отпиливают по одному метру. За сколько минут будет распилено все бревно?

Ответ: за 4 минуты.

87. На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?

88. Маша написала на доске пять цифр: 12345. Миша добавил несколько плюсов и минусов между цифрами, так что в результате получилось 8. Попробуйте расставить знаки так же, как это сделал Миша. Замечание: в ответе напишите весь пример целиком.

89. На двух руках 10 пальцев. А на 10 руках?

90. Какое число  в 7  раз больше своей последней цифры?

90а. Какое натуральное число в 9 раз больше цифры его единиц?

Решение. Наибольшая возможная цифра единиц 9, поэтому само число меньше или равно 9·9 = 81а – цифра десятков, b – цифра единиц, то 10а + b =9·b; 10а = 8b; 5а = 4b. Если b = 5, то а = 4. Других вариантов нет. Ответ: 45.

91. Можно ли из четырех спичек сделать семь? Если да, то как?

91а. Как из двух спичек получить десять?

Ответ: римская цифра Х.

92. Катя говорит: " Мне больше пяти лет, но меньше девяти". Сколько лет может быть Кате?

93. Саша, Коля и Алеша были на рыбалке. Каждый из них поймал разное количество рыб. Саша и Коля поймали вместе 6 рыб, Алеша и Коля 4 рыбы. Сколько рыб поймал Алеша?

94. 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц?

95. Тройка лошадей пробежала 30 км. Сколько пробежала каждая лошадь?

95а. На прямолинейном участке пути каждое колесо двухколесного велосипеда проехало 5 км. Сколько километров проехал велосипедист?

Ответ: 5 км. 

96. В комнате 4 угла, в каждом углу сидит кошка, против каждой кошки сидит по три кошки. Сколько всего кошек в комнате?

97. Петя задумал число и прибавил к нему 12. Сумма получилась на 1меньше 16. Какое число было задумано?

98. Тетя Соня решила взвесить своего любимого гуся. В первый раз она взвешивает его, когда он стоит на двух лапах, во второй раз - поджав одну лапу. В каком из этих случаев весы покажут больший вес?

98а. Петух, стоя на одной ноге, весит 5 кг. Сколько он будет весить, если встанет на обе ноги?

Решение. Вес петуха не зависит от того, на одной или на двух ногах он стоит. Вес его тот же –  5 кг. Ответ: 5 кг.

99. У Змея-Горыныча было три головы - Умная, Глупая и Волшебная. Первая голова не Глупая, а третья - Умная. Ивану-Царевичу нужно отрубить волшебную голову. Что это за голова?

100. У отца есть сын, который вдвое моложе отца. Сын родился тогда, когда отцу было 24 года. Сколько теперь лет сыну? 

101. Отца одного человека зовут Николай Петрович, а сына зовут Алексей Владимирович. Как зовут самого человека?

102. Из металлической заготовки вытачивают деталь. Стружки, которые получились при вытачивании 8 деталей, можно переплавить в 1 заготовку. Сколько деталей можно сделать из 64 заготовок?

103. Летели чайки, видят березы. Стали рассаживаться. Попробовали сесть по одной на дерево - четырем чайкам не хватило деревьев. Садятся по две на березу –  одна береза осталась не занятой. Сколько было чаек и сколько берез.

103а. Скворцы расселись на деревьях. Когда они сели по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось незанятым. Сколько было скворцов и сколько было деревьев?

Решение. Предположим, что после того как скворцы сели на деревья по два, с каждого дерева взлетело по одному скворцу. Один из взлетевших скворцов может сесть на незанятое дерево, тогда на каждом дереве будет сидеть по одному скворцу. По условию, если на каждое дерево сядет по одному скворцу, то один скворец останется в воздухе. Значит, взлетело 2 скворца. Тогда общее число скворцов равно 4, а число деревьев 3.

Ответ: скворцов было 4, деревьев – 3.

104. Турист проходит 6 км за 1 час. Сколько метров он проходит за одну минуту?

105. Турист поднимается в гору 5 часов со скоростью 3 км/час. На обратном пути он увеличивает скорость на 2 км/час. Сколько часов ему требуется на обратный путь?

 106. Художник Н. П. Богданов-Бельский на картине «Устный счет» изобразил фрагмент урока арифметики известного русского педагога С. А. Рачинского: на классной доске записано выражение (102+112+122+132+142):365, значение которого ищут устно ученики. Найдите и вы его.

107. Встречаясь утром по дороге в школу, Аня, Оля, Дима, и Алик подают друг другу руки. Сколько всего рукопожатий получается при этом?

108. Какое число на 7 меньше наибольшего двузначного числа?

109. Известно, что когда в Сибири лето, то в Австралии зима. Какой месяц будет в Австралии, если в Сибири неистовствует февраль?

110. На площади поют два хора. Если из одного хора 1 человек перейдет во второй, то певцов в хорах станет поровну. Если из второго хора 1 перейдет в первый, то в первом певцов станет в два раза больше. Сколько человек поет в каждом хоре?

110а. Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Решение. Пусть у Ивана х, у Петра у овец. Тогда х+1 = 2(у -1), х-1= у+1.

Ответ: у Петра 5 овец, у Ивана 7 овец.

111. На какое однозначное число надо умножить 12345679 чтобы в результате получилось новое число, записанное одними единицами?

112. В чемпионате участвует 1024 команды. Играют по олимпийской системе (проигравшая команда выбывает). Сколько состоится матчей?

113. Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбы. Старт дан у первого столба. Через 12 минут бегун был у четвертого столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у седьмого столба? Скорость бегуна постоянна.

114. Написано 99 чисел: 1, 2, 3... 98, 99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?

114а. Выпишите подряд  все натуральные числа от 1 до 99 включительно. Сколько раз при этом будет встречаться цифра «3»?

Решение. 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Цифра «3» встречается 20 раз.

Ответ: 20 раз.

115. Имеется два замка и два ключа к ним. Взяли ключ и проверили, подходит ли он к одному из замков. Достаточно ли этой проверки, чтобы узнать от какого замка каждый ключ?

 116. Два десятка умножили на три десятка. Сколько десятков получилось?

117. Сокровище, состоящее из монет, нужно пронести через двое ворот. Около каждых ворот стоит стражник и пропускает только тех, кто отдает половину монет и еще одну. Сколько монет было в сокровище, если в конце осталась одна монета?

118. На листе бумаги написано число 645*7235. Замените звездочку так, чтобы получившееся число делилось на 3.

119. Если к моим деньгам прибавить еще половину от них, то получится 81 копейка. Сколько у меня денег?

120. Утятам 8 дней. Когда утка начала высиживать их, если утята вывелись 11 мая, а срок высиживания 3 дня?

121. Умножили два натуральных числа - получилось 105. Какие числа умножили? Укажите все пары таких чисел.

122. Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправится. Но мост сломан, а река глубокая. Как быть? Вдруг командир заметил двух мальчиков, которые катались недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или двое мальчиков - не более. Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

123. Из 16 монет одна более легкая. Как при помощи 3 взвешиваний на чашечных весах определить ее?

123а. В нумизматической коллекции есть 24 монеты, которые внешне ничем не отличаются друг от друга. Одна из монет золотая и весит больше, чем другие. Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах найти золотую монету?

Решение.

Сначала надо взвесить 16 монет, положив на каждую чашу весов по 8 штук. Если какая-то чаша перевесит, значит, в ней и находится более тяжелая монета. Если чаши уравновесятся, тогда искомая монета среди тех 8, которые не были взвешены. Далее из кучи, в которой находится тяжелая монета, надо взять 6 штук и, разбив их по 3, опять взвесить. Если какая-то из чаш весов перевесит, значит, среди 3 монет, находящихся в ней, и есть искомая монета. Если чаши уравновесятся, значит, она — среди двух не взвешенных. И, наконец, надо взвесить или эти две оставшиеся монеты на двух чашах весов, или любые две из тех трех, среди которых находится более тяжелая. Во втором случае, если одна из чаш весов перевесит, то тяжелая монета — в ней, а если установится равновесие, то искомая монета — оставшаяся.

124. Найдите число, которое делится на 5 без остатка, а при делении на 2, 3 и 4 дает в остатке 1.

125. Найдите сумму чисел 1,2,3,...,998,999,1000.

126. Найдите сумму всех нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 97, 99.

127. Лист бумаги надо разрезать на 8 частей, ограниченных отрезками. Сколько разрезов нужно сделать?

128. Три девочки – Соня, Оля и Полина – одновременно сели есть конфеты. Оля и Соня съели вдвоем 11 конфет, Полина и Оля – 15, а Соня и Полина – 14. Сколько конфет съели все три девочки вместе?

129. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 30 дают в остатке 3.

130. Запишите самое большое трехзначное число, сумма цифр которого равна 15. 

131. Какой угол составляют между собой часовая и минутная стрелки часов в 16 ч? 

131а. Каким образом, не пользуясь измерительными приборами, определить величину угла, образованного часовой и минутной стрелками, когда часы показывают семь часов?

Решение. Если часы показывают семь часов (неважно — вечера или утра), то между концами часовой и минутной стрелок заключена дуга в 5/12 полной окружности, соответствующая 25 минутам на циферблате. Пять минут на циферблате соответствуют 1/12 полной окружности или, в градусной мере, — 360 : 12 = 30. Следовательно, 5/12 полной окружности составляют 150°, т.е. часовая и минутная стрелки в семь часов образуют угол в 150°.

Ответ: 150°.

132. На какую цифру оканчивается число 4²⁰¹⁴ (произведение 2014 четверок)?

133. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй – 80; третий – среднее арифметическое очков первых двух; четвертый – среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 50-й стрелок?

134. В команде 7 мальчиков и 6 девочек. Вначале все мальчики обменялись рукопожатиями друг с другом. Затем каждый мальчик обменялся рукопожатием с каждой девочкой. А вот девочки друг другу руки решили не жать. Сколько всего было рукопожатий?

135. Полный бидон с молоком весит 34 кг, а наполненный до половины – 17 кг 500 г. Сколько весит пустой бидон?

135а. Наполненный доверху водой сосуд имеет массу 5 кг, а наполненный наполовину – 3 с половиной килограмма. Сколько воды вмещает сосуд?

Решение. 5000г – 3500г =1500г – масса половины воды в сосуде. Вся вода имеет массу 3 кг.

Ответ: 3 кг.

136. Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, каждый со скоростью 50 км/ч. Но вместе с первым велосипедистом из города А вылетает муха, пролетающая в час 120 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В, и так продолжает она свои полеты взад и вперед до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?

136а. Навстречу друг другу по прямой дороге движутся два пешехода – каждый со скоростью 5 км/ч.  Первоначальное расстояние между ними 10 км. Муха, которая летает со скоростью 14 км/ч, взлетает с первого пешехода, летит по прямой ко второму, садится на него и, не теряя ни секунды, летит обратно к первому пешеходу, потом тут же снова ко второму и т. д.  Какое расстояние пролетит муха к тому моменту, когда эти два пешехода встретятся?

Решение. Пешеходы встретятся через час. Значит, муха пролети в общей сложности 14 км.Ответ: 14 км.

136б. Из двух городов, находящихся на расстоянии 300 км один от другого, одновременно выехали два велосипедиста навстречу друг другу со скоростью 50 км/час. Вместе с одним из велосипедистов из города вылетела муха, пролетающая в час 100 км. Она опередила первого велосипедиста, полетев навстречу второму. Встретив его, она сразу же полетела назад к первому. Повстречав его, опять полетела навстречу второму. Так она продолжала свои полеты до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Сколько километров пролетела муха?

Решение. Может показаться, что для решения этой задачи надо произвести некие сложные и тонкие математические расчеты, хотя на самом деле все намного проще. Поскольку велосипедисты ехали со скоростью 50 км/час, а расстояние между ними было 300 км, то встретились они через 3 часа, когда каждый из них проехал по 150 км. Значит, муха летала туда и обратно в течение 3 часов, а так как ее скорость равна 100 км/час, то в общей сложности она пролетела 300 км. Ответ: 300 км.

137. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если справа к нему приписать такое же число? Ответ подтвердите  примером.

138. Сколько нечетных чисел заключено между 300 и 700?

139. Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Сколько попыток вы попросите вам предоставить, чтобы наверняка открыть все чемоданы?

139а. Имеются 10 запертых чемоданов и 10 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемоданы?

Решение. Берем первый ключ и по очереди пытаемся открыть им чемоданы. Если один из чемоданов открылся — прекрасно, отставляем в сторону этот чемодан с этим ключом. Если же среди первых 9 чемоданов ни один не открылся, то значит, этот ключ непременно соответствует десятому чемодану. Что произошло? Мы использовали не более девяти попыток; у нас осталось 9 ключей и 9 чемоданов. Снова берем один ключ и открываем все чемоданы подряд. Для того чтобы определить, какому чемодану соответствует этот ключ, нужно восемь попыток. И так далее. Всего понадобится  9 + 8 + … + 2 + 1 = 45 попыток.

Ответ: 45 попыток.

140. Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

141. Несколько друзей, встретившись, поздоровались каждый с каждым. Сколько было друзей, если известно, что число рукопожатий равняется числу друзей?

142. Две авторучки дороже трех блокнотов. Что дороже: 7 авторучек или 10 блокнотов?

143. Какое число делится на все числа без остатка?

144. Что больше: произведение всех цифр или их сумма?

145. Найдите два таких числа, произведение которых равно 63 и частное от деления большего числа на меньшее также равно 63.

146. Как число 66 увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких арифметических действий?

146а. Мальчик написал на бумажке число 86, а затем увеличил его на 12, не производя никакой записи. Как он это сделал?

Решение. Число 86 надо всего лишь перевернуть «вверх ногами». Получится 98, а это и есть 86, увеличенное на 12.

146б. Как число 666 увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких арифметических действий?

Решение.Число 666 надо всего лишь перевернуть «вверх ногами». Получится 999, а это и есть 666, увеличенное в полтора раза.

147. Доктор прописал человеку три таблетки, сказав, что он должен их принимать по одной через каждые полчаса. Через какое время после начала лечения человек выпьет самую последнюю — третью таблетку?

148. В вашем шкафу лежит 22 синих носка и 35 черных носков. Вам надо в полной темноте взять из шкафа пару носков. Сколько носков нужно взять, чтобы с гарантией получить совпадающую пару?

149. Старинным часам требуется 30 секунд, чтобы пробить шесть часов. За сколько секунд часы пробьют 12 часов?

150. Если три дня назад был день, предшествующий понедельнику, то какой день будет послезавтра? 

151. Попугай, которому 110 лет, спросил старого крокодила: «Сколько тебе лет?» Крокодил, привыкший выражаться сложно и запутанно, ответил: «Мне сейчас в 10 раз больше лет, чем было тебе тогда, когда мне было столько же лет, сколько тебе ceйчас». Сколько лет крокодилу? 

151а. Мне вдвое больше лет, чем было Вам, когда мне было столько лет, сколько Вам сейчас. Сколько мне лет, если нам вместе 70 лет? 

Решение. Составим таблицу:

Подсчитав двумя способами время, отделяющее «сейчас» от «тогда», составим уравнение: х-у=у-х/2, откуда (3/2)х=2у. Значит, 3х=4у. Поскольку х+у = 70, то х = 40, у = 30.

Ответ: мне сейчас 40 лет.

152. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

153. В бассейн площадью 1 га налили 1 000 000 литров воды. Можно ли плавать в таком бассейне? 

154. Как написать число 100 с помощью пяти единиц и знаков действий? 

155. Три курицы несут три яйца за три дня. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней? 

155а.  3 кошки съедят 3 мышек за 1 ч 30 мин. За какое время 10 кошек съедят 20 мышек?

Решение. 3 кошки за 1 ч 30 мин съедят 3 мышек. Значит, 1 кошка за 1 ч 30 мин съест 1 мышку. Тогда 1 кошка за 3 ч съест 2 мышек. Следовательно, 10 кошек за  3 ч съедят 20 мышек.

Ответ: за 3 ч. 

156. В комнате есть свеча и керосиновая лампа. Что вы зажжете первым, когда вечером войдете в эту комнату? 

157. Сколько существует восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 2? 

157а. Сколько имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 2?

Решение. 1. Сумма цифр числа равняется 2 только в двух случаях, когда две цифры 1, а остальные нули и когда одна из цифр 2, а остальные нули.

2. Пятизначное число второго вида единственно 20 000. Пятизначные числа первого вида – это числа, в которых первая цифра 1, а ещё одна единица стоит в одном из оставшихся четырёх разрядов. Таких вариантов 4.

 Ответ: 5.

158. В футбольной команде 11 игроков. Их средний возраст равен 22 годам. Во время матча один из игроков выбыл. При этом средний возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку? 

159. Трехзначное число записали цифрами, а потом — словами. Получилось, что все цифры в этом числе разные и возрастают слева направо, а все слова начинаются с одной и той же буквы. Какое это число? 

159а. Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из чисел.

Ответ: сто, миллион.

160. В равенстве XIII = VII - VI, составленном из спичек, допущена ошибка. Каким образом надо переложить одну спичку, чтобы равенство стало верным? 

161. Как от куска материи в 2/3 м отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов? 

162. Попугай прожил меньше 100 лет и умеет отвечать на вопросы только «да» и «нет». Какое наименьшее количество вопросов ему надо задать, чтобы наверняка узнать его возраст? 

162а. Сколько вопросов? Мы знаем, что Олег родился с 15 по 18 июля. Сколько вопросов надо задать Олегу, чтобы узнать день его рождения, если на все вопросы он отвечает "да" или "нет"? Какой вопрос может быть первым?

Решение. Нам нужно определить одно из 4 чисел. Разобьем весь период на две части : с 15 по 16 июля  и  с 17 по 18 июля.  Для этого зададим первый вопрос: "Ты родился с 15 по 16 июля?"  После получения любого ответа нам уже надо будет искать ответ среди двух чисел.  А это уже можно сделать одним вопросом.

Ответ: за два вопроса можно узнать дату дня рождения Олега. А первый вопрос надо задать после того, как разбиваем весь период на два интервала и тогда спрашиваем про любой из них.

163. Если в вашем шкафу лежит вперемешку 10 пар серых носков и 10 пар черных носков, то в полной темноте, на ощупь, из шкафа нужно извлечь всего три носка, чтобы с гарантией получить совпадающую пару. Если в вашем шкафу лежит вперемешку 10 пар серых перчаток и 10 пар черных перчаток, то сколько перчаток надо извлечь из шкафа в полной темноте, на ощупь, чтобы с гарантией получить совпадающую пару? 

164. Какую часть часа составляют 40 мин?

165. Вычеркните буквы А, В, Г и получите математическое понятие:

         А П Г Р Г В А О В П В Г А О Р А В Г Ц В Г И А Г Я В Г А

166. Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвое больше прошедшей?

167. Восстановите запись: **·**=609.

167а. Восстановите запись: **·*=406.

Решение. Поскольку 406 = 2·7·29, то 58·7 = 406.

Ответ: 58·7 = 406.

168. Букет цветов. Сколько в букете цветов, если все они гвоздики, кроме двух, все они розы, кроме двух, и все они тюльпаны, кроме двух?

168. К Айболиту пришли на прием животные: все, кроме двух, собаки, все, кроме двух, кошки, все, кроме двух, зайцы. Сколько всего животных?

Ответ: трое животных: собака, кошка, заяц.

169. Каждому из трех слонов в зоопарке принесли по корзине яблок. Если каждый слон съедает свои яблоки за 3 минуты, то три слона съели яблоки за: (A) 9 мин.;  (B) 3 мин.;  (C) 2 мин.;  (D) 1 мин. Среди приведенных ответов только один правильный.

170. На прямой линии посажено 11 кустов так, что расстояние между любыми соседними кустами одно и то же. Найдите это расстояние, если расстояние между крайними кустами 90 дм. Правильный ответ к задаче находится среди следующих четырех: (A) 8 дм; (B)  8,5 дм;(C) 9 дм; (D)11 дм.

171. Костин дедушка очень любит давать ему задачи на числа. Вот одна из его задач: «Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на каком месте надо дописать, чтобы полученное число делилось на 36?»

172. Сын отца сапожника - плотник. Кем приходится сапожник – плотнику? Из следующих ответов правильный только один:         (a)  сапожник - сын плотника;   (b)  сапожник - отец плотника;   (c)  сапожник - дедушка плотника;   (d)  сапожник - брат плотника.

173. Играем в слова. Маша очень любит игру со словами. Она и для вас приготовила такую игру. Вот Машин пример: ПАУК (ПАРА) РАМА . А теперь ваш пример: УТЮГ (…) РОЗА.  Поставьте вместо точек  новое слово, но сначала посмотрите, как это сделала Маша. Если вы уже догадались, поищите свое слово в списке ответов: (a) утка;   (b) рама;   (c) рыба;   (d)утро.  

174. Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно? Для получения ответа, разумеется, не следует перемножать все числа. Подумайте, при умножении каких чисел из данного произведения получится число, заканчивающееся одним или двумя нулями.

174а.Сколькими нулями оканчивается произведение:1·2 ·3· ...· 2012 · 2013 ?

Решение. 1. Количество нулей в конце числа равно наименьшей из степеней 2-ки и 5-ки в разложении данного числа на простые множители. В рассматриваемом произведении в разложении на простые множители 5-ок будет меньше, поэтому количество нулей совпадает со степенью 5-ти.

2. Среди множителей данного произведения 402 числа (т.к. 2013: 5 = 402,6), делящихся на 5;   80 чисел, делящихся на 25 (т.к. 2013 : 25 = 80,52 );  16 чисел, делящихся на 125 (т.к. 2013 :125 = 16,104 );   3 числа, делящихся на 625 (т.к. 2013: 625 = 3,2208 ). Следовательно, в разложении произведения на простые множители число 5 будет содержаться в 402 + 80 +16 + 3 = 501 степени.

Ответ: 501.

175. Из спичек сложили шесть неверных равенств:

1) XII + IX = II

2) X = VII – III

3) VI – VI = XI

4) IV – V = I

5) X + X = I 

6) IV – I + V = II 

Переложите в каждом равенстве по одной спичке, чтобы равенства стали верными.

176. Плитка шоколада прямоугольной формы состоит из 4х8 равных долек. Она разламывается на 32 одинаковых отдельных частей по прямым, разделившим дольки.  Сколько раз придется для этого  ломать плитку на дольки?

176а. Плитка шоколада представляет собой прямоугольник, который состоит из 9 вертикальных и 6 горизонтальных рядов квадратных долек. Плитка разламывается по углублениям, которые разделяют дольки, до тех пор, пока не получатся 54 дольки. Сколько раз придется ломать плитку шоколада?

Решение. После первого разлома получаем 2 плитки, а при последующих разломах добавляется по одной части плитки. Таким образом, когда мы разломаем плитку 53-й раз, получится 54 дольки.

Ответ: 53 раза.

177. Выпишите все числа, которые можно получить, переставляя цифры у числа 1985. Сколько таких чисел?

178. Площадь квадрата равна 36. Чему равен его периметр?

179. В футбольном турнире, проведенном в один круг (каждая команда играла с остальными командами по одному разу), было сыграно 1176 матчей. Сколько команд участвовало в турнире? Учтите, что если в однокруговом турнире  участвуют  n  команд, то в нем играетсяn(n-1)/2 матчей.

179а. В шахматном турнире, проводившемся в один круг, было сыграно всего 190 партий. Сколько было участников?

Решение. Пусть было всего n участников, значит, каждый сыграл n – 1 партию. Тогда всего было сыграно (n – 1)·n/2 партий. Здесь деление на 2 производится потому, что в противном случае каждая партия будет посчитана дважды – как партия между n-м и (n – 1)-м участниками и наоборот. Таким образом,  (n – 1)·n/2 = 190, т. е. (n – 1)·n=2·190 = 19·20. Отсюда n =20. Ответ: 20

180. Найдите сумму всех нечетных чисел от 1 до 199 включительно.

181.На какие цифры оканчиваются числа 1989¹⁹⁸⁹ и 1989¹⁹⁹²?

181а. На какие цифры оканчиваются числа 1992¹⁹⁸⁹ и 1992¹⁹⁹²?

Решение. Поскольку нас интересуют только последние цифры результатов, достаточно определить последние цифры чисел 2¹⁹⁸⁹ и 2¹⁹⁹². Число 2 при возведении в степень (2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …) может давать следующие последние цифры: 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении на 4 дает остаток 1 – последняя цифра 2; если остаток 2 – последняя цифра 4; если остаток 3 – последняя цифра 8; если остаток 0 – последняя цифра 6. Следовательно, 2¹⁹⁸⁹ имеет последнюю цифру 2, а 2¹⁹⁹² – цифру 6.

Ответ: на 2 и на 6.

182. Длина прямоугольного параллелепипеда 250, ширина 120, высота 40 мм. Его разрезали на кубические сантиметры и разместили в один ряд вплотную один к одному. Какой длины получился ряд?

183. В велосипедном колесе 20 спиц. А сколько промежутков между спицами?

183а. На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?

Решение. Десять разрезов — это 20 радиусов, которые делят круглый торт на 20 секторов, т. е. на 20 кусков.

Ответ: 20 кусков.

184. Найдите два натуральных числа, разность и частное которых – одно и то же число.

185. Шахматный конь начинает свой маршрут из левого нижнего угла доски, а кончает его в правом верхнем. Может ли конь побывать при этом на всех полях доски в точности по одному разу?

186. На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

187. На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

188. Имеется 16 палочек длиной по 2 см, 12 палочек длиной по 1 см, 13 палочек длиной по 3 см. Можно ли из всех этих палочек сложить прямоугольник?

189. Какой цифрой оканчивается разность 1·2·3·…·18·19 – 1·3·…·17·19?

190. В словаре племени умба-юмба каждое слово состоит из двух разных букв, а всего слов 380. Сколько букв в алфавите этого племени?

190а. На встрече после окончания школы выпускники обменялись фотокарточками. Сколько пришло выпускников, если карточек было 380?

Решение. Если пришло n выпускников, то фотокарточек, которыми обменялись выпускники, было всего n(n – 1) = 380 (каждый выпускник из n отдал по  n – 1 фотокарточке).

Ответ: 20 выпускников.

191. Сумма шести последовательных четных чисел равна 3 018. Найдите эти числа.

191а. Сумма четырех последовательных четных чисел равна 3 348. Найдите эти числа.

Решение. Пусть меньшее число х, тогда имеем:

х+х+2+х+4+х+6= 3018, откуда 4х+12 = 3 348,  х+3 = 837, х = 834.

Ответ: 834, 836, 838, 840.

192. Саша открыл книгу и обнаружил, что сумма номеров левой и правой страниц 25. Чему равно произведение этих номеров?  

193. Известно, что ровно одно из чисел 3326, 3307, 3325, 3321 является простым. Какое это число?  Из следующих ответов только один правильный: А) 3326; Б) 3307; В) 3325; Г) 3321;Д) Невозможно определить.

194. Три бобра построили плотину за 12 дней. Весной плотину смыло. Тогда они  позвали соседей и за 4 дня снова построили такую же плотину. Сколько помощников позвали бобры?

195. Сумма  возрастов трех друзей 29 лет. Сколько лет им будет вместе через 7 лет?

196.Запишите число 100 шестью девятками.

196а. С помощью четырех цифр 5 составь выражение, значение которого равно 12.

Ответ: (55 + 5) : 5 =12.

197. В одной семье кенгуру принято называть кенгурят именами, состоящими из двух букв, взятых из слова «кенгуру»: первая буква – согласная, а вторая – гласная. Сколько таких имен можно составить?

198. Стали вороны садиться по одной на березу – не хватило одной березы; стали садиться по двое – одна береза оказалась лишней. Сколько было ворон и сколько берез?

198а. Галки и палки.

Прилетели галки, сели на палки,

Если на каждой палке

Сядут по одной галке,

То для одной галки

Не хватит палки.

Если же на каждой палке

Сядет по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было галок?

Решение. Пусть палок было х, тогда галок х+1. По условию имеем: (х+1):2 + 1 = х. Откуда х +1 +2=2х. Следовательно, х = 3(палок) и 4 галки.

Ответ: 3 палки и 4 галки.

199. В квартирах №1, №2, № 3 жили три котенка: белый, черный, рыжий. В квартирах № 1 и № 2 жил не  черный котенок. Белый котенок жил не в квартире № 1. В какой квартире жил каждый котенок?

200. Определите, какая из сумм больше: сумма всех четных чисел до тысячи (2+4+6+…+996+998+1000) или сумма всех нечетных чисел до тысячи (1+3+5+7+ … +997 + 999)?

201. Кузнец делает 4 удара за 12 с. Сколько ему нужно времени, чтобы сделать 8 ударов?

201а. В 3 ч стенные часы отбивают 3 удара за 6 с. За сколько секунд эти часы отобьют 8 ударов в 8 ч?

Решение. Количество промежутков между 3 ударами равно 2. Значит, от удара до удара проходит 3 с. А промежутков между 8 ударами 7. Следовательно, чтобы сделать 8 ударов, надо 3·7 = 21 с.

Ответ: 21 с.

202. Представьте дробь 43/90 в виде суммы трех дробей, у каждой из которых числитель равен 1.

202а. Представьте дробь 19/36 в виде суммы трех дробей, у каждой из которых числитель равен 1.

Решение.  Пусть 19/36 = 1/а + 1/b+ 1/с. Чтобы определить а, b, с, разложим 36 на простые множители: 36=2·2·3·3. Тогда можно подобрать искомые дроби так, чтобы выполнялось условие задачи: 19/36=1/6+1/9+1/4.

Ответ: 19/36=1/6+1/9+1/4.

203. У двух сестер денег было поровну. Старшая сестра израсходовала 9/16 своих денег, а младшая сестра израсходовала 8/15 своих денег. У кого из них денег осталось меньше?

203а. Два автомобиля должны пройти один и тот же путь. За час первый автомобиль прошел 5/16 этого пути, а второй – 6/17 этого пути. Какому автомобилю осталось пройти меньше?

Решение. Первому автомобилю осталось пройти 1 – 5/16 = 11/16 пути, второму  осталось 1 – 6/17 = 11/17 пути. Следовательно, второму автомобилю осталось пройти меньше.

Ответ: второму автомобилю осталось пройти меньше.

204. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 145?

204а. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 123?

Решение. Всех правильных дробей со знаменателем 123 есть 122. Поскольку 123 = 3·41, то две дроби 3/123 и 41/123 сократимы. Остается 120.

Ответ: 120. 

205. Уменьшаемое равно а, вычитаемое равно b. Чему будет равен результат, если от уменьшаемого отнять разность этих чисел?

205а. Уменьшаемое равно m, вычитаемое равно n. Чему будет равна сумма вычитаемого и разности этих чисел?

Решение. Имеем: n  + m – n = m. Ответ: m.

206. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6 (цифры в записи числа не повторяются)?

207. Пришел мельник на мельницу, на мельнице четыре угла, в каждом углу – по четыре мешка, на каждом мешке – по четыре кошки, у каждой кошки – по четыре котенка. Сколько всего ног?

208. Какой цифрой оканчивается произведение всех натуральных чисел от 7 до 81 включительно?

208а. Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?

Решение. Всего трехзначных чисел  999 – 99 = 900. Имеем: 100+101 + 102 + … + 997 + 998 + 999 = (100+999)·450, т. е. произведение оканчивается нулем. Ответ: 0.

209.Какой цифрой оканчивается сумма 26·27·28·29+51·52·53·54?

209а. Какой цифрой оканчивается  разность 41·43·45·47 – 37·39·41·42?

Решение. Перемножив только единицы, фиксируя, в частности, только последние цифры произведений: 1·3 — 3·5 — 5·7 — 5, получим, что первое произведение (оно большее, чем второе) оканчивается цифрой 5, а второе – 6. Вычитая 6 из 15, получаем 9, поэтому разность оканчивается цифрой 9. Ответ: 9.

210. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с разными цифрами. Если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двухзначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим. Первая цифра больше последней в четыре раза. Сколько лет Хоттабычу?

211. Признак делимости на 11. Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11. Если же указанные суммы цифр через одну не равны между собой и их разность не делится на 11, то и данное число не делится на 11. Пользуясь этим признаком делимости, установите, делятся ли  числа 3 528 041 и  8 558 041на 11.

211а. Делится ли на 11 число, имеющее четное число цифр, первая и последняя из которых единицы, а остальные – нули?

Решение. Делится, поскольку разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах в таком числе равно 0, т. е. указанные суммы равны. А по признаку делимости на 11 такое число делится на 11.

Ответ: да, делится.

212. Признак делимости на 7, 11, 13. Чтобы узнать делится ли число на 7 (на 11 и на 13), необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр; если эта разность делится на 7 (11 или 13), то и заданное число также делится на 7 (11 или 13).Пользуясь признаком делимости, установите, делятся ли на 7 числа 348 285 и 946 988 875.

212а. Делится ли на 11 число, состоящее из четного числа одинаковых цифр?

Решение. По признаку делимости на 11, такое число делится на 11.

Ответ: да, делится. 

212б. Запишите шесть  трехзначных чисел, которые  делятся на 11?

Решение. Признак делимости на 11 трехзначного числа: если в трехзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число делится на 11. Значит, на 11 делятся: 121, 132, 231, 143, 242, 341.

Ответ: например, 121, 132, 231, 143, 242, 341.

213. Дед рассказывал своим внучатам: «В комнате было 5 стульев, на них сидели 4 матери, 4 дочки, 3 бабушки, 2 прабабушки и одна прапрабабушка. При этом каждая женщина сидела на отдельном стуле». «Это невозможно», – возразили внучата. «Я сам видел», – ответил дед. Возможно ли это?

213а.  Два отца и два сына застрелили три зайца, каждый по одному. Как это возможно?

Ответ: всего было три человека: дед, отец и сын.

214. Пять стогов и семь стогов сена свезли и сложили вместе. Сколько получилось стогов?

215. У трех маляров был брат Прокоп, а у Прокопа братьев не было. Как такое могло случиться?

216. Между пятью детьми разделите пять яблок, причем одно яблоко должно остаться в корзине.

217. Сумма чисел равна 69 и одно из них на 15 больше другого. Найдите эти числа.

218. Найдите значение выражения 2014·201 520 152 015 – 2015·201 420 142 014.

218а. Вычислите 201220122012 · 2013 - 201320132013·2012.

Решение. 201220122012 · 2013 - 201320132013· 2012=2013· 2012 ·(100010001 -100010001) = 0. Ответ: 0.

219. Припишите к числу 43572 справа или слева одну цифру так, чтобы получившееся число разделилось на 11.

219а. Придумайте девятизначное число, которое делилось бы на 11.

Решение. Например, 110 000 011. 

220. В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты вышло 30, а из второй 40, то людей в комнатах осталось поровну. Сколько людей было в каждой комнате первоначально?

221. В римской нумерации записано какое-то число. К нему приставлено снизу его перевернутое изображение. Получилось число вдвое больше данного. Найдите это число.

222. В некотором шифре слово «ребус» записывается «беурс», слово «решил» – «шеирл». Как записать в этом шифре слово «доска»? Что означает зашифрованное слово «чукра»?

223. Каких чисел среди первых 10 000 больше – делящихся на 3 или не делящихся на 3?

224. На соломинку длиной в 10 см нанизаны 12 ягод земляники. Покажите, что найдутся 2 ягодки, расстояние между которыми меньше, чем 1 см.

225.Замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство: ****+****=*9997.

226. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых четные?

227. Еще один признак делимости на 11. Разобьем данное натуральное число справа налево на грани по две цифры в каждой и сложим эти грани. Если полученная сумма делится на 11 без остатка, то и данное число делится на 11 без остатка. Пользуясь этим признаком, напишите шесть четырехзначных чисел, делящихся на 11 без остатка.

227а. Установите, пользуясь признаками делимости на 11, делится ли на 11 число 978652213?

Решение 1.  Разобьем число на грани справа на лево по две цифры:

9 78 65 22 13. Сложим эти грани и получим число 187, которое делится на 11. Значит, и данное число делится на 11.

Решение 2. Разность 978652 – 213 = 978439 , далее разность 978 – 439 = 539 делится на 11, следовательно, и данное число делится на 11 без остатка.

Решение 3. Сумма цифр на нечетных местах данного числа равна 9+8+5+2+3 = 27, на четных местах: 7+6+ 2+1=16. Разность 27 – 16 = 11. Значит, данное число делится на 11 без остатка.

Ответ: делится.

228. Катя решила задачу первой. Она объяснила решение трем подругам. Каждая из них объяснила решение задачи еще троим. Каждая из этих троих объяснила решение еще троим. К началу урока все учащиеся класса знали, как решить задачу. Сколько учеников было в классе?

229. Имеется двое песочных часов: на 7 мин и на 11 мин. Каша должна вариться 15 мин. Как сварить ее, перевернув часы минимальное количество раз?

230. Из двух станций навстречу друг другу одновременно вышли два поезда: товарный и скорый. Скорость первого поезда – 80 км/ч, второго – 40 км/ч. Через 6 часов после своего выхода скорый поезд встретился с товарным. Сколько времени до момента встречи шел товарный поезд?

231. В воскресение в 6 ч утра гусеница, которая живет не более суток, а затем превращается в кокон, начала вползать на дерево. В течение дня, т. е. до 6 ч вечера, она забралась на высоту 5 м, но потом сползла на 2 м вниз. Когда и в каком часу гусеница, двигаясь таким образом, может достигнуть вершины, если высота дерева 12 м?

232. Жанна хочет сложить на калькуляторе 1379 и 243. Ошибочно она ввела 1279 + 243. Что ей надо сделать, чтобы исправить свою ошибку? Из возможных ответов определите правильный: А) Прибавить 100; В) Прибавить 1; С) Вычесть 1; D) Вычесть 100.

233. Записана последовательность чисел: 100, 1, 99, 2, 98, … Какие следующие три числа надо записать? Требуется выбрать правильный ответ из предложенных:  А) 3, 97, 4; В) 4, 97, 5; С) 97, 3, 96; D) 97, 4, 96.

234. У фермера в поле 84 ряда капусты. В каждом ряду по 57 кочанов. Какой из указанных ниже способов подсчета позволяет наиболее точно оценить, сколько всего кочанов в поле:А) 100·50 = 5000; В) 90·60 = 5400;   С) 80·60 = 4800;  D) 80·50 = 4000?

235. Два мальчика Денис и Игорь учатся играть в игру «Получи число 20». Для этой игры каждый игрок получает 10 карточек. На каждой из них написана одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Правила игры: выбери карточки (каждый игрок, не глядя, вынимает 3 карточки), сложи числа, написанные на карточках (эти карточки надо положить так, чтобы получить сумму, самую близкую к 20, т. е. можно складывать числа, которые образуют три, две или 1 карточки). Денис вытащил 2, 7, 9. Игорь вытащил 1, 3 и 6. Кто из них получит сумму более близкую к 20?

235а. Во время игры «Получи число 20» Игорь сказал, если я вытащу 1, 4 и 6, то я могу получить число 20 двумя способами. Покажите, как Игорь двумя способами может положить карточки 1, 4 и 6, чтобы получить сумму, равную 20. Решение. 14+6 = 20 и 16+4 = 20.

236. Какой вес? У продавца были гири : 1 кг, 2 кг и 4 кг и чашечные весы. Какой вес он может взвесить с помощью этих гирь, если гири он кладет только на одну чашку весов? 

237. Сколько книг? В библиотеке на двух полках было 19 книг. Купили новые книги и на каждую полку поставили еще столько книг, сколько было на ней. Сколько теперь книг стоит на двух полках? 

238. Как платить? Буратино снял номер в сказочной гостинице. За проживание в номере Буратино должен платить 1 сольдо в день. У Буратино есть купюры в 1 сольдо и в 2 сольдо. Как он сможет расплачиваться за гостиницу на протяжении 3 дней, если платить надо ежедневно?Сколько партий? 15 человек, отдыхающих в доме отдыха, любят играть в уголки. Они провели между собой соревнование. После каждой партии выбывал проигравший.  В первый день состоялось 5 партий, во второй 6, а в третий день соревнование закончилось. Сколько партий состоялось в третий день? 

239. Сколько партий? 15 человек, отдыхающих в доме отдыха, любят играть в уголки. Они провели между собой соревнование. После каждой партии выбывал проигравший.  В первый день состоялось 5 партий, во второй 6, а в третий день соревнование закончилось. Сколько партий состоялось в третий день? 

240. Три полицейских гнались по прямой дороге за одним жуликом, вырвавшимся от них. Усатый полицейский бежал со скоростью 6 км/ч, лысый полицейский – со скоростью 7 км/ч, а высокий – со скоростью 8 км/ч. Жулик убегал со скоростью 10 км/ч. Пробежав 3 часа, жулик залез на березу и притаился. А полицейские, пробежав по 5 часов каждый без завтрака, обеда и ужина, остановились и все трое подняли головы вверх. Один из полицейских увидел жулика на березе, обрадовался и арестовал его, а два других вернулись в полицию грустные. Какой полицейский арестовал жулика?

241. Закончи фразу. Составим перевертыш или фразу, которая читается одинаково слева направо и справа налево. Вот ее первая часть, превышающая половину:  "аргентинам…". Постарайся теперь построить перевертыш. 

241а. Рекламная надпись "золото лоз" читается также и от конца к началу. Придумайте другие фразы с таким же свойством.

Решение. Фраза, которая читается слева направо и справа налево одинаково, называется палиндромом. Чтобы составить палиндром, нужно написать любое слово наоборот и посмотреть, на что это похоже. Например, берем слово ДРОВА и пишем наоборот АВОРД. Смотрим, на что это похоже.

(А ВОР Д) елил Лиле (ДРОВА) – А вор делил Лиле дрова.

 Ответ: а вор делил Лиле дрова.

242.Женя выписывал в ряд натуральные числа по порядку: 12345678910111213141516171819... Какая цифра стоит на 2014 месте?

243. Разгадываем ребус. Чему равно А:

* · А = *А?

244. Подарок  брата. Роман и Федор - два брата. У них вместе 100 марок. В день рождения Федора Роман подарил ему 20 марок, и у них стало одинаковое количество марок. Сколько марок было у Романа и Федора до этого? 

245. Сколько драконов? 2-головые и 7-головые драконы собрались на митинг. В самом начале митинга Король Драконов - 7-головый Дракон пересчитал всех собравшихся по головам. Он огляделся вокруг своей, украшенной короной средней головы и увидел 25 голов.Король остался доволен результатами подсчетов и поблагодарил всех присутствующих за их явку на митинг. Сколько всего драконов пришло на митинг?

Какой ответ правильный: (a) 7;  (b) 8;  (c) 9;  (d) 10;  (e) 11?

246. Кто сидит рядом с мамой Мари? На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари? Найдите правильный ответ среди предложенных: (A) Мари;   (B)бабушка;   (C) Мари и бабушка;   (D) Мари и кукла;   (E) бабушка и кукла. 

247. Самый большой номер в русском алфавите.  Какая из букв слова КЕНГУРУ имеет самый большой номер в русском алфавите? Выберите из ответов: ( A ) К;     (B) Е;    (C)   Г;    ( D )  У;     ( E ) Р.

248. Определите последнюю цифру в произведении

2010 ·2011· 2012 · 2013· 2014 ·2015·2016 · 2017 · 2018 · 2019.

249. Участник олимпиады  решил первую задачу за четыре минуты, а на каждую следующую задачу он тратил на одну минуту больше, чем на предыдущую. Сколько времени он потратил на решение 9 задач?

250. На чудо-дереве растут яблоки и апельсины. Изначально было 2014 яблок и 2014 апельсинов. Если c дерева сорвать два одинаковых фрукта, то вырастет один апельсин, а если два разных – то яблоко. К чудо-дереву прибегали чудо-звери и срывали по два фрукта. Так продолжалось до тех пор, пока на дереве остался один фрукт. Что это за фрукт?

251. Мама испекла одинаковые с виду пирожки: 7 с капустой, 7 с мясом и один с вишней, и выложила их по кругу на круглое блюдо именно в таком порядке. Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. Оля знает, как лежали пирожки, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Оле наверняка добиться этого, надломив не больше трёх невкусных пирожков?

252. На какое число кусков можно разрезать квадратный торт при помощи трёх прямолинейных разрезов от края торта до края? Разрезы не совпадают. Горизонтальные разрезы делать нельзя.

253. Из г. Ивье в г. Ошмяны выехал велосипедист. Одновременно с ним из г. Ошмяны в г. Ивье выехал другой велосипедист. Они двигались с постоянными, но различными скоростями. Через час расстояние между велосипедистами равнялось 42 км, а ещё через час 20 км, и они ещё не встретились. Найдите расстояние от г. Ивье до г. Ошмяны.

254. Сумма цифр четырехзначного числа равна 7, а разность суммы двух последних цифр и суммы двух первых цифр равна трём. Найдите все числа, удовлетворяющие указанным условиям. Объясните отсутствие других чисел, соответствующих условию задачи.

255. Красная Шапочка решила отнести бабушке пирожки к обеду. Пройдя половину пути с одной скоростью, она села на пенёк и съела несколько пирожков. После отдыха, чтобы наверстать потерянное время, Красная Шапочка побежала бегом со скоростью в два раза большей первоначальной. Сколько пирожков съела Красная Шапочка, если на один пирожок она тратила время, составляющее  1/10 от времени на дорогу до бабушки при ходьбе с первоначальной скоростью?

256. Поставьте в записи 1*2*3*4*5=25 вместо звездочек знаки арифметических действий: +, –, · , : так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример расстановки знаков.

256a. Поставьте в записи 1*2*3*4*5=7 вместо звездочек знаки плюс или минус так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример расстановки знаков.

Ответ: 1 + 2 + 3 – 4 + 5 = 7.

257. Участник математической олимпиады  выполнил 10 задач за 1 час 10 минут, причем на каждую задачу он затратил одинаковое время. Сколько минут школьнику потребовалось на решение четвёртой задачи?

258. У числа 248 средняя цифра в два раза отличается от крайних. Сколько всего имеется трёхзначных чисел, у которых средняя цифра в два раза отличается от крайних?

259. На окраску деревянного кубика затратили 4 грамма краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков меньшего размера. Сколько краски потребуется для того, чтобы закрасить образовавшиеся при этом неокрашенные поверхности?

260. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 5 частей? А на 2014 частей?

261. На олимпиаде первые 4 места заняли школьники Вася, Петя, Ирина и Маша. Сумма мест занятых Васей, Петей и Ириной равна 9, а сумма мест Ирины и Маши равна 5. Какое место занял каждый из названных школьников, если Петя занял более высокое место, чем Вася?

262. Илья отпил 40 г из чашки (в чашке 180 г) кофе и долил ее молоком. Затем выпил еще 50 г из чашки кофе с молоком и опять долил ее молоком. Потом он выпил полчашки и опять долил чашку молоком до полной чашки. Наконец, Илья выпил полную чашку. Чего он выпил больше: кофе или молока?

263. Кошка Мурка съедает вкусную сосиску за 6 минут, а кот Васька – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят сосиску вместе?

264. В примере на сложение цифры заменили звёздочками. Получилось ** + *** = ****. Известно, что каждое из слагаемых и сумма не изменятся, если прочитать их справа налево. Восстановите исходный пример.

265. Произведение трех чисел равно 140. Произведение первых двух равно 28, а произведение второго и третьего – 35. Найдите эти числа.

265а. Сумма трех чисел равна 80. Сумма первого и второго равна 60, а сумма первого и третьего – 20. Найдите эти числа.

Ответ:0+60+20.

266.  К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?

267. На олимпиаде  каждый участник получил ровно один сертификат. До Вани Иванова сертификаты получили 354 школьника, а после него 465. Сколько было участников олимпиады?

268. Из села Просторное в село Хлевное ведут три дороги, а из села Хлевное в село  Колодищи – четыре дороги. Сколько существует путей из села Просторное в село Колодищи? Каждый путь проходит через село Хлевное только один раз.

269. Четырехзначное число назовём “двукратным” если одна из его цифр в два раза больше другой и в два раза меньше третьей. Например, в числе 2014 цифра 2 в два раза больше цифры 1 и в два раза меньше цифры 4. Напишите ближайшее “двукратное” число, следующее за 2014.

270. На узкой дороге, ведущей к центру “Стратегия”, два автомобиля разъехаться не могут, но имеется “карман”, в который может заехать один автомобиль. По дороге в одну сторону едут друг за другом три автомобиля, а навстречу им ещё два автомобиля. Могут ли автомобили разъехаться так, чтобы продолжать свой путь по-прежнему? А если бы автомобилей было больше?

271.Три синих попугая съедают 3 кг корма за 3 дня, пять зеленых попугаев – 5 кг за 5 дней, а семь красных – 7 кг за 7 дней. Какие попугаи самые прожорливые?

272.Рост Буратино 1 м 4 дм, а длина его носа раньше была 9 см. Каждый раз, когда Буратино обманывал, длина его носа удваивалась. Как только длина его носа стала  больше его роста, Буратино перестал обманывать. Сколько раз он обманул?

273. Генерал построил солдат в колонну по 4, но при этом только солдат Иванов остался лишним. Тогда генерал построил солдат в колонну по 5. И снова один Иванов остался лишним. Когда же и в колонне по 6 опять только один Иванов остался лишним, генерал посулил ему наряд вне очереди, после чего в колонне по 7 Иванов нашел себе место и никого лишнего не осталось. Какое наименьшее количество солдат могло быть у генерала?

274. Расшифруйте запись примера на сложение, где одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, а разными буквами –разные цифры:

    У Р А Н

+

    У Р А Н

Н А У К А

275. Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь? (Спички ломать нельзя.)

276. Что больше: произведение всех цифр или их сумма?

277. Лиса купила у пчел 100 кг меда за 1000 руб., а на рынке стала продавать его по 12 руб. за килограмм. Какой доход получит лиса, когда продаст весь мед?

278. Два мальчика играли на гитаре, а один на балалайке. На чем играл Юра, если Миша с Петей  и Петя с Юрой играли на разных инструментах?

279. Алиса попросила ей помочь ответить на мучивший вопрос: лежа на берегу, за 1-й день она прочитала ½ книги, за 2-й день – 1/3 остатка, а за 3-й день – половину того, что она прочитала за первые два дня. Не подскажете ли ей, прочитала ли она книгу до конца?

280. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько детей в семье?

281. Из 15 монет, одинаковых с виду, одна фальшивая. Неизвестно, тяжелее иди легче она остальных. Как это узнать, выполнив не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

281а. Какая монета тяжелее? Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определите, легче она или тяжелее?

Решение. Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной. При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет. В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе. Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет. Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то, заменив монеты на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие), мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется), либо тяжелее (если весы уравновесятся).

282.На берегу собрались 12 черепах, возраст которых 30 и 50 лет. Число 30-летних черных черепах составляет половину числа коричневых 50-летних. Сколько черепах черных?

283.Черная королева предлагает задачу: «Бутыль вина стоит 30 шиллингов. Вино стоит на 26 шиллингов больше, чем бутыль. Сколько стоит бутыль?»

284. Десять друзей, решив отпраздновать окончание гимназии в кафе, заспорили у стола о том, как усесться вокруг него. Услышав это, официант сказал: «Друзья, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется. Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сели. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому, и т. д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы сегодня, тогда обещаю – я начну ежедневно угощать вас всех бесплатно самыми изысканными блюдами». Дождутся ли друзья того дня, когда они станут питаться бесплатно? Сколько всех возможных размещений за столом 10 человек?

284а. Возьмем любое трехзначное число, например, 475. Сколько еще можно получить чисел путем перестановки цифр этого числа? Добавим четвертую цифру: 4753. Сколько теперь будет перестановок?

Решение. Рассмотрим трехзначное число 473. Имеем следующие перестановки: 475, 457, 745, 754, 547, 574. Всего 6 перестановок. А теперь рассмотрим четырехзначное число 4753. Если каждую цифру поставить на первое место, то три другие дадут шесть перестановок, значит, так как у нас всего четыре цифры, то всего получится 4·6 = 24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, число перестановок  равно 1·2·3 = 6. Когда же взяли 4 цифры, то число перестановок равно 1·2·3·4 = 24. Заметим, что если рассматривать пятизначное число, то число перестановок равно 1·2·3·4·5 = 120. Аналогично проводится подсчет числа перестановок и в случае шестизначного числа, семизначного числа, … Выписывать все получаемые перестановки при таком  подсчете их числа уже не представляется необходимым.

Ответ: 1·2·3 = 6 и 1·2·3·4 = 24.

285. Незнайка, почесывая затылок, никак не может придумать, какой знак надо поставить между цифрами 5 и 6, чтобы получилось число, большее 5, но меньшее 6. Помогите ему.

286.Петя и Миша имеют фамилии Белов и Чернов. Какую фамилию имеет каждый мальчик, если Петя на год старше Белова?

287. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 5, 7, 9 в каждом двузначном числе только по одному разу?

288.Витя Верхоглядкин провел 11 диаметров окружности. Потом он подсчитал число проведенных радиусов и получил число 21. Правильный ли его ответ?

289.Напишите девять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Не меняя порядка этих цифр, расставьте между ними знаки «+» и « - » (всего три знака) так, чтобы в результате получилось 100.

290. Из куска железа выплавили три куба с ребрами 3, 4 и 5 дм. Потом их  расплавили и выплавили один куб. Как вы думаете, чему равна длина его ребра?

291. Человек отправился на рыбалку, но забыл поплавок для удочки. В качестве поплавка он решил использовать кусочек жмыха взятого для подкормки. Забросив удочку, человек заметил, что 1/4 часть поплавка находится над водой, а ¾ под водой. Такое соотношение надводной и подводной частей сохранялось всё время пока жмых не съели пять голодных мух, севшие на поплавок сверху, и карась, который ел жмых под водой. Скорость поедания жмыха одной мухой равна 0,1 грамма в минуту, карась съедал 1 грамм в минуту. Сколько съел карась, если первоначально жмых весил 9 граммов? Примечание. Жмых – продукт, получаемый после отжима растительного масла из семян масличных культур.

291а. В озере плавало яблочко весом 100г: половина его под водой и половина над водой. К нему подплыла рыбка и подлетела птичка, которые одновременно начали кушать, причём птичка в два раза быстрее, чем рыбка. Когда остался только огрызочек весом 10г, они остановились. Сколько грамм съела птичка?

Решение. Всего съели 100-10 = 90 г. Пусть рыбка съела х, птичка 2х. Тогда 90:3 =30г –съела  рыбка,  а птичка 60г. Ответ: 60 г.

292.Вычислите: 99 – 97 + 95 – …+3 – 1.

293.В коробке 15 шариков. Среди них имеются красные, белые и черные. Известно, что красных шариков в семь раз больше, чем белых. Сколько в коробке черных шариков? Ответ обоснуйте.

294.Юра купил четыре книги. Все книги без одной стоят 4200 руб., без второй – 4000 руб., без третьей – 3800 руб., без четвертой – 3600 руб. Сколько стоит каждая книга?

294а. Андрей, готовясь к встрече с друзьями, положил в вазу фрукты: яблок и груш вместе было 9 штук, яблок и мандаринов – 11, а груш и мандаринов – 8. Сколько всего было фруктов? Каких фруктов было меньше всего? А каких больше? Определите количество фруктов каждого вида.

Решение. 1. Меньше всего груш; больше всего яблок.

2. 9 + 11 + 8 = 28 – удвоенное количество фруктов.

3. 14 – общее количество фруктов.

4. 14 – 9 = 5 – количество мандаринов.

5. 14 – 11 = 3 – количество груш.

6. 14 – 8 = 6 – количество яблок.

Возможны другие варианты решения.

Ответ: 14; меньше всего груш; больше всего яблок; 3 груши, 5 мандаринов, 6 яблок. 

295. Шах в трех чашах хранил жемчуг. Затем решил подарить старшему сыну половину жемчужин из первой чаши, среднему – 1/3 из второй, а младшему только ¼ жемчужин из последней. Далее он решил подарить старшей дочери 4 лучшие жемчужины из первой чаши, средней – 6 жемчужин из второй чаши, а младшей дочери 2 жемчужины из третьей чаши. И останется у него в первой чаше 38, во второй – 12, а в третьей – 19 жемчужин. Сколько жемчужин должно было быть в каждой чаше шаха сначала?

296.Из пункта А в пункт Б едет поезд со скоростью 45 км/ч. А из пункта Б в пункт А едет второй поезд со скоростью 65 км/ч. Расстояние между пунктами А и Б 317 км. Найти расстояние между поездами за час до их встречи. 

297. Хозяин имел квадратный двор. На четырех углах двора он посадил по дереву. Прошло время, и он захотел увеличить свой двор в 2 раза, но чтобы он по-прежнему был квадратным. Как ему поступить, чтобы деревья остались на линии ограды? 

298.Сколько четырехугольников в пятиугольной звезде? 

299.Шла Баба-Яга Костяная Нога в Звенигород и повстречала троих Леших. Каждый нес по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Звенигород? 

300. В равенстве ЛИК · ЛИК = БУБЛИК заменить буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство. 

301. Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Какое это число? 

302. Трехзначное число 87* делится на 5 и на 3. Какова его последняя цифра? 

303. Учитель принес в класс 111 тетрадей и разделил их поровну между детьми. Детей в классе больше 20 и меньше 40. Сколько детей в классе? 

304. Внук спросил дедушку: "Сколько тебе лет?" Дедушка ответил: "Если проживу еще половину того, что я прожил и еще 1 год, то мне будет 100 лет". Сколько лет дедушке? 

304а. "Сколько лет твоему сыну?"- спросил один человек у своего приятеля. Приятель ответил: "Если к возрасту моего сына прибавить столько же да еще половину, то будет 10 лет" Сколько же лет сыну?

Решение. Если сыну х лет, то по условию задачи имеем: х+х+х/2=10. Откуда х = 4.

Ответ: 4.

305. Боба ищет своих друзей, которые спрятались от него. Вдруг видит, что из-под шторы виднеется 8 ног. Сколько друзей стоит за шторой? 

306. В равенстве СУК · СУК = БАРСУК заменить буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство.

307.К прекрасной принцессе каждую ночь приходит принц и поет баллады. Ровно в полночь он выходит из своего замка и бредёт к башне принцессы со скоростью 5 км/ч. Два часа принц жутко воет под окном принцессы, а потом с той же скоростью бредет обратно домой. В 6 утра принц приходит в замок. Узнай расстояние от замка принца до башни принцессы.

308.Злая колдунья, работая не покладая рук, превращает в гусениц по 30 принцесс в день. Сколько дней предстоит ей трудиться, чтоб превратить в гусениц 810 принцесс? Сколько принцесс в день придется ей превращать в гусениц, если она захочет управиться с этой работой за 15 дней?

309. Расстояние между городами автобус проходит за 4 с половиной часа, а такси за 3 часа. Через какое время они встретятся, если отправятся из этих городов одновременно навстречу друг другу? Среди следующих возможных ответов только один правильный: А. 1 ч 48 мин.    Б. 2 ч. В.     1 ч 45 мин.    Г.1 ч 36 мин.

310. Математика путешествия. Проехав половину всего пути, пассажир заснул. Когда он проснулся, то оказалось, что ему осталось ехать половину пути, который он проехал спящим. Какую часть пути он проехал спящим? Найдите правильный ответ среди следующих:  А. 2/3.  Б. ½.  В. 1/3.     Г.1/6.

310а. Математика путешествия. Тимофей ехал в поезде домой. Вдруг, на полпути к дому, ему захотелось спать. Когда Тимофей проснулся, то понял, что ему осталось ехать еще половину времени, которое он проспал. Какую часть от всего времени путешествия домой Тимофей проспал? (Скорость поезда постоянная в течение всего путешествия.)

Решение 1. Время, потраченное Тимофеем на первую половину пути, равно времени, потраченному на вторую половину пути. (Это следует из того, что скорость поезда постоянная в течение всего путешествия). Примем время, которое проспал Тимофей,  за одну часть. Следовательно, время езды после пробуждения это – 1/2 частей. Всего 3/2 части. Эти 3/2 части составляют 1/2 часть времени всего путешествия (половину он уже проехал). Тогда получается, что 1 часть времени (т.е. время сна) равна 1/2 : 3/2 = 1/3 времени всего пути.

Решение 2. Примем за 1 часть время, которое осталось проехать Тимофею, после того, как он проснулся. Тогда на сон у него ушло 2 части времени, т.е. всего 2 + 1 = 3 части времени он потратил на вторую половину пути. На весь путь он потратил 3 части + 3 части = 6 частей. Следовательно, на сон у него ушло: 2 : 6 = 1/3 часть времени всего пути..

Ответ: 1/3 времени всего пути.

311. Имеются гири (в любом наборе) весом 1, 3, 5 кг. Можно ли 12-ю такими гирями взвесить 27 кг?

312.В гимназии 370 учащихся. Докажите, что среди них найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

312а. В школе 735 учеников. Доказать, что хотя бы трое из них отмечают день рождения в один и тот же день.

Решение. Принцип Дирихле известен в несколько шутливой формулировке: «нельзя посадить пять кроликов в четыре клетки так, чтобы в каждой клетке было не более одного кролика». Доказательство очевидно: если в каждой клетке будет не более одного кролика, то в четырех клетках будет не более четырех кроликов, что противоречит условию.

Вернемся к нашей задаче. Пусть в каждый из дней года  отмечают день рождения не более двоих учеников. Тогда в школе учатся не более 2·366 = 732 учеников (с учетом того, что год может быть високосным). Но это противоречит условию задачи. Следовательно, предположение оказалось неверным, следовательно, найдется день, в который отмечают день рождения, по крайней мере, трое учеников.

313. На карточках написаны все двузначные числа. Карточек столько, сколько двузначных чисел. Сколько карточек надо взять, не глядя, чтобы, по крайней мере, одно из чисел делилось: 1) на 2; 2) на 7; 3) на 2 и на 7?

313а. Сколько существует натуральных чисел? Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:

а) делятся одновременно на 2 и на 3?

б) делятся на 2, но не делятся на 3?

в) делятся на 3, но не делятся на 2?

г) делятся на 3, или на 2 ( по крайней мере на одно из этих двух чисел)?

д) не делятся ни на 2, ни на 3?

Решение.

 а) Чтобы определить среди первых 99-ти натуральных чисел количество тех, которые делятся и на 2, и на 3, т.е. делятся на 6, разделим 99 на 6. При этом неполное частное, которое равно 16, и представляет собой количество чисел, делящихся и на 2 и на 3.

б) Количество чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти равно неполному частному от деления 99 на 2, т. е. 49 . Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3. Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.

в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33. Из них16 делятся также и на 2. Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17.

г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, т. е.  49 + 17 = 66.

д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

314.Требуется пожарить три оладушка. На сковородке умещаются лишь два оладушка. На поджаривание оладушка с одной стороны требуется одна минута. За какое наименьшее время можно поджарить с двух сторон все три оладушка? (Время на перевертывание и перекладывание в расчет не принимается).

315. Во фразе «Уникум – олимпиада две тысячи десятого года» передвинем в каждом слове первую букву на последнее место: «никумУ – лимпиадао вед ысячит есятогод одаг». Сделаем то же самое с полученным текстом, и так далее. Через какое число таких операций мы впервые вернемся к исходному тексту?

316.Всегда ли среди 3 000 произвольных натуральных чисел найдутся два числа, разность которых делится на 2013? Объясните ответ.

316а. Доказать, что среди 11 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 10.

Решение. Поскольку всех цифр существует десять, а чисел одиннадцать, то, в соответствии с принципом Дирихле, среди них найдутся по крайней мере два, оканчивающихся одной и той же цифрой. Разность таких чисел оканчивается нулем и, следовательно, делится на 10.

317. Решите уравнение

2x + 245 + 576 + 424 + 755 = 1243 + 1542 + 757 + 458 + 11 + x.

Выберите самый простой способ решения.

318. Найдите все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в шесть раз.

319.Маша учится в классе, в котором мальчиков в два раза меньше, чем девочек. У Маши одноклассниц на 10 больше, чем одноклассников. Сколько учеников в классе?

320. Замените, если возможно, звездочки в выражении

50 * 25 * 12 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 на знаки “+” или “–” так, чтобы сумма была равна 15.

321.Фокусник попросил зрителя задумать число, а затем увеличить задуманное число в два раза, полученное число увеличить на 5, затем вычесть 50, полученную разность число умножить на 12, отнять от произведения 38 и, наконец, умножить результат на 3. Зритель сообщил, что у него получилось число 2010. Какое число задумал зритель, если он в своих вычислениях не ошибался?

322.В мае на круговом маршруте работали два автобуса, причем интервал их движения составлял 21 минуту. Как изменится интервал движения автобусов, если в июне на маршрут выйдет 3 таких автобуса?

323.Сможет ли Саша распределить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было различным?

324.Олег решил умножить все числа месяца мая, начиная с первого числа и заканчивая 31 числом, а затем вычесть из полученного результата счастливое число 2011 и определить последние четыре цифры итогового результата. Олег долго пыхтел и старался. Так бы он и считал до вечера, но пришел его друг Александр и быстро решил задачу. Предложите и вы свое решение этой задачи.

325. Найдите все решения числового ребуса

УНИКУМ + УНИКУМ + УНИКУМ + УНИКУМ + УНИКУМ + УНИКУМ + УНИКУМ + УНИКУМ = ОБЩИНА

Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, различные буквы – различные цифры. Объясните отсутствие других решений,  кроме найденных.

326.У берега реки стояла лодка, которая вмещает только одного человека. К реке подошли двое, они оба переправились. Как это произошло?

327. Почему парикмахер в Женеве охотнее подстрижет двух французов, чем одного немца?

328. Сколько всего имеется трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3? Выберите правильный ответ:   А. 3.    Б. 6.     В. 4.     Г.8.

329. Вычислите сумму: 1/(1·2)+1/(2·3)+1/(3·4)+…+1/(7·8)+1/(8·9)+1/(9·10). Выберите правильный ответ:  А. 9/5.    Б. 9/10.     В. 8/9.     Г.16/9.

330. Найдите произведение четырех последовательных натуральных чисел, если сумма наименьшего и наибольшего равна 11. Выберите правильный ответ: А. 360.     Б. 1680.     В.840.     Г.120.

329а. Вычислите сумму:

1/(1·2)+1/(2·3)+1/(3·4)+…+1/(97·98)+1/(98·99)+1/(99·100) +1/(100·101).

Решение. Обратим внимание на закономерность:  1/(n·(n+1)) = 1/n – 1/(n+1). Представим каждое слагаемое данной суммы в виде таких разностей. Тогда в полученной сумме взаимно уничтожаются все члены, кроме самого первого и самого последнего. После чего имеем: 1 – 1/101 = 100/101.

Ответ: 100/101.

331.Буратино и Пьеро получили задание от Мальвины. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, используя каждую цифру только по одному разу, они должны составить по два четырехзначных числа так, чтобы у Буратино разность между большим и меньшим числами получилась наибольшей (из возможных), а у Пьеро – наименьшей. Если они не справятся, то не получат пирожное к чаю. Помогите Буратино и Пьеро.

332.Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 85 включительно?

332а. Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 30 до 80 включительно?

Решение. Разложим данное произведение на простые множители, каждый 0 образуется при умножении 2·5. Поскольку двоек значительно больше, чем пятерок, то количество нулей будет равно количеству пятерок. Поэтому считаем количество пятерок. Их 13.

Ответ: 13.

332б. Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Решение. Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 1000 - всего их насчитывается 1000:5 = 200. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 1000, всего их 1000:25 = 40. Три множителя содержат 1000:125 = 8 чисел, а четыре - только одно число 625. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество: 200+40+8+1 = 249. Ответ: число заканчивается 249 нулями.

333.Для того чтобы разрезать железную трубу на 2 части, надо заплатить за работу 50 руб. Сколько будет стоить работа, если трубу надо разрезать на 12 частей?

334.В три коробки надо разложить 90 пакетов так, чтобы в первой коробке было вдвое больше пакетов, чем во второй, а во второй на 2 пакета больше, чем в третьей. Сколько пакетов будет в первой коробке?

335. В сказочном саду художник раскрашивает стеклянную крышу над садом. Он красит так быстро, что за сутки вдвое увеличивает площадь закрашенной поверхности крыши. Он раскрасит всю крышу за 12 суток. За какое время раскрасят всю крышу два таких художника?

336.Три ластика, один карандаш и два блокнота стоят 22 рубля. Один ластик, три карандаша и два блокнота стоят 38 рублей. Сколько стоит комплект из одного ластика, одного карандаша и одного блокнота?

336а. Мы на пляже. Во сколько раз один пляжный зонтик стоит дороже одного пляжного мяча, если 2 зонтика и мяч стоят 700 рублей, а 1 зонтик и 2 мяча –  500р? Выберите правильный ответ: (a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4; (e) 5; (f) 6.

Решение.Имеем: 

1 зонтик + 2 мяча + 1 зонтик + 2 мяча = 3 зонтика + 3 мяча = 700 руб. + 500 руб. = 1200 руб. Следовательно, 1 зонтик и 1 мяч стоят 1200 руб. : 3 = 400 руб.

1 зонтик = 700 руб. - 400 руб. = 300 руб. 1 мяч = 500 - 400 руб. = 100 руб.

Находим,  во сколько раз  зонтик дороже мяча: 300 руб. : 100 руб. = 3 раза.

Ответ: (с) 3.

337.Алексей может сделать уборку квартиры за два часа, а его младший брат за три часа. За сколько времени два брата могли бы вместе убрать квартиру?

338. В меню маленького ресторана имеются три супа: грибной суп, мясной суп, и фруктовый суп; четыре вторых блюда: фрикадельки и спагетти, макароны и гусь, вегетарианские котлетки, и запеченный цыпленок; два десерта: блинчики и сладкие каштаны в шоколаде и глазури. Сколько разных вариантов обедов из трех блюд Вы можете составить, имея такой выбор, если Вы хотите заказать суп, второе блюдо и десерт? Выберите правильный ответ: (a)1; (b) 3; (c) 6; (d) 8; (e) 12; (f)24.

338а. В кафе имеются 3 первых блюда, 5 вторых и 2 третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Ответ:3∙5∙2 = 30.

338б. Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор различные по цвету и фасону предметы: 5 пар брюк, 6 камзолов, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов он может составить из этих предметов?

Ответ: 5∙6∙3∙2 = 180. 

339.Сколько пар ножек у сорока пар сороконожек?

340. Однажды на лестнице я нашел тетрадь, в которой было написано сто следующих утверждений:

1. «В этой тетради ровно одно неверное утверждение.»

2. «В этой тетради ровно два неверных утверждения.»

3. «В этой тетради ровно три неверных утверждения.»

...............................................................

100. «В этой тетради ровно сто неверных утверждений.»

Утверждение, под каким номером является верным?

341.В качестве первого члена последовательности возьмём любое натуральное число, кратное трём. Все остальные её члены получаются по правилу: каждое следующее число равно сумме кубов всех цифр предыдущего. Оказывается, что в любой такой последовательности рано или поздно появляется некое число, которое уже не меняется. Найдите это число.

342.Отец с хитрой улыбкой спрашивает своего сына: "Какое число самое большое?" Получив ответ, он лишь удивлённо качает головой — возразить нечего! Что ответил сын?

343.Можно ли положить 100 монет в два мешочка так, чтобы в одном из них было в два раза больше монет, чем в другом?

344.В ряд выписаны цифры: 1234567890. Вставим между ними (в некоторых местах) знаки «+» так, чтобы в сумме получилось трёхзначное число. Какое наибольшее число может получиться?

345.    В тесном трюме пиратской бригантины капитан Флинт и боцман Федя делили одно и то же делимое на разные делители. Капитан Флинт с мрачной усмешкой — на 153, а боцман Федя со спокойной улыбкой — на 8. Боцман Федя подучил в частном 612. Какое частное получил капитан Флинт?

346.Мышка играла на полянке недалеко от своей норы. В слу­чае опасности она могла добежать до нее за 4 мин. Так случилось, что кошка, которая гуляла сама по себе, увидела мышку. Кошка могла добежать до мышки за 3 мин при условии, что мышка про­должит играть на полянке и не увидит кошку. Но мышка увидела кошку и быстро побежала к своему домику. Догонит ли кошка мышку, если она бежит в 2 раза быстрее мышки?

347.Белочка и ежик собрали вместе 20 грибов. Если бы ежик нашел еще один гриб, то у него стало бы в 2 раза больше, чем у белочки. Сколько грибов собрала белочка?

348. Зайчиха для семи своих зайчат разложила 42 морковки на 7 кучек так, что кучек с одинаковым количеством морковок не было. Причем число морковок в каждой кучке выражено одно­значным числом. Сколько морковок в каждой кучке?

349. Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили? Определите верный ответ: (A)18;   (B) 32;   (C) 24;   (D) 36;   (E) 48.

350. Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2004. Тогда уменьшаемое равно: (A) 1002;  (B) 501;   (C) 384;  (D) 204;  (E) 167. Выберите правильный ответ.351. Если кенгуру научится прыгать в 3/2 раза дальше, чем умеет, ему понадобится ровно 6 прыжков, чтобы добраться до тенистого дерева. За сколько прыжков кенгуру может это сделать сейчас?  Укажите правильный ответ: (A) 3;   (B) 4;  (C) 6;   (D) 9;   (E) невозможно определить. 

350а. Если сложить уменьшаемое, вычитаемое и разность, то получится 120. Найдите каждое из них, если разность меньше уменьшаемого на 24.

Решение. Данная сумма равна удвоенному уменьшаемому, так как сумма разности и вычитаемого равна уменьшаемому. Следовательно, уменьшаемое равно 120/2=60. Тогда разность равна 60 – 24 = 36, а вычитаемое равно 24.

Ответ: уменьшаемое 60, вычитаемое 24, разность 36.

352. Наши предки называли число, равное миллиону миллионов, словом "легион". Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится: (A) легион; (B)  миллион; (C) миллион миллионов; (D) легион легионов;   (E)1. Укажите правильный ответ.

353. На каждой кочке в маленьком болотце сидят не меньше, чем по 3 лягушки, а всего лягушек - 145 . Тогда число кочек в этом болотце не может равняться: (A)1;   (B) 23;   (C) 31;   (D) 44;   (E) 55. Найдите правильный ответ.    

354. Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу? Выберите правильный ответ: (A) 40 мин; (B) 60 мин; (C) полтора часа; (D) 2 ч; (E) 3 ч.

355. Семья Васи приехала на дачу на машине в 16.00. Если бы скорость, с которой они ехали, была на четверть больше, то они приехали бы в 14.30. В какое время они выехали из дома? Выберите правильный ответ: (A)8.00;   (B) 8.30;  (C) 9.00;    (D) 10.00;   (E)12.00

356. Чему равна сумма двух чисел, если она на 3 больше одного из этих чисел и на 4 больше другого? 

356а. В одном из двух классов на 22 учащихся меньше, чем в обоих этих классах, а в другом – на 25 учащихся меньше, чем в обоих этих классах. Сколько учащихся в каждом из двух классов?

Решение. Если в обоих классах х учащихся, то в одном из них  х - 22, а в другом  х – 25. Стало быть имеем: х – 22 + х – 25 = х, откуда х = 47. Тогда в одном классе 47 – 22 = 25 учащихся, во втором – 47 – 25 = 22 учащиеся.

Ответ: 25 и 22 учащихся.

357. Сережа шел по лестнице, шагая через ступеньку (первую ступеньку он пропустил). При этом он считал шаги: " Один, два, три...". После того, как он сказал "пять", оказалось, что осталась одна ступенька. Сколько всего ступенек на лестнице? 

358.Можно ли соединить 13 городов дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог.

358а. Можно ли соединить дорогами 5 городов (никакие 3 из которых не лежат на одной прямой) так, чтобы каждый город был соединен с тремя другими?

Решение. Так как из каждого города выходит 5 дорог, то общее количество дорог - 15. Заметим, что при этом каждую дорогу АВ мы считаем дважды, как выходящую из городов А и В. Таким образом, общая сумма дорог должна быть четной. Получаем противоречие. Ответ: нельзя.

359. Гребец, проплывая под мостом, потерял шляпу. Через 15 минут он заметил пропажу и поймал шляпу в километре от моста. Какова скорость течения реки?

360. Несколько страниц пропущено в открытой книге. На левой странице девочка увидела номер страницы - 12, а на правой - 15. Сколько страниц было пропущено? 

361. В следующей записи:

МАР

 АРСИК

      ИК

      К

сколькими способами Юля может прочитать  имя своего любимого кота Марсика, если ей разрешено двигаться только вправо или вниз? 

362. Васиного отца зовут Иван Николаевич, а дедушку - Семен Петрович. Какое отчество у Васиной мамы? 

363. Чему равна следующая сумма: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 2/3 + 2/4 + 2/5 + 2/6 + 2/7 + 3/4 + 3/5 + 3/6 + 3/7 + 4/5 + 4/6 + 4/7 + 5/6 + 5/7 + 6/7?

(a) 8;   (b) 17/2;   (c) 19/2;  (d) 10;  (e) 21/2;   (f) 11.                                               

364. Можно ли квадрат со стороной 1 разделить на 2014 непересекающихся квадрата?

365. Число умножили само на себя и получили 14400. Какое это число?

366. У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые – серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна –  белая. Сколько серых мышей у Йозефа? Выберите ответ: (A) 1;   (B) 49;   (C) 50;   (D) 99;   (E)невозможно определить.

367. Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу. Выберите ответ: (A)1; (B)2; (C) 3;  (D) 9;  (E)15.

368. У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы", "Цветы" и "Ромашки". Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"? Выберите ответ:(A) огурцы; (B) колокольчики; (C) ромашки; (D) нельзя определить; (E)арбузы. 

369. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка – в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно: (A) кошка в комнате;  (B) мышка в норке;  (C) кошка в комнате или мышка в норке;  (D)кошка в подвале, а мышка в комнате. Выберите ответ.

370.Может ли  последняя цифра числа, являющегося полным квадратом равняться 7? А на какие цифры может оканчиваться полный квадрат?

371. Какая последняя цифра числа (53)⁹?

372.За 8 дней слониха со слоненком съедает 48 ведер корма. А за 10 дней слониха с двумя слонятами съедает 80 ведер такого же корма. Сколько ведер корма съедает слониха в день, и сколько слоненок?

373. Решите уравнение: х + S(х) =2013, где S(х) – сумма цифр натурального числа х.

373а. Решите  уравнение: х + S(х) =100, где S(х) – сумма цифр натурального числа х.

Решение. Ясно, что х 

Ответ: 86.

374.Во дворе гуляли дети. Один из них подсчитал, что их суммарный возраст 48 лет. Затем этот любитель счета определил, что через пять лет их суммарный возраст будет равен 78. Сколько детей гуляло во дворе? 

375. У картонного квадрата отрезали 3 угла прямолинейными разрезами. Сколько углов осталось?

376.У скольких двузначных чисел сумма цифр равна 12-ти?

377.Как при помощи чашечных весов без гирь разделить24 кг гвоздей на две части  — 9 и 15 кг?

378. В ящике лежит 100 шариков: 30 красных, 30 синих, 30 зеленых, остальные – белые и черные. Какое наименьшее количество шариков нужно извлечь, чтобы наверняка получить 20 шариков одного цвета?

379.Сколько существует двузначных чисел, в записи которых имеется хотя бы одна пятерка?

380.Сережа говорит: «Вчера мне было 11 лет, а в будущем году будет 13». Как такое может быть?

380а. Позавчера Лизе было 17 лет.В следующем году ей будет 20. Как такое может быть?

Решение. У Лизы должно быть три дня рождения между позавчерашним днём и концом следующего года. Поэтому её день рождения должен располагаться в «окрестностях» новогодней ночи. Значит, утверждение было сделано 1 января. День рождения Лизы-31 декабря. Позавчера ей было17 лет. Вчера ей исполнилось 18. В этом году ей будет 19, а в следующем –ровно 20 лет. 

381.Вычислите: 20 + 40 + 60 + … + 460 + 480 + 500.

381а. Вычислите: 30 + 60 + 90 + … + 540 + 570 + 600.

Решение. 30 + 60 + 90 + … + 540 + 570 + 600 = 30·(1 + 2 + 3 + ... + 20) = 30·21·10  =  6300. Ответ: 6 300.

382. В двух сумках лежит 100 мандаринов. Может ли в одной из сумок быть в два раза больше мандаринов, чем в другой?

382а. В двух сумках лежат 100 огурцов. Может ли число огурцов в одной из сумок быть в два раза больше, чем в другой?

Решение. Так как в одной сумке 2 части, а в другой 1 часть, то 100 не делится на 3, следовательно, число огурцов в одной из сумок быть в два раза больше, чем в другой  не может. Ответ: не может.

383. Назовите последнюю цифру произведения всех нечетных трехзначных чисел.

384.Имеется 35 равных кубиков. Как составить из них два кубика?

385. Экологи запускают в пруд карпов. Сначала — одного, через час — еще двух, через два часа — трех и т.д. Браконьер Петя начинает лов рыбы спустя час после того, как в пруд был запущен первый карп. В первый час своей рыбалки Петя ловит 1 карпа, во второй час — двух, в третий — трех и т.д. Сколько карпов останется в пруду спустя сутки после запуска в пруд первой рыбки? Выберите  ответ: А.0.  Б.1   В.24.  Г. 25.

386.Учитель: «Какой высоты получился бы столб, если бы поставить один на другой все миллиметровые кубики, заключающиеся в кубическом метре?». «Это было бы выше Эйфелевой башни (300м)!» – воскликнул один школьник. «Даже выше Монблана (5км)!» – ответил другой. Какой правильный ответ?

387.На входе в хранилище банка стоит охранник. Рядом притаился шпион. Подходит один служащий банка, охранник ему: "Шесть". Служащий в ответ: "Пять". Охранник пропустил. Следующий подходит – охранник: "Пять", служащий:"Четыре".Охранник пропустил. Рискнул шпион, подходит – охранник: "Четыре", шпион: "Три". Охранник с воплями "Неправильно, попался, гад!" скрутил шпиона. Почему неправильно и каков правильный ответ?

388.Представьте: вы пошли к врачу и врач вам дал 5 таблеток. Причем он указал, что вам надо их принимать по 1 штуке каждые 30 минут. Сколько часов пройдет, прежде чем вы примете все таблетки?

389.Если поделить 50 на половину и добавить 50, то сколько получится?

390.Вычтите из года вашего рождения сумму четырех составляющих его цифр. При этом вы получите число, которое делится на 9. Почему?

391.В один стакан налито вино, а в другой – такое же количество воды. Из стакана с вином берут чайную ложку вина и переливают ее в стакан с водой. Затем, как следует перемешав содержимое стакана с водой, берут чайную ложку смеси и переливают ее обратно в стакан с вином. Чего при этом оказывается больше – вина в воде или воды в вине?

392.В ресторане за одним столом сидели две мамы и столько же дочерей. Официант подал к столу три кофе, и при этом всем досталось по чашке. Как это возможно?

393. Ребенку перед поступлением в гимназию дали задачку. Ребенок решил без проблем. Хотите проверить стереотипность Вашего восприятия? Вот сама задачка. 8809 = 6, 7111 = 0, 2172 = 0, 6666 = 4, 1111 = 0, 3213 = 0, 7662 = 2, 9312 = 1, 0000 = 4, 2222 = 0, 3333 = 0, 5555 = 0,  8193 = 3, 8096 = 5, 7777 = 0, 9999 = 4, 7756 = 1, 6855 = 3, 9881 = 5, 5531 = 0, 2581 = ? Ваш ответ? 

394.Одно из семи чисел не обладает свойством, которым обладают остальные числа: 9678,  4572,  5261,  5133,  3527,  6895,  7768. Найдите его.

395. Цифры записаны так: 8, 2, 9, 0, 1, 5, 7, 3, 4, 6.  Почему цифры расположены именно так? В каком порядке они стоят?

396.В классе учатся 11 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами может учительница выбрать ученика, чтобы вызвать его к доске?

396а. В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами может учительница выбрать ученика, чтобы вызвать его к доске?

Решение. Правило суммы. Пусть даны два конечных множества: А, состоящее из m элементов и  В, состоящее из n элементов. Таким образом, элемент a из множества A можно выбрать m способами, а элемент b из множества B можно выбрать n способами. Тогда элемент, принадлежащий одному из множеств A или B можно выбрать m+n способами.

В нашем случае, поскольку множества не пересекаются, учительница по правилу суммы располагает 12+10 = 22 вариантами выбора.

Ответ: 22.

397.Пусть в классе 12 мальчиков и 15 девочек. Для дежурства нужно назначить двоих учеников – одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?

397а. Пусть в классе 11 мальчиков и 13 девочек. Для дежурства нужно назначить двоих учеников – одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Правило произведения. Пусть даны два конечных множества: А, состоящее из m элементов и  В, состоящее из n элементов. Таким образом, элемент a из множества A можно выбрать m способами, а элемент b из множества B можно выбрать n способами. Тогда количество всех возможных пар (a;b) таких, что элемент a принадлежит множеству A, а элемент b - множеству B, равно m·n.

В нашем случае в соответствии с правилом произведения, таких пар можно выбрать 11 ·13= 143  способами.

Ответ: 143.

398. Легкоатлетическую  и теннисную секции посещают 15 учащихся. Легкоатлетическую секцию посещают 10 человек, теннисную – 8 человек. Сколько человек посещают: 1) только легкоатлетическую секцию? 2) только теннисную секцию?

398а. В одном классе лингвистической гимназии 24 учащихся. Из них половина посещает дополнительное занятие по французскому языку, треть –  по испанскому, а четверть – и те, и другие. Сколько учащихся этого класса не посещают дополнительные занятия ни по французскому, ни по испанскому языку?

Решение. Дополнительные занятия по французскому языку посещают 12 учащихся, по испанскому – 8, и те, и другие – 6. Значит, только по французскому языку посещают занятия 12 – 6 = 6 человек, только по испанскому – это 8 – 6 = 2. Всего учащихся посещающих дополнительные занятия 6 + 6 + 2 = 14. Не посещают дополнительные занятия 24 – 14 = 10 человек. Ответ: 10.

399. Из шести одинаковых цифр и знаков действий составьте выражение, значение которого равно 100.

399а. Найдите наименьшее натуральное число кратное 100, сумма цифр которого равна 100.

Ответ. 19999999999900 - в числе 11 девяток. 

400. Чтобы узнать, является ли число 941 простым, его делят на 2, на 3, на 5, на 7, на 11, … . На каком простом числе можно прекратить испытания?

400а. Чтобы узнать, является ли число 967 простым, его делят на 2, на 3, на 5, на 7, на 11, … . На каком простом числе можно прекратить испытания?

Решение. Надо делить до наибольшего простого числа, квадрат которого не превышает число 967.  Так как 30² = 900, а простое число после 30 – это число 31 и 31²= 961, то надо делить 967 на 31, так как следующее простое число 37, а 37²=1369. Ответ: на числе 31.

401.Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил автомобиль  и 1000$. Сколько стоил автомобиль? 

402.В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая — 5 маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая птица? 

403.Тилли, Вилли и Дилли участвовали в легкоатлетическом забеге. В какой-то момент времени оказалось, что они бегут рядом друг с другом, впереди них бежит половина участников забега и позади них - треть участников забега. Сколько спортсменов участвовало в забеге? 

404.Решите ребус: АX · УХ = 2001(разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам – одинаковые цифры).

405. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см? 

406.Восстановите пример 1*26 + 987 = 2 01*. Вместо знака звездочки может стоять любая цифра. Укажите все возможные варианты.

407.Участник олимпиады хочет купить несколько шоколадок, чтобы подкрепиться на олимпиаде. Сколько шоколадок он купит, если у него имеется 100 руб., а стоимость одной шоколадки 35 руб.?

408. Участник олимпиады решил 9 задач, затратив на них 1 час 12 минут. Сколько времени он потратил на последнюю задачу, если на каждую следующую задачу он тратил на одну минуту больше, чем на предыдущую?

409.Если ребят в парке посадить по три человека на скамейку, то останется 2 незанятых скамейки. Если же рассадить по 2 человека, то все скамейки окажутся занятыми и еще 7 человек останутся без места. Определите, сколько учеников в классе и сколько скамеек.

410. Сумма двух углов, полученных при пересечении двух прямых, равна 26°. Найдите все углы, полученные при пересечении этих прямых.

411. Можно ли разделить поровну 7 одинаковых пирожных между 12 детьми так, чтобы каждое пирожное делить не более чем на 4 части?

411а. Можно ли разделить поровну 5 одинаковых пирожных между 6 детьми так, чтобы каждое пирожное делить не более чем на 3 части?

Решение. 2 пирожных из 5 надо поделить каждое на 3 части и будет 6 частей по 1/3 каждая, потом оставшиеся 3 поделить каждое на 2 части и будет 6 частей по1/2 каждая. Значит, каждый ребенок получит 1/3 +1/2 = 5/6.

Ответ: можно.

412.Белка выбежала из дупла собирать орехи в 8 ч утра. Она добегает до орешника со скоростью 3 м/с, возвращается в дупло с орехом со скоростью 2 м/с и 2 минуты тратит на то, чтобы спрятать орех в кладовую. Как далеко дупло от орешника, если в 9 ч утра белка спрятала в кладовой пятый по счету орех?

413.Почтальон Печкин получил для продажи  несколько пачек конвертов по 100 штук в пачке. За какое наименьшее число секунд он может выдать 60 конвертов, если 10 конвертов он отсчитывает за 10 секунд? А 90 конвертов?

414. Найдите два таких простых числа, сумма и разность которых также является простым числом.

415. На столе стоят семь перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

415а.а) На столе стоят 8 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые 7 стаканов. Можно ли добиться, чтобы все стаканы стояли правильно?

б) Та же задача, но всего стаканов 2012, а переворачивать разрешается 2011?

в) Та же задача, но всего стаканов 2013, а переворачивать разрешается 2012?

Решение. а) Итак на столе стоят вверх дном 8 стаканов (неправильно). Будем переворачивать стаканы следующим образом: на первом шагу перевернем все стаканы, кроме первого; на втором шагу − все стаканы, кроме второго; на третьем шагу − все стаканы, кроме третьего; и т.д.; на восьмом шагу − все стаканы, кроме восьмого. Заметим, что шагов (переворачиваний) − 8, но

каждый стакан переворачивался ровно 7 раз, т.е. в конце все стаканы станут правильно.

б) Аналогично решению пункта а), только теперь понадобится 2012 переворачиваний.

в) Срабатывает идея четности: всегда переворачивается четное число стаканов (а именно 2012). Следует заметить, что неправильно стоящих стаканов (т.е. вверх дном) всегда будет нечетное число.

Ответ: а) Да; б) Да; в) Нет.

416.Восстановите пример *3·3* = 20*4 . Вместо знака звездочки * может стоять любая цифра. Укажите все возможные варианты.

417.Мальчик каждую букву своего имени заменил порядковым номером этой буквы в русском алфавите. Получилось число 510141. Как звали мальчика?

418.С числом, записанным на доске, разрешены следующие операции: либо заменять его удвоенным, либо стирать его последнюю цифру. Как с помощью этих операций из числа 458 получить 14?

419.Питон длиной 16 м проползает через мост длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо столба?

420. Расставьте  скобки так, чтобы равенство 13 – 4:3 + 2·5 – 1 = 11 было верным.

421.Три феи пришли на бал в розовом, голубом и белом платьях. Их туфли были тех же цветов. У первой феи цвета платьев и туфель совпадали. У второй феи ни туфли, ни платья не были розовыми, а у третьей – голубые туфли и платье другого цвета. Как были одеты феи?

422.Набор состоит из 30 гирек массами 1 г, 2 г, 3 г, …, 30 г. Можно ли эти гирьки разложить на группы по 10 штук так, чтобы масса всех гирек в каждой группе была одной и той же?

423.Незнайка неправильно списал с доски условие примера на сложение нескольких чисел. В одном из слагаемых вместо цифры единиц 5 он написал 8, в другом – вместо цифры десятков 4 он написал 9 и в одном из оставшихся слагаемых цифру сотен 3 принял за 1. В сумме получилось 55 561. Найдите верную сумму.

424.Из 52 учеников 23 собирают значки, 35 – марки, а 16 – и значки, и марки. Сколько учеников не увлекается коллекционированием?

425. Замените буквы цифрами (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам – разные цифры): ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ. В качестве ответа представьте пятизначное число, соответствующее  слову  ПОЛЕТ.

426.Какой вес можно отмерить гирями 1, 2, 4 и 8 г, если класть гири только на одну чашу весов?

427.Две подружки одновременно начинают выполнять домашнюю работу, состоящую из 28 задач, причём каждая из них решает семь задач в час с решебником, а без него — только четыре. Какая из девочек раньше освободится, если первая школьница отдала решебник подруге после того, как выполнила половину задания?

428.Пять двоек записаны в ряд. Вставляя между некоторыми из них знаки арифметических действий и скобки, можно получить различные числа, например, 14 = (2 + 2 + 2)·2 + 2. Как получить число: а) 9; б) 13; в) 113?

428а. Всем привет, у моего друга есть сын, по математике ему задали задачу, как главному уму класса:  используя 4 двойки, знаки действий и скобки, получить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.  Для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 смог подсказать, а вот 7 и 9 … как можно сделать? 

P.S. 1 можно так получить: (2:2) + 2-2=1. А 2 так: (2:2)+(2:2)=2,  3 так: (2+2+2)/2=3,  4 так: 2+2+2-2=4,  5 так: (2:2)+2+2=5,  6 так: (2*2*2)-2=6,  8 так: 2+2+2+2=8

Решение.  (2+2)!! – 2:2 = 7, 22:2 – 2 = 9.

429. Учительница предложила детям вычислить произведение чисел 415327 и 8373. Миша выполнил вычисления первым и получил ответ 328363624. «Этот ответ неверный», — заметил Петя. «Откуда ты это знаешь, если ты ещё не закончил свои вычисления?» — возмутился Миша. «Тем не менее, я вижу, что этот ответ не может быть правильным», — сказал Петя. Кто из мальчиков прав?

429а.Шарик умножил первые 10 простых чисел и получил число         6469693250.   «Ты не прав», - сказал Матроскин. Почему?

Решение. Например, потому, что получившееся у Шарика число не делится на 3 или поскольку делится на 25.  Ни того, ни другого быть не может.

430. Туристическое агентство "Дуремар" предложило Карабасу три путевки в "Страну дураков" — две взрослых и одну детскую — за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка дешевле взрослой на 500 золотых монет. Каким образом Карабас сумел понять, что его обманывают?

431.За какое наименьшее количество выстрелов можно с гарантией подбить четырёхклеточный корабль в игре «морской бой» на поле 7х7?

431а. За какое наименьшее количество выстрелов можно с гарантией подбить четырёхклеточный корабль в игре «морской бой» на поле 10х10?

Решение. Произведем выстрелы по следующим полям: в первой вертикали 4-е и 8-е поля сверху, во второй вертикали 3-е и 7-е сверху, в третьей вертикали 2, 6 и 10-е сверху, в четвертой вертикали 1, 5 и  9-е сверху, в пятой вертикали 4 и 8-е сверху, в шестой вертикали 3 и 7-е сверху, в седьмой вертикали 2, 6 и 10-е сверху, в восьмой вертикали 1, 5 и 9-е сверху, в девятой вертикали 4 и 8-е сверху, в десятой вертикали 3 и 7-е сверху. Любое положение корабля 1 × 4 накрывает одно отмеченное поле. Поэтому 24 выстрелов хватит. Покажем, что нельзя ограничиться меньшим числом выстрелов. Разместим на доске во всех клетках 24 корабля 1×4. В каждый из них должен попасть выстрел. Значит, нужно сделать не менее 24 выстрелов.

Ответ: 24 выстрела.

432. Волк и лиса соревновались в беге. Кто какое место занял, если известно, что волк был одним из первых, а лиса была предпоследней?

433. На меновом рынке за одного гуся можно получить пять петухов, за одну утку и два цыпленка Вам дадут три петуха, а одна утка стоит столько же, сколько четыре цыпленка. Сколько цыплят Вы должны отдать за одного гуся? Выберите ответ: (a) 1; (b) 3; (c) 5; (d) 8; (e) 10; (f) 12.

434. Сумма двух чисел –  трехзначное число, которое оканчивается на 27.
Одно из чисел оканчивается на ноль, но если стереть этот ноль, то мы получим другое число. Найдите сумму двух чисел и запишите, чему равна сумма цифр этого числа. Выберите ответ:(a) 9; (b) 15; (c) 16; (d) 17; (e) 18; (f) 21.

435. После того, как Сереже сказали, что 7 карандашей стоят дороже, чем 8 тетрадей, его спросили: "Что дороже стоит, 8 карандашей или 9 тетрадей ?" А если спросят Вас, что Вы ответите? 

435а. Известно, что 5 красных стержней дороже 6 черных стержней. Что дороже: 9 красных стержней или 10 черных?

Решение. Так как 5 красных стержней дороже 6 черных стержней, то тем более 5 красных стержней дороже 5 черных стержней. Следовательно, 4 красных стержней дороже 4 черных. Тогда 5 красных + 4 красных дороже 6 черных + 4 черных стержней, т. е. 9 красных дороже 10 черных стержней.

Ответ:  9 красных стержней  дороже 10 черных стержней.

436. Сторону квадрата увеличили на 4 см и получили другой квадрат, площадь которого равна 100см². Найдите площадь первоначального квадрата.

437.Два верблюда и восемь баранов стоят 18 таньга. Пять вер­блюдов и два барана стоят 27 таньга. Сколько стоит один верб­люд? Сколько стоит один баран?

438. Попрыгунья-стрекоза половину времени каждых суток
красного лета спала, третью часть каждых суток танцевала, шестую часть пела. Остальное время она решила посвятить подготов­ке к зиме. Сколько часов в сутки стрекоза готовилась к зиме?

439. От кенгуру из Австралии получена шифровка:12342562756278. В ней разные цифры обозначают буквы, а одинаковые цифры — одинаковые буквы. Что могло быть написано в шифровке?

а)      Думай и трудись.

б)      Гуляй и отдыхай.

в)      Привет от Кенги.

г)       Вперед к победам.

д)      Мой вопрос прост.

440.Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца?

441. Петров и Васечкин уехали отдыхать в лагерь 1 июня, а воз­вратились 15 июля. В какой день недели они возвратились из ла­геря, если выехали из дома во вторник?

442.Черепаха Кукуня решила навестить свою подругу черепа­ху Макуню. Она вышла из своего дома в 11 ч дня и двигалась со скоростью 3 м/мин. Так получилось, что Макуня тоже решила пойти в гости к Кукуне, которая жила от нее на расстоянии150 м. Она отправилась к ней в 11 ч 50 мин. На каком расстоянии от дома Макуни встретились черепахи?

443. На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней? Выберите ответ: ( A ) в понедельник;  (B)  в среду;  (C)   в четверг;  ( D )  в пятницу;  ( E ) во вторник.

444. Разглядывая семейный альбом, Ванечка обнаружил, что у него 4 прабабушки и 4 прадедушки. А сколько прабабушек и прадедушек имели его прабабушки и прадедушки все вместе? Выберите верный ответ: (A)16;   (B) 32;   (C) 64;    ( D ) 128;   ( E ) 256. 

445. У двузначного числа "n" цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число"n" обязательно: (A) четное;  (B)  нечетное;  (C) меньше 20;  (D)  делится на 3;  (E) делится на 6. Выберите  ответ.

446.Лиса поймала 15 карасей и разложила их на 5 кучек так, что в каждой кучке было разное количество рыб. Разложите и вы также.

447.Жили-были на свете 25 оловянных солдатиков, кото­рых сделали из старой оловянной ложки массой 123 грамма. 24 солдатика были одинаковыми, а 25-й был не такой, как все. Он оказался одноногим. Его отливали последним, и олова немного не хватило. Какова масса последне­го солдатика, если известно, что каждый солдатик весит целое число граммов?

448.Найдите число, при делении которого на 12 получится в ча­стном 265, а в остатке 11.

449. Из куска проволоки согнули квадрат, площадь которого 36 см². Затем проволоку разогнули и согнули из нее треугольник с равными сторонами. Какова длина стороны треугольника?

450.Чашка и блюдце  вместе стоят 25 руб., а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 руб. Найдите цену чашки и цену блюдца.

451.На какое число надо разделить 87912, чтобы получилось тоже пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в об­ратном порядке?

452.Сколько можно составить четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3? Запишите  эти числа.

453.Часы за каждые сутки убегают вперед на 3 мин. Их поста­вили точно. Через какое время стрелки часов будут снова показы­вать точное время?

454.Сумма цифр от 1 до 9 равна 45 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8  + 9 = 45). Замени один из знаков «плюс» на знак «умножить», чтобы сумма была равна 100.

455. Сколькими способами можно прочитать слово «тропа», если  разрешено двигаться только вправо или вниз?
ТРОПА

РОПА   

ОПА   

 ПА

 А

456.VII + III =V. Переложите только одну спичку, чтобы получилось верное равенство. Найдите все (три) решения.

457.Найдите наименьшее двузначное число, которое в четыре раза больше суммы его цифр.

457а. Найдите наименьшее двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Ответ: 18.

458.К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Запишите наименьшее из этих чисел.

458а. К числу 15 припишите по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 1155.

459. Замените звездочки цифрами так, чтобы неравенство было верным:

209 509 894 < 20*5***01 < 209 510 000.

460.Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8? 

461.Идет странник по тропе, подходит к развилке: одна из троп ведет в деревню, где живут гостеприимные жители, говорящие только правду, вторая - к лживым людоедам. У самой развилки стоит абориген одного из этих племен. Какой вопрос должен задать странник, чтобы пройти в деревню к честным людям?

462.Выберем любым образом 100 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.

462а. Выберем любым образом 5 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.

Решение. Будем считать, что знакомство - "симметричное" отношение между людьми: если Комаров знаком с Жуковым, то и Жуков знаком с Комаровым.

При решении задач "на доказательство" часто бывает полезен так называемый "принцип Дирихле". В самой простой форме он выглядит так: «нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев».

При решении таких задач  выбирают каждый раз подходящих "зайцев" и строят соответствующие "клетки".

Построим 5 «клеток» 0, 1, 2, 3, 4. Пусть номер «клетки» равняется числу знакомых у «содержащихся» в ней людей. Возможны два случая: есть человек, ни с кем из остальных незнакомый, или же такого человека нет. В первом случае в «клетке» 4 никого нет (иначе «сидящие» в 4 и в 0 были бы знакомы между собой) и 5 человек размещены по 4 «клеткам». Во втором случае они тоже так рассажены (так как «клетка» 0 пуста). По принципу Дирихле по крайней мере два находятся в одной клетке.

463.На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, если за него просят 100 дукатов?

464.Хоккейная команда провела три матча, забив в ворота противника всего 3 шайбы и пропустив 1 шайбу. Один из матчей она выиграла, другой свела вничью, а третий проиграла. С каким счётом закончился каждый матч?

465. Найди периметр прямоугольника, состоящего из трех квадратов. Сторона одного квадрата 6 сантиметров, а двух других квадратов по 3 сантиметра. 

466. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы было верно вычитание:

**** – *** = 2.

467. Напишите наименьшее и наибольшее шестизначные числа цифрами 4, 8, 9.

468.Сегодня воскресенье. Какой день недели будет через 1000 дней?

469.В классе 41 человек. В диктанте Витя Малеев сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере четыре ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 6 ошибок).

469а. В классе 30 человек. В диктанте Саша Иванов сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 9 ошибок).

Решение. При решении задач "на доказательство" часто бывает полезен так называемый "принцип Дирихле". В самой простой форме он выглядит так : «нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев».

При решении таких задач  выбирают каждый раз подходящих "зайцев" и строят соответствующие "клетки".

В данной задаче пусть  "зайцы" - ученики, "клетки" - число сделанных ошибок. В клетку 0 "посадим" всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 - тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 - две, ... и так до клетки 13, куда попал один Саша Иванов. Теперь применим принцип Дирихле (обратите внимание - это очень важное место).

Докажем утверждение задачи от противного.

Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0, 1,..., 12 попало меньше трех школьников.

Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек.

Добавив Сашу Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Следовательно, предположение неверно. Поскольку были только две возможности (сделали или не сделали), то остается одно – сделали, что и требовалось доказать.

Замечания. Можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, что все ребята, кроме Саши, написали диктант без единой ошибки, то есть, все сделали по 0 ошибок.

Можно ли считать, что по крайней мере четверо попали в одну "клетку" ? Нет, нельзя. Класс, в котором по 3 человека сделали 0, 1, 2 ошибки, по 2 человека - 3, 4, ..., 12 ошибок и один - 13, удовлетворяет условию задачи.

470.В пригороде Волчегонска живет 5000 семей. Каждая семья имеет не более двух собак. Большая часть семей имеет по одной собаке, а половина остальных семей не имеет собак. Сколько всего собак живет в пригороде Волчегонска, если бездомных собак там нет?

471. Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.

472.На прямой  взяли 4 точки.  Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

473. Как отмерить 4 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 5 л и 3 л?

474. В одном доме живут три товарища - школьники Боря, Вася и Дима.
Один из них играет в футбольной команде, другой пишет стихи, а третий лучше своих друзей играет в шахматы. Известно, что: 1) Васин друг с огорчением сказал: «Вчера я не сумел реализовать пенальти»; 2) товарищ поэта сказал: «Дима! Написал бы ты стих и для нашей футбольной команды». Назовите имена футболиста, поэта и шахматиста.

475. Портос, Атос и Д’Артаньян вместе весят 290 кг, Портос, Арамис и Д’Артаньян – 270 кг, Портос, Атос и Арамис – 280 кг, Д’Артаньян, Арамис и Атос – 240 кг. Сколько килограммов весит каждый из мушкетёров?

476. Сколько будет трижды сорок и пять?

477.Определите, кто из трёх мальчиков А, Б и В играет в шахматы, если известно: 1) из А и Б один играет, один - не играет; 2) если играет А, то играет и Б; 3) А и В оба играют или оба не играют.

478.У двух носорогов два рога. Сколько рогов у ста носорогов?

479.Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось по 6 галет, каждой кошке – по пять. Сколько было собак и сколько кошек?

480. Проказница Мартышка, Осел, Козел,

Да Косолапый Мишка

Затеяли сыграть квартет.

Для этого они сели кружком:

Мартышка расположилась против Медведя,

а рядом с нею - Осел и Козел.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

Тогда Осел и Козел поменялись местами.

Расселись, начали квартет.

Он все-таки на лад не идет.

Так они перепробовали все возможные варианты рассадки, причем Медведь всегда оставался на одном и том же месте. Сколько всего было вариантов расположения незадачливых музыкантов?

481.Может ли быть верным равенство: К·А·Р·Л·С·О·Н=М·А·Л·Ы·Ш, если буквы заменить цифрами так, чтобы разным буквам соответствовали разные цифры?

481а. Может ли быть верным равенство У·Ч·Е·Н·Ы·Й = К·О·Т, если буквы заменить цифрами от 1 до 9 так, чтобы разным буквам соответствовали разные цифры?

Решение. При указанной замене одна часть равенства будет делиться на 7, а другая нет. Поэтому равенство верным не будет.

482. Периметр квадрата равен 64 см. Найдите длину прямоуголь­ника с шириной 4 см и площадью в 8 раз меньше, чем площадь квадрата.

483.Оля перемножила 11 восьмерок и 36 пятерок. Найдите количество цифр и сумму цифр получившегося произведения.

484. Куб числа в 8 раз больше его квадрата. Найдите это число.

485. На прямой отмечено 100 синих и n красных точек, причем между любыми двумя одноцветными точками есть точки другого цвета. Чему может быть равно n?

486.Число умножили на сумму его цифр и получили 70. Найдите это число.

487.В каждой клетке 3х3 стоит по фишке. Каждую фишку переставили на соседнюю по стороне клетку. Какое наибольшее количество пустых клеток могло получиться после такой перестановки?

488. Семь гномов построились по росту, чтобы Белоснежка раздала им 707 грибов. Сначала она дает сколько-то грибов самому маленькому. Каждый следующий получает на 1 гриб больше, чем предыдущий. Сколько грибов получит самый большой?

489. Возраст Ивана Ивановича – 48 лет 48 месяцев 48 недель 48 дней 48 часов. Сколько полных лет Ивану Ивановичу?

490. Расположите цифры 1, 2, 4, 8 в таком порядке, чтобы полученное число делилось на 7.

491.К натуральному числу прибавили его половину и треть от половины. Получилось 40. Найдите это число.

492. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

493.На одной чаше весов лежит 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чаше – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

494. Квадрат со стороной5 см разрезали на 25 равных квадра­тов. Как составить из них два новых квадрата?

495.  Три Маринки шли по тропинке,

         Три Маринки нашли по картинке.

         Следом четверо пойдут.

         Сколько они найдут?

496. С хозяйством попа справляются 10 работников. Каждый работник в день съедает каравай хлеба и другие продукты. Поп принял на работу Балду.

                              Живет Балда в поповом доме,

                              Спит себе на соломе,

                               Ест за четверых,

                               Работает за семерых.

Поп прогнал лишних работников. Сколько караваев хлеба экономил поп ежедневно?  

497.Собака погналась за лисицей, находящейся от нее на расстоянии 120 м. Через сколько времени собака догонит лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака – 350 м в минуту?

498.Из шахматной доски вырезаны две угловые диаметрально противоположные клетки. Можно ли эту шахматную доску замостить без наложения фишками домино, размеры которого 2х1?

499. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

500. На дискотеке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и т. д. до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (парней) было на дискотеке?

500а. На дискотеку собрался весь класс – 22 человека. Аня танцевала с семью мальчиками, Белла – с восемью, Вера – с девятью и так далее. Последняя из них танцевала со всеми мальчиками. Сколько мальчиков было на дискотеке?

Решение. Обозначим число танцевавших девушек через х. 1-я, Аня, танцевала с 6+1 танцорами, 2-я, Белла, танцевала с 6+2 танцорами, 3-я, Вера, танцевала с 6+3 танцорами, …, х-я, последняя, танцевала с 6+х танцорами. Имеем уравнение х+(6+х) = 22, откуда х = 8 – число девушек. Значит, танцоров было 22 – 8 = 14.

Ответ: 14.

501.В корзине лежат 100 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 32 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 70 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

501а. В корзине лежат 30 грибов - рыжиков  и груздей. Известно, что среди  любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине.

Решение. Если  бы  в  корзине  нашлись  12 груздей, то  ни  один из них не был бы рыжиком,  следовательно, количество груздей не превосходит 11. Если бы груздей было меньше 11,  то их было бы не больше 10. В этом случае можно было бы найти 20 не груздей,  следовательно, груздей - 11. Рыжиков - 19.

Ответ: 19 рыжиков и 11 груздей.

502.Записано 4 числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить по 1 к любым  двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов  получить 4 одинаковых числа?

503.Сколько получится острых углов, если внутри данного острого угла из его вершины провести 3 луча?

504. В Королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

505. Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 рублей. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 рублей за каждый день прогула.  Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал? 

506.Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось правильное равенство:  ½   1/6  1/6021  =  2007.

507.Найдите сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 6.

508.Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок  длиной1 см?

509. Найдите все решения ребуса:  

        РАЗ
+        АЗ
            З
         444
Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам – разные цифры.

510.Заяц соревновался с черепахой в беге на100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось до него еще90 метров. На сколько метров надо отодвинуть стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно.

511. Делится ли число 10¹⁹⁹⁶+ 8 на 9? Ответ обоснуйте.

512.Из чисел 21, 19, 30, 35, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выберите такие три числа, сумма которых 50.

513.Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за 3 взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов с двумя гирями – 200 г и 50 г?

514.Продолжите последовательность чисел, чтобы в ней было не менее 10 чисел:  3; 5; 9; 11; 15; 17; …

515. Можно ли прямоугольник 34х20  покрыть  без  наложений прямоугольниками 2х3  и 3х3,  не выходя за границы  большого прямоугольника?

516. Восстановите  поврежденные записи арифметических действий

                                         5*

                                   +

                                       *84

                              __________

                                     *** 0

517.Бурундуки Чип и Дейл должны запасти одинаковое количество орехов на зиму. После того, как Чип принес 120 орехов, а Дейл – 147 орехов, Чипу осталось запасти орехов в четыре раза больше, чем Дейлу. Сколько орехов должен запасти каждый из них?

518.В январе некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?

519. Когда у прямоугольника площадью 144 см² одну из сторон удлинили на 1 с, а другую укоротили на 1 см, его площадь уменьшилась на 1 см². Какими могли быть стороны исходного прямоугольника?

520. Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5 одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое (каждая цифра должна быть использована ровно один раз).

521.Найдите длину стороны квадрата, площадь которого численно равна его периметру. 

522.Таня нанизывает на нитку бусинки: красную, синюю, зеленую, потом опять красную, синюю, зеленую,… Какого цвета будет 2007 бусина? 

523.Число яблок в корзине — двузначное. Яблоки можно поделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя поделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине? 

524.У Кати 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Кати? 

525. Можно ли расставить числа от 1 до 10 в строку так, чтобы разность между любыми соседними числами равнялась 4 или 5?

526.Сколько четырехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры 2 и 4 не должны стоять рядом?

527.Четыре друга Петя, Вася, Сережа и Коля посещают секции тяжелой атлетики, борьбы, хоккея и футбола (каждый – свою). Известно, что Сережа бегает быстрее, чем тяжелоатлет, но не может поднимать такие тяжести, как хоккеист. Тяжелоатлет сильнее Коли, но медленнее борца. Петя быстрее Сережи и футболиста, но не так силен, как тяжелоатлет. Какую секцию посещает Вася? 

528.Замените каждую звездочку цифрой так, чтобы получился правильный пример, и чтобы два слагаемых и сумма не изменялись, если прочитать их справа налево. Помните, что число не может начинаться с нуля. ** + *** = ****

529.Бабушка делает печенье. Она скатывает из теста шарики, расплющивает их и вырезает звёздочки. Если собрать тесто, оставшееся от вырезания 8 звёздочек, то его как раз хватит на новый шарик. Сколько звёздочек можно сделать из 64 шариков теста?

530.Коля заметил, что во время липового медосбора пчела вылетает из улья со скоростью 4 м/с и возвращается обратно через 7 минут со скоростью 2 м/с. На каком расстоянии от улья расположена липа, с которой пчела берет мед, если учесть, что на сбор меда с липы во время одного полета пчела затрачивает 1 минуту?

531. В двух кучках лежат по 100 конфет. За ход можно взять любое количество конфет из одной кучки. Выигрывает взявший последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре: первый игрок или второй? 

532.Шестизначное число начинается цифрой 1 и оканчивается цифрой 7. Если цифру 7 перенести на первое место, то получим число, в 5 раз больше первого. Найдите исходное число.

533.Мама положила на стол сливы и сказала трем своим сыновьям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первым пришел Миша, он взял треть слив и ушел. Потом вернулся из школы Петя, взял треть от лежавших на столе слив и тоже ушел. Затем пришел Коля и тоже взял треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мама, если Коля взял 4 сливы?

534.На сколько частей могут разбить плоскость три различные окружности? Перечислите все возможности.

535. 100 рыбаков ловили рыбу, никто из них не остался без улова, но никто не поймал больше 7 рыб. При этом не более 6 рыб поймали 98 человек, не более 5 – 95, не более 4 – 87, не более 3 – 80, не более 2 – 65, не более 1 – 30 человек. Сколько всего рыб поймали рыбаки?

536.У Игоря было 7 палочек. Он разломал одну из них пополам.Сколько теперь у него палочек?

537. Миша, Сергей и Володя участвовали в соревнованиях по бегу. При обсуждении того, кто из них может выйти в финал, были высказаны три пары утверждений: Миша и Сергей; Миша и Володя; Сергей, но не Володя. Оказалось, что двое из названных ребят вышли в финал. Кто из них стал финалистом, если из трех пар утверждений в одном истинны обе части, в другом только одна, а  третье полностью оказалось ложным?

538. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 101. Стирают произвольные два числа и записывают разность стертых чисел, повторяют эту операцию 100 раз и в результате получают число Р. Может ли  Р равняться нулю?

539.Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще раз и еще раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул листок. Сколько дырок он увидел?

540. Три страшные старые ведьмы варили в большом котле волшебное зелье, которое должно помогать в решении математических задач. Главная ведьма, которую звали Жирная Жабетта, читала вслух остальным рецепт смеси.

Глаз тритона, жабья лапка,

Измочаленная тряпка…

Неожиданно до ведьм дошло, что для зелья нужна жидкость, а именно: крокодиловы слезы,2 л. У них было большое ведро крокодиловых слез, а еще трехлитровая кастрюля и литровый кувшин. Как ведьмам отмерить ровно2 л? В ответ запишите наименьшее число переливаний, которые нужно сделать, чтобы в котле оказались2 лкрокодиловых слез. 

541.Три бегемота весят столько же, сколько 6 толстопузых тараканов, а один слон – столько же, сколько 2 бегемота. Сколько толстопузых таранов уравновешивают слона?

542.Вася, Игорь, Алеша и Федя ловили рыбу. Вместе они поймали 26 пескарей. Вася поймал на 3 пескаря больше, чем Игорь. Игорь – на 3 пескаря больше, чем Алеша. Алеша – на 3 пескаря больше, чем Федя. По сколько пескарей поймал каждый из мальчиков?

543. Через мост за день проехало сорок автомобилей и велосипедов, всего 100 колес. Во сколько раз  проехало автомобилей меньше, чем велосипедов?

544. Через  10 лет общий возраст двух братьев и двух сестер составит 100 лет. Каким будет их общий возраст через 7 лет?

545. Шахматный конь начинает свой маршрут из левого нижнего угла доски, а кончает его в правом верхнем. Может ли конь побывать при этом на всех полях доски в точности по одному разу?

546.      Обыкновенная бумажная салфетка, сложенная вчетверо, разрезается по обеим диагоналям. Сколько отдельных частей получится?

547. В  числовом  ребусе      (ёж)² = ёрш     слева и справа четные числа. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам – одинаковые цифры. Расшифруйте ребус  и  в ответ запишите числовое значение суммы  ёж + ёрш.

548.Из всех прямоугольников с данным периметром квадрат имеет наибольшую площадь. Чему равна наибольшая площадь прямоугольника с периметром 28?

549.Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок в обед вместе съели 70 бананов, причем каждый из них съел хотя бы один банан. Винни-Пух съел больше всех, а Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

550.Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее, чем первая, а вверх – вдвое медленнее, чем первая. Которая из мух победит?

551.На дворе зима. Какое время года будет через 999 месяцев?

552.Ребята перебрасывают мяч. Петя всегда бросает мяч Мише, Вася – Ване, Коля – Васе, Ваня – Саше, Миша – Коле, Женя – Пете, Саша – Жене. Начинает Коля. У кого окажется мяч после пятидесятого броска?

553. Богдан рвет газету на 5 частей, одну из получившихся частей – еще на 5, и так далее. Какое число частей у него может получиться: А) 2012; Б) 2013; В) 2014; Г) 2015; Д) 2016.

554. Длина шага Крокодила Гены равна 50 см, а длина шага Чебурашки – 15 см. На каком наименьшем пройденном ими расстоянии по шоссейной дороге их шаги совпадут, если Крокодил Гена и Чебурашка начнут идти с одного и того же места в одном направлении? Выберите ответ:А) 900 см; Б) 600 см; В) 75 см; Г) 150 см; Д) 300 см.

555. Илья стоит в хороводе. Пятый слева от Ильи тот же, что и шестой справа. Сколько людей в хороводе? Выберите ответ: А) 11; Б) 15; В) 13; Г) 10; Д) 12.

556.Какую часть 2014-го  года составляет 1 час?

557.Какой наименьший угол (в градусах) составляют стрелки часов в 2 часа?

558. Задуманы два числа. Их сумма равна 60, а частное при делении одного на другое равно 4. Какие числа задуманы?

559.Четырех щенков взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы  в7 кг,8 кг,9 кг,10 кг,11 кг и12 кг. Какова общая масса всех четырех щенков (в кг)?

560.На столе лежат 40 камешков. Двое играющих берут поочередно со стола камешки, причем за один раз не более 10 камешков. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Кто наверняка выиграет в этой игре: начинающий или его противник?

561.У кролика Роджера вдвое больше сестер, чем братьев. Его сестра Рэчел заметила, что 2/5 ее братьев и сестер – мальчики. Сколько братьев и сестер у кролика Роджера? В ответ запишите количество братьев.

562.Одновременно из пункта А в пункт В выехали медведи на велосипеде, а из В в А – зайчики на тарантайчике. В это время из А вылетели комарики на воздушном шарике. Долетев до зайчиков, они повернули назад, долетели до медведей, снова повернули назад и так далее. Сколько километров пролетят комарики до встречи медведей и зайчиков, если скорость зайчиков7 км/ч, медведей –5 км/ч,  комариков –10 км/ч, а расстояние от А до В равно24 км?

563. Число х таково, что прибавив к нему 2, получим то же самое, что и при умножении его на 3. Какое число надо прибавить к  х, чтобы получить то же самое, что и при умножении его на 6? 

564.Расстояния между столбами изгороди равны по5 м. Чему равно количество столбов, необходимое для того, чтобы огородить треугольный участок со сторонами20 м,20 м и 30 м?

565. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 1) 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 2) 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. Судя по результатам, полученным Винни-Пухом, скажите, от чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

566. Если при любой перестановке цифр в простом числе снова получается простое число, то такое число называется абсолютно простым. Выпишите все абсолютно простые двузначные числа.

567.В каждую клетку квадрата 2х2 вписано какое-то число. Сумма чисел в верхней строчке равна 3, а в нижней – 8. Чему равна сумма чисел в правом столбике, если сумма чисел левого столбика равна 4?

568.В розыгрыше первенства по футболу участвует 8 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой из остальных 2 раза: один на своем поле, а другой – на чужом. Сколько матчей будет проведено в турнире?

569.В вершине квадрата с длиной стороны 12 см находится муравейник. Из муравейника одновременно выползают два муравья и движутся в различных направлениях по границе квадрата. Один ползет со скоростью 1 см/с. А другой ползет в 2 раза быстрее. Какое расстояние будет между ними через 12 с?

570.На уроке арифметики Мальвина предложила своим ученикам записать восемь различных чисел больше 0  и сложить их. Какие это были числа, каждый ученик придумывал сам. «Мой ответ  – 33», – сказал Емеля. «Вы ошиблись», – возразила Мальвина, даже не взглянув на  его пример. Почему она так решила, ведь чисел Емели она не знала?

571. Если бы завтрашний день был вчерашним, то до воскресения осталось бы столько дней, сколько дней  прошло от воскресения до вчерашнего дня. Какой же сегодня день? Выберите ответ: (А) среда; (Б) четверг; (В) пятница; (Г) вторник; (Д)суббота.

572. Какое значение принимает сумма 3/(2·5) + 3/(5·8) + 3/(8·11) +…+ 3/(20·23)? Выберите ответ: А) 37/49; Б) 51/92; В) 21/46; Г) 25/46; Д)12/23.

573.Волшебный баобаб, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в два раза. При этом через 36 дней он «достает» до Луны. Через сколько дней он достал бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была не 1 м, а 16 м?

574.В пакете находились сливы. Сначала из него взяли половину всех слив без пяти, а затем еще 1/3 оставшихся слив. После этого в пакете стало 18 слив. Сколько слив было в пакете?

575. Колобок катится от Бабки с Дедом к Медведю, от Медведя – к Волку, от Волка – к Зайцу, от Зайца – к Лисе. Каждый раз при этом он пробегает половину оставшегося расстояния и еще 400 м. Сколько километров пробежит Колобок, прежде чем окажется в пасти у Лисы?

576.Лестница имеет 21 ступеньку. Саша и Боря считают ступеньки: один – снизу вверх, другой – сверху вниз. Они сошлись на ступеньке, которую Боря назвал десятой. Какой по счету назовет эту ступеньку Саша? 

577.Бабушка сказала внукам: «Если я испеку вам по 2 пирожка, то останется теста еще на 3 пирожка, а если по 3, то теста не хватит на 2 пирожка». Сколько внуков у бабушки?

578.Когда Артем с отцом вернулись из лесу, мама спросила об их грибном счастье. Ответы грибников были таковы: «Я нашел на 18 грибов больше половины папиных», «А я только на 7 грибов больше, чем Артем». Сколько грибов было собрано Артемом и его папой вместе?

579.Перемножили первые 2014 простых чисел. На сколько нулей оканчивается это произведение?

580.На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и купцы, которые всегда лгут. Островитянин в присутствии другого островитянина говорит, что, по крайней мере, один из них лжец. Кто они?

581. Можно ли число 20 записать в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 20?

582.Решите ребус: Я × ЛЯ = ОЛЯ (разным буквам соответствуют разные цифры).

583.Из семи монет две фальшивые, которые весят одинаково и легче настоящих. За три взвешивания на чашечных весах без гирь найдите обе фальшивые монеты.

584.Восемь богатырей вели бой со Змеем Горынычем. В каждой схватке погибала половина живых богатырей, но каждый богатырь в каждой схватке (даже если он  погибал) срубал по голове у Змея. После каждой схватки на каждые две живые головы появлялась третья. Так продолжалась до тех пор, пока в живых не остался один Илья Муромец, он-то и срубил последнюю голову змея. Сколько голов у Змея было вначале?

585. Играют двое. Каждый по очереди берет из кучи от 1 до 4 камешков. Выигравшим считается тот (при безошибочной игре обоих), кто сделает последним ход. Пусть в куче имеется 117 камешков. В этом случае играющему на выигрыш достаточно при каждом своем очередном  ходе, начиная с первого,  брать всякий раз камешки таким образом, чтобы при этом последним по счету из забираемых камешков был  тот,  номер которого делится на определенное число  с одним и тем же остатком.  С  каким?

585а. Двое играют в такую игру. Каждый из них по очереди берет из кучи от 1 до 4 камешков. Выигравшим считается тот (при безошибочной игре обоих), кто сделает последним ход. Пусть в куче имеется 108 камешков. В этом случае выигрывающему игроку достаточно после каждого своего очередного хода, начиная с первого, брать всякий раз камешки таким образом, чтобы при этом  у него последним по счету из забираемых камешков был тот,  номер которого делится на некоторое число с одним и тем же остатком.  С  каким?

Решение.  Наименьшее число камешков, которое не может взять за один раз ни один из игроков, равно 5. Разделив общее количество камешков в куче на 5, получим 108 : 5 = 21 ∙ 5 + 3. Остаток равен 3. Значит, чтобы выиграть, достаточно иметь возможность при каждом своем очередном ходе, начиная с первого, брать камешки таким образом, чтобы при этом последними по счету из забираемых камешков были те, номера которых соответствуют числам  3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, …, 93, 98, 103, 108. Забирая первым своим ходом 3 камешка, первый игрок в дальнейшем имеет возможность соблюдать указанную тактику. Поэтому он, конечно же, и выигрывает в этой игре.

Ответ: 3.

586.На прямой отмечено 2009 точек так, что расстояние между двумя любыми соседними точками равно 3 см.  Какое расстояние между крайними точками?

587.За круглым столом собралось 100 человек — каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. 99 из собравшихся произнесли такую фразу: «99 из нас — лжецы». Сколько лжецов могло собраться за столом?

588. Можно ли разбить числа от 1 до 15 на две группы так, чтобы суммы квадратов в каждой группе были равны?

589.Каких натуральных чисел от 1 до 2010 больше: тех, которые делятся на 8, но не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9, но не делятся на 8?

590.В трех ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором — на 10 меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

591. Кошке до мышки 5 прыжков, мышке до норки –  20 шажков. Пока кошка прыгнет, мышка три раза шагнет, а в прыжке – 10 шажков. Съест кошка мышку или не съест? (кошка, мышка и  норка  расположены на одной прямой)

592.Запишите числа 1, 2, ..., 9 подряд так, чтобы среди них не было четырёх последовательных чисел, идущих в порядке возрастания или в порядке убывания. (Достаточно привести один пример)

593.Найдите наименьшее пятизначное число, делящееся на 9, в записи которого все цифры различны.

594.Учительница Мария Ивановна задумала двузначное число. При этом она сообщила трём своим ученикам Пете, Васе и Толе следующее: «это число то ли кончается на 5, то ли делится на 7»; «это число то ли больше 20, то ли кончается на 9»; «это число то ли делится на 12, то ли меньше 21». Всё, сказанное Марией Ивановной, – правда. Помогите Пете, Васе и Толе найти число.

595. Сколько решений имеет ребус: Ц > Ы > П > Л > Ё > Н > О > К? (Разные буквы обозначают разные цифры)

596.Произведение цифр трёхзначного числа равно 9. Найдите все такие числа и объясните, почему других таких чисел нет.

597.Банка, наполненная доверху сгущённым молоком, весит 1470 г. Когда Миша выпил четверть всего сгущенного молока из банки, то она стала весить 1170 г. А сколько весит пустая банка?

598.Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые два соседних числа имели общую цифру.

599.В избушке живут три медведя: Михаил Иванович, Настасья Петровна и их сын Мишутка. Михаил Иванович налил в тарелку 5 поварешек супа, а Настасья Петровна 2 поварешки. Михал Иванович съедает свою порцию за 6 минут, а Настасья Петровна   за  4 минуты. Если Мишутка будет есть суп вместе с папой, то папина порция будет съедена за 5 минут. За какое время будет съеден мамина порция, если Мишутка будет есть вместе с мамой?

600.У бедного Зязяки не было денег, и он взял взаймы у богатого Бябяки и купил  в магазине 1 зяку и 3 бяки. После этого он продал на рынке 1 зяку по цене 4-х бяк, а 3 бяки по цене 2-х зяк. После возврата долга денег ему как раз хватило на покупку 4-х бяк в магазине. Во сколько раз в магазине зяка дороже бяки? 

601.В четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, Известно, что сумма периметров этих треугольников равна 73 см, а периметр четырехугольника равен 29 см. Чему равна сумма длин диагоналей?

602.На необитаемом острове растут три дерева: дуб, береза и сосна. Под одним из них пираты зарыли клад, а на деревья повесили таблички. На дуб – "клад зарыт не здесь";   на березу – "клад зарыт не здесь";  на сосну – "клад зарыт под березой". Только одна табличка говорит правду. Под каким деревом клад?

603.В коробке лежат красные, синие и белые шары. Если вытащить любые 8 шаров, то среди них обязательно найдется хотя бы один красный, если же вытащить 9 шаров, то хотя бы один синий, а если 10, то хотя бы один белый. а) Какое наибольшее количество шаров может быть в коробке? б) Сколько в этом случае красных? в) Сколько в этом случае белых?

604.Анастасия Васильевна купила задачник, в котором собраны 200 задач заключительного этапа Всероссийской Олимпиады, и решила прорешать эти задачи за три дня. В первый день она решила половину всех задач, которые смогла решить за все три дня. Во второй день она решила на 60 задач меньше, чем в первый, а в третий вполовину меньше, чем в первый и во второй вместе. Сколько задач не смогла решить Анастасия Васильевна?

605. На столе лежат 2011 спичек. Дима, Коля и Паша играют в следующую игру. Дима всегда берёт одну спичку, Коля может взять 1 или 2 спички, а Паша — 1, 2 или 3. Тот, кто забирает последнюю спичку — выигрывает. Может ли кто-либо из ребят гарантировать себе победу вне зависимости от игры соперников?

606.В стране великанов все расстояния в 3 раза больше, чем у нас с вами. Сколько спичечных коробков поместится в пустой спичечный коробок великана?

607. Полбуханки хлеба стоят на 2 рубля дороже, чем четверть буханки. Сколько стоит буханка?

608. Группа детского сада шла парами. Вова, шедший в паре с Машей, насчитал семь пар впереди себя, затем обернулся и насчитал пять пар позади. Сколько человек в группе?

609.    На столе стоит два ларца. В каждый из них Кашей положил или не положил яйцо. На каждом ларце Кашей что-то написал. Известно, что если в ларце не лежит яйцо, то надпись на нем верна, а если лежит, то надпись неверна. Сейчас надписи такие. На левом ларце: «в обоих ларцах лежит по яйцу». На правом ларце: «яйцо только в одном ларце». Сколько лежит яиц и в каких ларцах?

610.Прямоугольную шоколадку разломали на 4 прямоугольных кусочка. Первый верхний кусочек состоит из 12 квадратных долек, второй верхний– из 18, третий нижний (под первым верхним) – из 8. а) Сколько квадратных долек в четвёртом нижнем кусочке? б) Сколько долек во всей шоколадке?

611.Утром Костя пошел в школу. Сначала половину имеющихся денег он потратил на проезд до школы, потом нашел на дороге 50 руб., затем потратил на завтрак 30 руб. Вернулся домой пешком и обнаружил, что у него столько же денег, сколько было перед выходом в школу. Сколько же денег было у Кости перед выходом в школу?

612.Лиса Алиса и кот Базилио отправились из харчевни на поле Чудес в страну Дураков. Базилио замешкался и вышел из харчевни, когда Алиса прошла 17 км. Сколько еще Алисе оставалось до поля Чудес, когда Базилио был от него на расстоянии 77 км, если Алиса и Базилио ходят с одинаковой скоростью?

613.На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 балла за каждую решенную сложную задачу и 2 балла за каждую решенную простую задачу. Кроме того, за каждую нерешенную простую задачу вычитали 1 балл, а за каждую нерешенную сложную задачу давали 0 баллов. Толя решил верно 10 задач и получил за них 14 баллов. Сколько простых задач было на конкурсе?

614. Имеется 8 одинаковых на вид монет. Известно, что среди них две фальшивые, отличающиеся по весу от настоящих, но неизвестно, легче они или тяжелее. Требуется с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь разбить монеты на две кучки по 4, в каждой из которых была бы ровно одна фальшивая монета (фальшивые монеты весят одинаково).

615. В комнате четыре человека – жители острова рыцарей и лжецов каждый из них сделал заявление. Первый: среди нас не более одного лжеца. Второй: среди нас не более двух лжецов. Третий: среди нас не более трех лжецов. Четвертый: среди нас не более четырех лжецов. Сколько рыцарей в комнате?

616.Каждую секунду Карлсон съедает 1 конфету. Сколько конфет он съест за час?

617.Дедушку мальчика Григория Анатольевича зовут Анатолий Иванович. Как зовут отца этого мальчика?

618.Есть розы, астры и лилии. Сколько различных букетов из трех цветков можно составить?

619.У трехзначного числа, записанного одинаковыми цифрами, стерли две цифры. Во сколько раз уменьшилось число? 

619а. У четырехзначного числа, записанного одинаковыми цифрами, стерли две цифры. Во сколько раз уменьшилось число?

Решение. Запишем исходное число в виде ĀĀĀĀ= 100ĀĀ+ĀĀ = 101ĀĀ. Поэтому после стирания двух цифр число уменьшится в 101 раз.

Ответ: в 101 раз.

620. Напишите наименьшее 12-тизначное число, в котором встречаются все цифры.

621.Электронные часы показывают время в 24-часовом формате. Какой ближайший к полудню момент времени, когда все четыре цифры на часах разные?

622. Дима сложил квадратный лист бумаги пополам, потом еще раз пополам так что снова получился квадрат. Потом сложил еще раз пополам. После этого у получившегося прямоугольника обрезал все уголки. Развернув лист, Дима обнаружил в листе дырки. Сколько?

623. Мама пришла с работы домой и обнаружила, что коробка с конфетами пуста. На вопрос «Кто съел конфеты?» ее сыновья Ваня, Толя и Гриша ответили так. Ваня: «Гриша не ел последнюю конфету», Толя: «Гриша и Ваня оба ели конфеты», Гриша: «Толя и Ваня оба не ели конфеты». В последствии оказалось, что все сказали неправду. Кто съел конфеты?

624.   Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из А в В. Проехав треть пути, велосипедист остановился. Когда велосипедист продолжил движение, мотоциклисту оставалось проехать треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, без остановки поехал обратно в А.  Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В?

625.  В детском саду дети, построенные парами, возвращаются с вечернего чая с пряниками в карманах. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика пряников либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могут ли они все вместе иметь ровно 2014 пряников?

626. На столе лежали три стопки одинаковых монет из 19 монет, 23 монет и 29 монет. В одной из них одну монету заменили монетой другого веса, внешне не отличающейся от остальных. Есть чашечные весы без гирь. На чаши можно класть кучки монет и сравнивать вес этих кучек. Как за одно взвешивание найти стопку, в которой все монеты одинаковые?

627. У Пятачка и Винни-Пуха было несколько одинаковых палочек. У Пятачка 12, а у Винни-Пуха – 18. Они сложили каждый по прямоугольнику. Могла ли площадь прямоугольника Пятачка оказаться больше площади прямоугольника Винни-Пуха? 

628.Костя смотрел мультфильм 10 минут, с начала, но не до конца. Женя смотрела мультфильм 15 минут, до конца, но не с начала. Сколько минут они смотрели мультфильм вместе, если всего он продолжался 20 минут?

629.В коробке шоколадные конфеты выложены в один слой в виде квадрата. Ваня съел все конфеты по периметру – всего 20 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?

630.Кролик посадил грядку морковки (несколько морковок вдоль одной линии). Иа-Иа между каждыми соседними морковками посадил огурец. А Пятачок между каждыми соседними овощами зарыл желудь. Оказалось, что Пятачок зарыл 10 желудей. Сколько морковок посадил Кролик?

630а. Посадил Дед вдоль одной тропинки три березы. Бабка между каждыми соседними березами посадила по две липы. А Внучка между каждыми соседними деревьями посадила по розе. Сколько роз посадила Внучка?

Решение. Бабка посадила 4 липы. Всего деревьев стало 7. Значит, внучка посадила 6 роз.

Ответ: 6 роз.

631.У Руслана, Лизы и Максима спросили: «Какой сегодня день недели?» Руслан сказал: «Вчера была пятница». Лиза: «Сегодня четверг». Максим: «Завтра будет воскресенье». Позже оказалось, что один из них сказал правду, а двое соврали. В какой день недели это было?

632.Детсадовец Степа научился рисовать три буквы: «А», «М» и «П». Теперь он рисует их на стенах детского сада. Известно, что на рисование одинаковых букв Степа тратит одинаковое время. А на рисование разных – возможно, разное. Степа за 20 минут нарисовал «ПАПА», за полчаса – «МАМА». За какое время он нарисует «МАПА»?

633.Тигра в четыре раза сильнее Винни-Пуха, а Винни-Пух в три раза сильнее Кролика. Кролик в два раза сильнее Пятачка. Известно, что Тигра, Винни-Пух и Кролик не могут вытащить Слонопотама из ямы без помощи Пятачка, а с Пятачком могут. Сколько Пятачков могут вытащить Слонопотама без помощи остальных?

634. Первого числа какого-то месяца Пилюлькин прописал Незнайке пить витамины до конца этого месяца (в день прописывания тоже нужно было выпить). При этом количество таблеток в день должно равняться номеру дня в месяце. В конце лечения оказалось, что Незнайка съел 435 таблеток. В каком месяце происходило лечение?

635.  Министры иностранных дел Ассирии, Аримака и Такито обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы. Ассирия – "Проект не наш. Проект не Аримаки"; Аримака – "Проект не Ассирии. Проект Такито";Такито – "Проект не наш. Проект Ассирии". Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду. Определите, чей проект был принят.

636. Садоводы Миша, Гриша и Толя вырастили гигантские овощи: тыкву, кабачок и огурец. Каждый садовод вырастил только один овощ. Когда их спросили, кто что вырастил, они ответили. Миша: «Я вырастил тыкву». Гриша: «Тыкву вырастил Толя». Толя: «Я вырастил кабачок». Оказалось, что один из них соврал, а остальные сказали правду. Кто что вырастил?

637. Лиса в восемь раз хитрее Медведя и только в четыре раза хитрее Зайца. Кто хитрее: Медведь или Заяц и во сколько раз?

638.Через 5 лет Ира будет на 3 года старше, чем Маша сейчас. А 5 лет назад Маше и Ире вместе было 10 лет. Сколько лет Маше сейчас?

639.В синем, красном и желтом горшках на подоконнике в ряд растут красная герань, синяя незабудка и желтая лилия. Известно, что ни один цветок не растет в горшке того же цвета. Лилия растет правее всех, а в центре нет ничего красного. Определите, в каком порядке растут цветы и какого цвета у них горшки.

640.Лисы всегда лгут, зайцы всегда говорят правду. В одном лесу живут только зайцы и лисы. На поляне собрались трое из них. Первый сказал: «Я здесь один такой зверь». Второй сказал: «Да, он здесь такой один». Третий сказал: «Да, лиса одна». Определите, какие звери названы «первый», «второй» и «третий», объясните – почему? 

641.Алиса Селезнева везет с космопорта в зоопарк двух динозавриков Кешу и Степу. Динозавриков нужно кормить строго по часам – Кешу ровно час, потом два 2 часа перерыв, а Степу – ровно час, а потом три часа перерыв. Если без остановок, то Алиса может добраться от космопорта до зоопарка за 6 часов. Кормить зверей на ходу Алиса не может. Алиса выехала с космопорта, покормив обоих динозавров. Через какое время она приедет в зоопарк?

641а.  Винтик и  Шпунтик изобрели автомобиль, работающий на воде. Полного бака хватает на 4 часа езды. Если бы не требовалось время на заправку, то из Цветочного города в Солнечный автомобиль доехал бы за 20 часов. Чтобы залить полный бак, требуется 5 часов заправки. Винтик выехал из Цветочного города с полным баком. Через сколько часов он прибудет в Солнечный, если дорога идет вдоль реки?

Решение. (4 ч езды + 5 ч заправки)·5 = 45 ч.

Ответ: 45 ч.

642.На скамейке сидели мальчики. Между каждыми двумя соседними мальчиками села девочка. Оказалось, что на скамейке теперь сидит 10 девочек. Сколько сидит мальчиков?

643.Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

644.Автобусы отправляются с конечной остановки с интервалом в 1 минуту. Сколько встречных автобусов можно увидеть из окна, если доехать от одной конечной остановки до другой, считая встречные автобусы на конечных остановках?

645. Толя пытается позвонить Тане, но забыл ее семизначный номер телефона. Он помнит, что первая цифра 9, вторую не помнит совсем, а про остальные пять помнит, что все эти цифры разные и нечетные. Потом Толя вспомнил, что весь номер делится на 9 и на 25, а три средние цифры образуют простое число. Сможет ли Толя позвонить Тане, набрав ошибочный номер не более двух раз?

646.В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число 100.

647.Вычеркните в числе 26052013 любые пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим. Объясните выбранный Вами вариант.

648. На стол положили ложки, вилки и ножи – всего 37 приборов.
При этом вилок положили в два раза больше, чем ножей и на 2 меньше, чем ложек. Сколько положили на стол ложек, вилок, ножей? 

649. Коля всегда говорит правду, а Вася всегда врет. Какой вопрос  можно им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

649а. На острове Логос живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Что надо спросить у человека на острове Логос, чтобы узнать, куда ведет дорога: в город рыцарей или город лжецов?

Ответ: "Ведет ли эта дорога в город тебе подобных?"

650. Найдите четверку чисел, в которой сумма чисел равна их произведению. 

651. Найдите такую тройку натуральных чисел х, у, z, что 29х + 30у + 31z = 366. 

652. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

653.В каждой клетке доски 7x7 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонатали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

653а. В каждой клетке доски 5x5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонатали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Решение. Воспользуемся методом раскрасок. Покрасим клетки данной доски 5х5 в два цвета как на  шахматной доске. Переползая на соседнюю клетку, жук становится на клетку другого цвета. Но у нас 12 белых и 13 черных клеток (или наоборот). А, значит, как минимум одна черная клетка будет пустой. Ответ: да, обязательно будет одна пустая клетка.

654. Решите ребус: АВ·ВА = QUEEN.

655. У Сергея была полная корзина бокренков. Сначала он встретил Машу и дал ей половину своих бокренков и еще пол-бокренчика. Потом он встретил Дашу и отдал ей половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка. Затем Сергей потерял половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка. Наконец, после того, как он встретил Сашу и снова отдал ей половину оставшихся бокренков и еще пол-бокренка, корзина опустела. Сколько бокренков было у Сергея вначале? Что такое бокренки выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.

656. Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет N123456?

657.У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

658.На судебном процессе  по делу об украденном бульоне было трое подсудимых: Соня, Мартовский Заяц и Болванщик. Каждый из них обвинял одного из двух остальных. Правду сказала только Соня. Если бы каждый обвинял не того, кого он обвинял, а другого, то Болванщик был бы единственным, кто сказал правду. Кто виноват?

659.Двое игроков ломают по очереди (игрок не может пропускать ход) шоколадку 6х8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигравший игрок покупает сопернику шоколадку. Кто в этой игре всегда побеждает:  начинающий (первый) игрок или его партнер (второй)? 

659а. Двое игроков ломают по очереди (игрок не может пропускать ход) шоколадку 5х7. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигравший игрок покупает сопернику шоколадку. Кто в этой игре всегда побеждает:  начинающий (первый) игрок или его партнер (второй)? 

Решение. После каждого хода число кусков шоколадки  увеличивается на единицу. Ломая шоколадку 5x7, мы из одного куска после некоторого числа ходов получим 35 кусочков. Всего будет сделано 34 хода, это говорит о том, что последний ход (четный) сделает второй игрок.

Ответ: второй игрок.

660.Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин?

661.Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.

662.Странный дворник работает только по вторникам, пятницам и нечетным числам. Какое наибольшее число дней подряд он может работать? 

663. В трех квартирах разной площади живут три человека разного веса (каждый в своей квартире). Самый худой из них не живет в самой большой квартире. Средний по весу живет не в средней квартире, а в самой маленькой квартире живет не самый худой и не средний по весу. Кто из них где живет?

664.Восстановите запись:  КРОСС + КРОСС = СПОРТ (Одинаковые буквы замените на одинаковые цифры, разные буквы – на разные цифры).

665. Можно ли 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый  был соединен ровно с тремя другими?

666.Прибавьте пятьдесят шесть к самому большому двузначному числу. Далее, найдите произведение полученной суммы с самым маленьким четырёхзначным числом. Затем найдите его разность с самым большим трехзначным числом. Запишите полученный результат в виде ответа.

667.Три сестры: Валя, Саша и Оля, учатся в разных классах. Назовите имена старшей, средней и младшей сестры, если известно, что Валя не старше Оли, а Саша не старше Вали. 

668. В ящике лежит 20 шариков. Каждый шарик красного, зеленого, желтого или синего цвета. Какое наименьшее число шариков надо взять, не глядя, чтобы среди них нашлось не менее 2 одноцветных?

669.Аня, Оля и Ирина поспорили — кто из них самый скромный. Каждая из них сделала заявление. Оля: «Я скромнее Ирины». Ирина: «Оля не самая скромная». Аня: «Оля скромнее меня». Известно, что соврала самая скромная, а остальные две сказали правду. Как зовут самую скромную? (Считаем, что девушки не бывают одинаковой степени скромности).

670.В полдень самолет вылетел из Минска в город Энск и приземлился там в 14 часов по местному времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 6 часов утра. Сколько времени длится полет в одну сторону? (Считаем, что полет туда и обратно занял у самолета одно и то же время).

671.Отрезок, длина которого равна 48 см, разделен на две произвольные части. Чему равно расстояние между серединами этих частей?

672.Бочку можно наполнить, если в нее налить 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды, или 2 маленьких, 1 среднее и 3 больших ведра воды. А сколько только больших ведер потребуется для наполнения бочки?

673.Имеется 60 трехметровых бревен, которые надо распилить на полуметровые части. Сколько распилов нужно сделать? (Складывать вместе и распиливать несколько бревен одновременно нельзя)

674.Сумма двух чисел равна 165. Если в большем числе отбросить справа один нуль, то числа окажутся равными. Какие это числа?

675. Половину мотка веревки истратили, чтобы повесить белье. Половиной оставшегося перевязали лыжи, а тремя пятыми нового остатка связали из прутьев веник. Осталось всего 20 см веревки. Какой длины была веревка первоначально?

676.Слева от знака равенства поставьте знаки арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) так, чтобы получилось верное равенство: 1    2    3    4    5    6    7 = 13

677.Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 55?

678.В три часа дня старинные часы отбивают 3 удара за 6 секунд. За сколько секунд эти же часы отобьют 6 ударов в шесть часов?

679.Когда у Васи спросили, сколько ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше брата Алеши». А маленький Алеша моложе папы на 40 лет. Сколько лет Васе?

680.Незнайка взял листок ватмана и разрезал его на 4 части. Затем взял некоторые из получившихся кусочков и снова разрезал их на 4 части и так несколько раз. Когда получился 31 кусочек, он остановился. А сколько кусочков ему пришлось разрезать в процессе?

681.После того, как туристы прошли 1 км, а затем половину оставшегося пути, им осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?

682.На расстоянии 5 метров друг от друга в один ряд посажено 8 деревьев. Рядом с крайним деревом есть колодец. Для поливки двух деревьев необходимо ведро воды. Какой наименьший путь придется проделать, чтобы полить все деревья, пользуясь только одним ведром, и вернуться к колодцу?

683.Однажды мушкетеры Атос, Портос, Арамис и д’Артаньян соревновались в перетягивании каната. Портос с д’Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом. Но когда Портос стал в паре с Атосом, то победа против Арамиса с д’Артаньяном досталась им уже не так легко. А когда Портос с Арамисом оказались против Атоса с д’Артаньяном, то никакая из этих пар не смогла одолеть другую. Расставьте мушкетеров в порядке убывания их силы.

684.Какую часть квадратного метра составляет квадрат со стороной в полмиллиметра?

685. В ящике лежат 12 одинаковых шаров, отличающихся только цветом: 6 красных, 3 белых, 2 зеленых и 1 черный. Какое наименьшее число шаров надо взять из ящика наугад, чтобы среди вынутых шаров наверняка оказалось не меньше двух шаров одного цвета?

686.Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.

687.Аня задумала двузначное число. Маша приписала к нему слева цифру 6 и получила трехзначное число, которое оказалось в 9 раз больше числа Ани. Какое число задумала Аня?

688.Из двух одинаковых железных проволок кузнец сковал по одной цепи. Первая содержит 80 одинаковых звеньев, а вторая – 100. Каждое звено первой цепи на 5 граммов тяжелее каждого звена второй цепи. Какова была масса каждой проволоки?

689.В ряд выписаны цифры так, что каждые две рядом стоящие цифры образуют число, делящееся либо на 17, либо на 23. Первая цифра 9. Какая цифра стоит на 1001 месте?

690.Бизнесмен Вася вывесил в своем супермаркете четыре рекламных лозунга: 1) Всё дешёвое невкусно! 2) Всё невкусное дёшево! 3) Всё вкусное недёшево! 4) Не всё вкусное дёшево! Борющийся за экономию коммерческий директор заметил, что два лозунга утверждают одно и то же. Какие?

691.Два последовательных двузначных числа сложили и переставили в сумме цифры. Получилось большее из первоначальных чисел. Какие числа сложили?

692.Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь ломаная, состоящая из 7 звеньев?  (Общие концы звеньев ломаной не считаются)

693.За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км. Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

694.Два натуральных числа отличаются на 2, а их квадраты (квадрат – это произведение двух одинаковых чисел) – на 100. Найдите эти числа.

695. Сереже вдвое больше лет, чем будет Саше тогда, когда Толе исполнится столько лет, сколько Сереже сейчас. Кто из мальчиков старший, кто самый младший, кто средний по возрасту?

696. Меня зовут Дима. У моей сестры только один брат. Как зовут брата моей сестры?

697. Пять победителей конкурса «Кто громче крикнет» получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым?

698. Ученик сказал, что за четыре дня он решил 23 задачи. Причем каждый день он решал задач больше, чем в предыдущий, а в четвертый день он решил задач в 2 раза больше, чем в первый. Сколько задач решал ученик каждый день?

699. В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки 3 ножки, у каждого стула четыре ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, комнате 39 «ног». Сколько стульев и и табуреток в комнате?

700.На окружности отмечено 6 точек. Сколько хорд  они определяют?

701. Сколькими способами можно составить список из 9 учеников?

701а. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Решение. 14·13·12·…·3·2·1 = 1·2·3·4·…·14 = 14!

Ответ: 14!

702.Имеется четыре различных ключа от четырёх сейфов с различными замками. Каждый ключ подходит ровно к одному сейфу. Какое минимальное количество попыток открыть сейфы нужно предпринять, чтобы точно подобрать ключ к каждому из сейфов?

702а. Имеется три ключа от трех чемоданов с различны­ми замками. Каждый ключ подходит только к одному чемодану. Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к каждому из них?

Решение. Обозначим ключи буквами А, В, С, а замки М, К, Р. Тогда первая проба может дать, например, такой результат: ключ А не подходит к замку М. Это означает, что он подходит к замку К или к замку Р. Вторая проба: ключ В не подходит к замку М. Тогда ясно, что: а) ключ В подходит к замку К или к замку Р; б) к замку М подходит ключ С. Третья проба ставит все на свои места: если к замку К не подходит ключ А, то к нему подходит ключ В, а ключ А подходит к замку Р. Если же первая проба дает результат такой, что ключ А подходит к замку М, то тогда достаточно второй про­бы, чтобы установить, какой из оставшихся ключей к какому замку подходит.

Ответ: достаточно.

703. В три банки с надписями “малиновое”, “клубничное” и “малиновое или клубничное” налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку “клубничное”?

704. На острове правдолюбцев и лжецов живут правдолюбцы, всегда говорящие только правду, и лжецы, изрекающие только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова или правдолюбец, или лжец. Двое из трёх островитян А, В и С сделали следующие утверждения. А: “Мы все лжецы.” В: “Один из нас правдолюбец.” Определите кто из трех островитян А, В и С правдолюбец и кто лжец?

704а. На острове правдолюбцев и лжецов живут правдолюбцы, всегда говорящие только правду, и лжецы, изрекающие только ложь. 2013 жителей острова правдолюбцев и лжецов встали в круг, и каждый из них заявил, что оба его соседа правдолюбцы. Сколько правдолюбцев и сколько лжецов могло быть среди этих 2013 человек? Укажите все ответы и обоснуйте их.

Решение. 1. Если один из 2013 жителей правдолюбец, то и его соседи правдолюбцы, следовательно, все 2013 человек правдолюбцы.

2. Если один из 2013 жителей лжец, то среди 2013 человек правдолюбцев уже не будет (по первому случаю). Следовательно, все 2013 человек лжецы.

Ответ: все 2013 человек правдолюбцы или все 2013 человек лжецы.

705. Из г. Молодечно в г. Ошмяны выехал велосипедист. Одновременно с ним из г. Ошмяны в г. Молодечно выехал другой велосипедист. Одни двигались с постоянными скоростями. Через час расстояние между велосипедистами равнялось 20 км, а ещё через час движения 35 км. Найдите расстояние от Молодечно до Ошмян, если за два часа ни один из велосипедистов не доехал до пункта назначения.

706. Расшифруйте запись **·** = 1 + **.

707.Между некоторыми цифрами числа 1234567893 поставьте знаки арифметических действий так, чтобы значение полученного выражения равнялось 2013.

708.«Ну, погоди!» – зарычал Волк, заметив Зайца в 30 м, и бросился за ним. На каком расстоянии они будут через 5 минут, сели они бегут по прямой дороге и Заяц в минуту пробегает 500 метров, а Волк – 450?

709.Шапокляк в 5 раз тяжелее Чебурашки и на 30 килограммов легче Гены. Сколько весит Чебурашка, если они все трое вместе весят 140 килограммов?

710.Сколькими способами можно расположить доминошку 1·2 по линиям сетки на доске 8·8?

711.У Алисы живет крокозябра. Каждый день она съедает бананов ровно в два раза больше своего веса, а каждую ночь худеет в три раза. Уезжая рано утром на четырехдневные каникулы, Алиса оставила ей 40  кг бананов, и этого крокозябре в точности хватило. Сколько весила крокозябра, когда Алиса уезжала?

712.Найдите наименьшее четырёхзначное натуральное число из различных цифр, делящееся на любую свою цифру.

713.Найдите все прямоугольники с целыми сторонами, периметр которых численно равен площади.

714.Показ очередного мексиканского сериала начался 1 апреля 2007 года, и это будет продолжаться ежедневно в течение 20 минут до 1 апреля 2008 включительно. Сколько часов будет длиться весь сериал?

715. Каждый из трех игроков записывает сто слов, после чего записи сравнивают. Если слово встретилось хотя бы у двоих, то его вычеркивают из всех списков. У первого игрока осталось 61 слово, у второго – 80 слов.  Какое наименьшее количество слов могло остаться у третьего игрока.

716. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при выписывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2013 — нет). Представьте число 2013 в виде суммы двух палиндромов двумя разными способами (представления, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми).

717. Решите уравнение

2x + 245 + 576 + 424 + 755 = 1243 + 1542 + 757 + 458 + 11 + x.

Выберите самый простой способ решения.

718.Пять экскаваторов за 2 часа выкопали 7 ям. Сколько ям выкопают 10 экскаваторов за 7 часов?

718а. Пять кулинаров за пять часов испекли пять тортов. Сколько тортов испекут 15 кулинаров за четыре часа?

Решение. 1. Пять кулинаров за 1 час пекут один торт.

2. 15 кулинаров за 1 час испекут три торта, а за четыре часа – 12.

Возможны и другие варианты решения.

Ответ: 12.

719.В строчку подряд выписаны несколько раз цифры от одного до девяти:  123…8912… Всего выписаны 2007 цифр. После какой по счету цифры нужно поставить знак +, чтобы  сумма двух получившихся чисел была наименьшей?

720.Какую наименьшую сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 777?

721.В футбольном чемпионате, который проходил по круговой системе (каждая команда сыграла с каждой 1 раз), пятая часть команд не набрала ни одного очка (за выигрыш дается 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш – 0). Сколько команд участвовало в турнире?

722.Поднимаясь пешком по лестнице многоэтажного дома Джон на подъём между первым и вторым этажом потратил 10 секунд, а на каждый следующий пролёт между этажами тратил на 1 секунду больше, чем на предыдущий. Между какими этажами будет Джон через 10 минут? 

723.На выставке представлены сибирские и сиамские кошки. Средний возраст сибирских кошек составил 18/10 года, а сиамских – 47/10. При этом средний возраст всех кошек оказался равным 38/10 года. Кого больше на выставке: сибирских или сиамских кошек?

724.На столе в ряд лежат 2012 яблок. Вася берёт каждое десятое яблоко (т. е. десятое, двадцатое, тридцатое и т. д.). После этого он берёт каждое девятое из оставшихся яблок, затем каждое восьмое из оставшихся и т. д., наконец, он берёт каждое третье из оставшихся к этому моменту яблок. Сколько яблок останется в итоге на столе?

725. На табло расположено 10 лампочек. У каждой лампочки есть выключатель, который меняет состояние лампочки. Петя и Вася играют в такую игру: каждый из мальчиков своим ходом может щёлкнуть одним выключателем, изменив состояние одной лампочки. Запрещается повторять ситуацию, которая уже была (включая изначальную). Проигрывает тот, кто не имеет хода. Начинает Петя. Кто из ребят выиграет при правильной игре?

726. Расстояние между городами 300 км. Два поезда одновременно выехали из них навстречу друг другу со скоростями 40 км/ч и 60 км/ч. В момент начала движения с головного вагона одного поезда взлетела ласточка и полетела к другому поезду. Достигнув его, птица вновь полетела к первому поезду и т. д. Таким образом, ласточка летала от поезда к поезду до тех пор, пока поезда не встретились. Сколько километров пролетела ласточка, если ее скорость – 80 км/ч ?

727.Масса ящика с апельсинами равна 35 кг. После продажи половины всех апельсинов ящик поставили на весы. Весы показали 21 кг. Какова масса пустого ящика?

727а. Полный бидон с молоком весит 17 кг, а бидон, наполненный молоком наполовину, весит 11 кг. Сколько будет весить бидон, если наполнить его молоком на треть?

Решение. Разность между весом полного бидона и весом бидона, заполненного наполовину, равна весу половины молока: 17 – 11 = 6 кг. Тогда пустой бидон весит 5 кг, а молоко, заполняющее бидон на треть, (6·2) : 3 = 4 кг. Следовательно, общий вес составит 9 кг.

Ответ: 9 кг.

728.  Где в делении 20132013:2013=11 допущена ошибка?

729. Для того, чтобы обменяться памятными значками, членам туристической группы потребовалось 56 значков.  Сколько туристов было в группе?

729а. Ребята одного класса завели традицию, каждое утро каждый мальчик с каждым обмениваются рукопожатием. Сколько мальчиков в этом классе, если каждое утро происходит 36 рукопожатий?

Решение. Если мальчиков n, то рукопожатий n(n-1)/2 = 36, т. е. n(n-1) = 72. Произведение двух последовательных чисел 9·8 = 72. Следовательно, в классе 9 мальчиков.

Ответ: 9. 

730. Восстановите запись: АВ·АВ = АСС (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разны буквам – разные цифры).

730а. Решите ребус:

КОКА

+

КОЛА

ВОДА

Решение. Присмотримся к последнему столбцу: в нем стоит одна и та же цифра А. Чему она равна? Только нулю. А теперь обратим внимание на второй столбец: в нем аналогичное положение с буквой О. Отсюда О равна нулю или 9. Но первая возможность отпадает. Остается О = 9. Для нахождения К рассмотрим первый столбец. Очевидно, К отлична от нуля и не превосходит 4. Тогда К принимает одно из значений 1, 2, 3, 4. Разберем четыре случая. 1) Пусть К = 1. Получаем, что в третьем столбце Л = 9, поскольку во втором столбце должно быть 9 + 9 + 1= 19. Но тогда Д = 0, а это невозможно. 2) Пусть К = 2. Подставим в ребус значения К = 2, А = 0, О = 9:

2920

+

29Л0

В9Д0

Из третьего столбца  2 +Л = 10 + Д, Л = 8 = Д. Отсюда Д = 0 или Д = 1, соответственно Л = 8 или Л = 9. Но обе эти возможности исключаются.

3) Пусть К = 3. Получаем:

3930

+

39Л0

В9Д0

Тогда 3+ Л = 10 + Д, Л = 7 = Д, а значит, Д = 1, Л = 8. Кроме того В = 7. Этот случай возможен.

4) Пусть К = 4. Следовательно, В = 9. Но последнее невозможно. Итак, решение получается только в третьем случае.

Ответ: 3930 + 3980 = 7910.

731.Коля купил одну тетрадь, два карандаша и резинку, заплатив за все 12 монет. Саша за 2 тетради, 3 карандаша и 3 резинки заплптил 27 монет. Сколько нужно заплатить Антону за 2 тетради, 5 карандашей и одну резинку?

732. Незнайка  хвастался своими выдающимися способностями умножать числа в уме. Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое-нибудь число, перемножить его цифры  и сказать ему результат. «2320», –  немедленно выпалил Незнайка, лишь успев записать число. «Не может быть» – ответил, подумав Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

733. В квадрате со стороной 3 см произвольным образом расположены 10 точек. Возможно ли найти квадратик со стороной 1 см, которым можно накрыть хотя бы 2 точки?

734. В Цветочном городе живет 14 коротышек. Они объединены в различные партии. По закону, партия должна состоять не менее чем из 3 коротышек, и две разные партии не могут состоять из одних и тех же членов. Кроме того, каждый коротышка может быть членом не более 2 партий. Какое наибольшее число партий может быть в Цветочном городе?

735. Петя не защитил вовремя свой компьютер, и теперь оказалось, что он заражен 2012 вирусами. Петя пытается вылечить компьютер. За один прием он может уничтожить или 2, или 15, или 23, или 47 вирусов, но при этом возникают соответственно или 8, или 0, или 2, или 35 новых вирусов. Удастся ли Пете самому вылечить компьютер, или потребуются более серьезные меры?

736.Выполните действия 29 + 37 + 456 + 44 + 1171 + 263 + 11 + 290 000 + 370 000 + 4 560 000 + 440 000 + 11 710 000 + 2 630 000 + 110 000 (укажите самый простой порядок выполнения действий).

737. В детском магазине продают трехколесные и двухколесные велосипеды,
причем и тех и других поровну. Сколько колес может быть у всех этих велосипедов вместе: 1) 16, 2) 24, 3) 25, 4) 28, 5) 33 ?

738. Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками.
Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать? Выберите ответ: А) 15; Б) 30;В) 45; Г) 75; Д) 150.

739. В пещере старый пират разложил свои сокровища в 3 цветных сундука, стоящих вдоль стены: в один - драгоценные камни, а в другой – золотые монеты, а в третий - оружие. Он помнит, что красный сундук правее, чем драгоценные камни ; оружие правее, чем красный сундук.
В сундуке какого цвета лежит оружие, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?

740. Решите ребус:  СИ·СИ = СОЛЬ.

741. Девять осликов за 3 дня съедают 27 мешков корма. Сколько корма надо пяти осликам на 5 дней?

742.Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 1/2 секунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 м.

743.Известно, что P - 2 = Q + 2 = X - 3 = Y + 4 = Z - 5. Найдите самое маленькое из них.

744. Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем по кругу ходить и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами одного купца. Как были расставлены тюки?

745. На гранях кубика написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросают дважды. Первый раз сумма чисел, выпавших на боковых гранях, равна 13, а второй раз – равна 16. Какое число написано на грани, противоположной той, на которой написано число 4? Объясните отсутствие других решений, кроме найденного.

746. Каковы стороны прямоугольника, площадь которого равна 12 см², а периметр равен 26 см?

747.Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в точности 1000 метров?

748.Все натуральные числа раскрасили в три цвета. Число 1 стало красным, 2 — синим, 3 — зеленым, 4 — красным, 5 — синим, 6 — зеленым, и так далее. Какого цвета может быть сумма красного и синего чисел? Выберите ответ: (А) только зеленого,    (Б) только красного,     (В) только синего, (Г) красного или синего,     (Д) может быть любого цвета.

749. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу по одной и той же дороге, соединяющей два села. Одному на весь путь требуется 1 час, а другому полтора часа. Через сколько минут они встретятся?
Выберите ответ: (А) 20,    (Б) 24,     (В) 30,  (Г)  36, (Д) – 40.

750.Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

751. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

752.Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8´ 8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

753.На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

754.На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние. Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки. Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних. Сколько больших породистых собак привезли на выставку? 

755. Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте. 

756.Все числа от 1 до 100 выписали на доску. Сколько раз на доске встретилась цифра 2?

757. Сегодня утром я уронила серьгу в кофе, но, хотя чашка была полна до краев, я смогла достать серьгу, не намочив пальцев. Как это могло быть?

757а. Вчера мой отец попал под дождь. Ни шляпы, ни зонта он с собой не взял. Укрыться от дождя было негде. Когда отец добрался до дома, вода с него лилась ручьями, но ни один волос на его голове не промок. Почему?

Ответ: отец был лысым.

758. Терпеливая Маша обшивает квадратную салфетку тесьмой по краю за 1 час. Сколько часов ей понадобится, чтобы обшить квадратную салфетку,
площадь которой в 4 раза больше?

759.На кошачьей выставке в ряд сидит 10 котов и 19 кошек, причём рядом с любой кошкой сидит более толстый кот. Докажите, что рядом с любым котом сидит кошка, которая тоньше его.

760.Один господин писал о себе "... пальцев у меня двадцать пять на одной руке, столько же на другой, да на ногах десять..." Почему он такой урод? 

761.В двузначных числах зачеркнули цифру, и они уменьшились в 31 раз. Какую цифру и в каких числах зачеркнули? Найдите все такие числа.

762. Коля купил в буфете 3 пакетика ирисок, Витя – 2 пакетика. Когда пришел в буфет Алеша, ирисок уже не было. Друзья разделили купленные ириски поровну. Выяснилось, что Алеша должен друзьям 25 монет. Сколько стоит пакетик ирисок и сколько Алеша должен Коле, а сколько Вите?

762а. Алеша заплатил в столовой за три одинаковых блюда, а Боря — за два таких же блюда, и втроем с Васей они их поровну съели. Вася оказался должен товарищам 5 тыс. рублей (были такие цены). Сколько он должен Алеше? Выберите ответ:(A) 5 тыс. руб. ; (B) 4 тыс. руб. ; (C) 3 тыс. руб.; (D) 2 тыс.руб.

Решение.Из того факта, что Вася оказался должен товарищам 5 тыс. рублей,  делаем вывод: обед каждого из мальчиков стоил 5 тыс. рублей. Располагая такой ценной информацией, выстраиваем следующую логическую цепочку: за три обеда было уплачено 15 тыс. рублей; одно блюдо стоило 15: ( 3 + 2 ) = 3 тыс. рублей; Алеша заплатил 3 ·3 = 9 тыс. рублей; за друга Васю он заплатил 9 - 5 = 4 тыс. рублей.

Итак,  Вася должен Алеше 4 тыс. рублей.

Ответ:  (В) 4 тыс. руб.

Заметим,что Боря заплатил 3 * 2 = 6 тысяч рублей,т.е. за Васю он заплатил 1 тыс. рублей. Вася должен Боре 1 тыс. рублей.

763. В классе 30 учеников, некоторые из них друзья. Докажите, что можно найти хотя бы двух учеников из этого класса, у которых одинаковое число друзей.

764.Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2000 месте?

765. Докажите, что если цифры десятизначного числа выписать в обратном порядке, то полученное число не будет в три раза больше исходного.

766. У завхоза Петра Ивановича есть 5 сим-карт и 5 мобильных телефонов. Сколькими способами Большой Начальник может выбрать себе мобильный телефон и сим-карту?

767.А еще у Петра Ивановича есть четыре подставки под мобильный телефон. Сколькими способами может Большой Начальник выбрать себе мобильный телефон, сим-карту и подставку под телефон?

768.Улитка решила навестить своего родственника. В первый день пути она проползла половину всего пути и еще один метр. Во второй день - половину оставшегося пути и еще 2 метра. В третий день - половину оставшегося пути и еще три метра. На четвертый день улитке осталось проползти до дома своего родственника 8 метров. Какое расстояние преодолела улитка, чтобы навестить родственника?

769.На стоянке стоят 5 машин. Известно, что «Жигули» стоят перед «Волгой», «Ауди» – после «Тойоты», «Волга» перед «Мерседесом», «Мерседес» перед «Тойотой». В каком порядке стоят машины на стоянке?

769а. Вот симпатичные ежи,

Какого как зовут скажи.

От Пэта слева Физа нет,

От Физа справа нет Чучачу,

Мак рядом с Физом. Пэт

Мне эту предложил задачу.

Ее решил я в пять минут… .

А ты? Ежи ответа ждут!

В каком порядке расположились слева направо ежи?

Ответ: Чучачу, Пэт, Физ, Мак.

770.Чебурашка поселился в высотном здании. На каком этаже находится его квартира,если: 1) поднявшись со своего этажа на лифте на 20 этажей, он оказался выше 62-го, но ниже 71-го этажа; 2) спустившись со своего этажа на 15 этажей, он оказался выше 30-го, но ниже 40-го этажа; 3) поднявшись со своего этажа на 29 этажей, он оказался выше 67-го, но ниже 78-го этажа; 4) спустившись на 38 этажей, он оказался выше 9-го, но ниже 12-го этажа.

771.У Буратино на 30 золотых больше, чем у Мальвины, а если Буратино даст 50 золотых Пьеро, то у Пьеро будет столько же золотых, сколько у Мальвины. Смогут ли они втроём, сложившись, выкупить у Карабаса-Барабаса его театр за 130 золотых?

772. Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба. Он ответил: “Хвост весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище столько, сколько голова и хвост”. Сколько фунтов весила рыба?
Выберите ответ: (A) 36 фунтов; (B) 32 фунта; (C) 20 фунтов; (D)18 фунтов.

773.Сколько нужно взять произвольным образом последовательных натуральных чисел, чтобы их произведение обязательно делилось на 120 ?

774.Весы пришли в равновесие, когда на одну чашку поставили гири по 2 кг, а на другую – по 5 кг, всего 14 гирь. Сколько двухкилограммовых гирь поставили на весы?

775. Средний возраст 11 футболистов команды 22 года. Во время игры 1 из игроков получил повреждение и ушел с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

776.У трех сестер – Юли, Тони и Веры – 2 платка синего цвета и один – розового. Какого цвета платок у каждой из них, если у Юли и Тони платки разного цвета, у Веры и Юли – тоже?

777.Чему равна самая большая сумма цифр суммы цифр трехзначного числа?

778.От двух пристаней, расстояние между которыми по реке равно 72 км, одновременно вышли навстречу друг другу два катера. Скорость каждого катера в стоячей воде 18 км/ч. Через сколько часов встретятся эти катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

779.Окрашенный кубик с ребром 6 см  распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?

780.У троих братьев оказалось вместе 9 карандашей. У младшего на 1 карандаш меньше, а у старшего на 1 карандаш больше, чем у среднего брата. Сколько карандашей у каждого из братьев?

781.В фирме «Задачи дня» было три Начальника. Из кабинета Первого Начальника в кабинет Второго ведет 6 коридоров, а из кабинета Второго Начальника в кабинет Третьего Начальника — 4 коридора. Потом в фирме «Задачи дня» назначили еще Четвертого Начальника, из его кабинета в кабинет Третьего Начальника ведет 5 коридоров. Сколькими способами может Первый Начальник дойти до Четвертого начальника?

781а. В фирме «Задачи дня» есть три Начальника. Из кабинета Первого Начальника в кабинет Второго ведет 6 коридоров, а из кабинета Второго Начальника в кабинет Третьего Начальника — 4 коридора. Сколькими способами Первый Начальник может пройти в кабинет Третьего Начальника?

Решение. Есть 6 способов дойти от кабинета Первого Начальника до кабинета Второго Начальника. Для каждого из этих способов есть еще по 4 способа дойти от кабинета Второго Начальника до кабинета Третьего Начальника. Значит, способов дойти от кабинета Первого Начальника до кабинета Второго Начальника 4·6=24.Ответ: 24.

782. За книгу заплатили когда-то 1 рубль и еще половину стоимости книги. Сколько стоила книга? Ответ: 2 руб.

783. Решите ребус НЕ^П = ТУН. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.

784. Дробь (К· А· Р ·Л · С · О · Н)/(В ·А· Р· Е ·Н·Ь ·Е)равна целому числу, разные буквы обозначают разные цифры, а между ними стоят знаки умножения. Чему равна дробь? 

785. В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100. На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду. Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду. Сколько всего черепашек было в команде рептилий?

786.Алеша, Боря, Вася и Гена – лучшие математики класса. На школьную олимпиаду нужно выставить команду из трех человек. Сколькими способами можно это сделать?

787.У 28 человек  класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было - 24, пап -18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа и мама?

788.В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, а 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

789.Применяя знаки арифметических действий и скобки, запишите семью семерками 700.

790. Страницы книги пронумерованы подряд с первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти вырванных страниц. У него получилось число 2010. Когда об этом узнал отличник Коля, то он заявил, что при счете Вася ошибся. Объясните, почему Коля прав. 

791.Какое из данных понятий – отрезок, прямая, треугольник, луч, угол – лишнее  и  почему?  

792.Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

793.Костин дедушка очень любит давать ему задачи на числа. Вот одна из его задач: «Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на каком месте надо дописать, чтобы полученное число делилось на 36»?

794.Число называется перевертышем, если оно не меняется, когда его цифры переставляют в обратном порядке. Может ли сумма двух трехзначных перевертышей быть четырехзначным перевертышем?

795. Коле Гераскину – 12 лет, а профессору Селезнёву – 42. Через сколько лет Коля будет вдвое младше профессора?  

796.Два брата близнеца похожи друг на друга как две капли воды. Один из них всегда лжет, а второй всегда говорит правду. Одного из них зовут Боря.  С помощью одного вопроса, состоящего из двух слов, на который можно ответить только «да» или «нет», определите, кто из них Боря? 

797.Проведите прямую и отметьте на ней 9 точек. Сколько отрезков получилось на прямой? 

798.Один из попугаев всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий – хитрец – иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос  «Кто Кеша?»  они ответили  следующим образом. Гоша: «Лжец». Кеша: «Я хитрец!»  Рома: «Абсолютно честный попугай». Кто Кеша?  

799.Вычислите: 2010-2009+2008-2007+2006-2005+ … -3+2-1.

800.Разместите семь полных бочек, семь бочек, наполненных наполовину, и семь пустых бочек на трех грузовиках, чтобы на каждом грузовике было семь бочек, а на всех грузовиках был одинаковый по массе груз.

801.Как изменится дробь, если числитель ее увеличить на знаменатель? 

802. —Умеешь ли ты делить? — спросила Черная королева.

— Разумеется! — ответила Алиса.

— Это мы еще посмотрим. Предположим, тебе надо разделить одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать на три. Что выйдет у тебя в остатке? Помогите Алисе. 

803.Возьмем самое маленькое число, которое делится на 2 и на 3, и самое маленькое число, которое делится на 2, 3 и 4. Чему равна их сумма? 

804. Из набора чисел 1, 2, …, 17 вычеркнуты все четные числа, а также все такие числа х, что 17-х делится на 3. Сколько чисел осталось? 

805. Сколько различных результатов можно получить, складывая по два различных числа из набора 1, 2, 3, 4 и 5? 

806.Как-то в воскресенье, в 9 часов 30 минут утра, Аня присела поиграть в компьютерную игру, но заигралась, и мама прогнала ее от компьютера только днем, в 3 часа 15 минут. В следующее воскресенье ее брат Ваня ухитрился просидеть за компьютером еще на 1 час 50 минут дольше. Сколько времени провел у компьютера Ваня?

807.На заседании присутствуют 29 академиков, 12 из них имеют бороду, а 18 — усы. У трех академиков нет ни бороды, ни усов. Сколько академиков имеют и бороду, и усы? 

808.Лиза выбрала двузначное число, не делящееся на 10, поменяла его цифры местами и вычислила разность полученных чисел. Какое самое большое число она могла получить? 

809.Назовем старшим делителем числа самый большой из его делителей, не равный самому числу, а младшим делителем назовем самый маленький дели-тель, не равный 1. Например, у числа 12 старший делитель равен 6, а млад-ший — 2. Сколько существует чисел, у которых старший делитель в 15 раз больше младшего? 

810.Сколько произведений, кратных десяти, можно образовать из чисел 2, 3, 5, 5, 7, 9? 

811.Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, нужно сложить, чтобы получить трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами? 

812.Найдите 8 последовательных натуральных чисел, сумма первых пяти из которых равна сумме остальных трех.

813.Семеро кроликов из живого уголка любят капусту, шестеро — морковь, пятеро — горох. Четверо любят капусту и морковь, трое — капусту и горох, двое — морковь и горох. А один охотно ест все. Сколько кроликов в живом уголке? 

814.Квадрат 4×4 разбит на клетки 1×1. Какое наибольшее число клеток может разрезать прямая, пересекающая этот квадрат? 

815. Вдоль прямолинейного шоссе поставили 1000 столбов освещения. В первый вечер включили все лампы, во второй вечер в целях экономии включили лампы только на каждом втором столбе, на третий — на каждом третьем, …, на седьмой — на каждом седьмом. На скольких столбах лампы горели все семь раз? 

816.На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы остальных ее чисел? 

817.Дрожжевые грибки при благоприятных условиях размножаются с большой скоростью, увеличиваясь в объеме вдвое за одну минуту. Потомство одного грибка заполняет колбу за 30 минут. За какое время колбу заполнит потомство двух грибков? 

818.Маша пробежала 1 км со средней скоростью 4 м/с. С какой средней скоростью пробежал эту дистанцию Вася, если, стартовав на 25 секунд позже Маши, он финишировал на 25 секунд раньше? 

819.В оранжерее были срезаны гвоздики: 400 белых и розовых, 300 розовых и красных, 440 белых и красных. Сколько красных гвоздик было срезано в оранжерее? 

820.15 одинаковых шариков можно сложить в виде треугольника, но нельзя сложить в виде квадрата: одного шарика не хватает. Из какого наименьшего количества шариков n>1 можно сложить и треугольник, и квадрат? 

821.Поезд проехал мимо семафора за 20 секунд, а мимо перрона длиной 200 метров за 1 минуту, двигаясь вдвое медленнее. Какова длина состава?

822. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 – река, а на 13 и то, и другое. На остальных картинах – не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что?

823.В левом нижнем углу доски  стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают фишку на одну из соседних по стороне клеток. Проигрывает тот игрок, после хода которого фишка попадает в клетку, в которой она уже побывала. Кто выигрывает при правильной игре?

824.В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую – опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-го этажа на 8-й?

825. Три ученика – Коля, Дима и Женя – участвовали в городской математической олимпиаде и получили одну первую, одну вторую и одну третью премии. Но им не сообщили, кто какую премию получил. Позже Яна сказала, что Дима получил не первую, Коля – не вторую, Женя получил вторую премию. Потом оказалось, что из этих трех высказываний верным было только одно, а два ложны. Какую премию получил каждый ученик?

826. Два шпиона одновременно поползли навстречу друг другу из объектов, расстояние между которыми равно10 км. Первый ползет со скоростью 3 км/час, а второй со скоростью 2км/час. Комар начал летать одновременно со шпионами. Сначала он сидел на первом шпионе, затем полетел и укусил второго. Потом он тут же полетел к первому, укусил его и т.д. Сколько пролетит комар до встречи шпионов, если его скорость 4км/час?

827.Вычислите (20142014 – 2014) : 2014.

828.Разбейте {1, 3, 9, 27, 61, 81} на две группы, чтобы сумма чисел одной группы была равна сумме чисел другой.

829.Шапокляк в 5 раз тяжелее Чебурашки и на30 кг легче Гены. Сколько весит Чебурашка, если они все трое вместе весят140 килограммов?

830.Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых выставляет испытуемому средний балл. Ответив на последний тест, Джон понял, что если бы за этот тест он получил 97 очков, то его средний балл равнялся бы 90. Но он получил 73 очка, и теперь его средний балл – 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

831.Аня и Таня весят вместе40 кг, Таня и Маня –50 кг, Маня и Ваня –90 кг, Ваня и Даня –100 кг, Даня и Аня –60 кг. Сколько весит Аня?

832.Выпишите числа от 1 до 7 в ряд в таком порядке, чтобы любые два соседних числа отличались на 3 или на 5.

833.Во время игры в шахматы у Ёжика в какой-то момент оказалось на доске в два раза меньше фигур, чем у Медвежонка, при этом их было в пять раз меньше, чем свободных клеток на доске. Сколько фигур Ёжика было съедено к этому моменту? (Напомним, что размер доски 8 × 8 и в начале игры у каждого по 16 фигур.)

834.Представьте 2014 в виде произведения трёх натуральных чисел, больших 1.

835. На острове Контрастов живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове четное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечетное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечетным?

836.В выражении 6 : 1 – 5 : 7 поставьте скобки так, чтобы значение выражения стало равно целому числу.

837.Одно из чисел в два раза больше другого, а их наименьшее общее кратное равно 80. Найдите эти числа.

838В одной фирме каждый служащий является либо демократом, либо республиканцем. После того, как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?

839. В месяце три воскресенья выпадают на четные числа. На какой день недели выпадает 5-е число месяца? 

840.В семье пять голов и четырнадцать ног. Сколько из них людей, а сколько – собак? 

841.Придумайте число, которое оканчивается на 17, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17? 

842.Торговец купил некий товар за 7 долларов, продал его за 8, потом вновь купил товар за 9 долларов и продал за 10. Какую прибыль он получил? Выберите ответ: 1) 2; 2) 3; 3)1; 4) 4.

843. Следующие три высказывания истинны:

(1) В море вышел корабль B или C, но не оба вместе;

(2) В море вышел корабль A или C, но не оба вместе;

(3) В море вышел хотя бы один из кораблей A и B.

Какие корабли вышли в море? 

844.Некто забрел в сад, в котором три калитки и решил пройти через них, не пропустив ни одной. У каждой калитки стоит человек. Набрав некоторое число яблок, человеку, стоявшему у первой калитки, он отдал половину имевшихся яблок и ещё пол-яблока. Человек у второй калитки он отдал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. И половину от оставшихся и пол-яблока он отдал человеку у третьей калитки. При этом он не разрезал ни одного яблока. Какое минимальное число яблок для этого понадобится? 

845. Суммарный объём четырёх бочек составляет 100 л, причём первая и вторая в сумме вмещают 41 л, а вторая вмещает столько же, сколько и третья. На сколько литров объём четвёртой бочки больше первой?

846.  Сколько у мышки деток, если двое по веточке ползут, трое зернышки грызут. Отважный плавает в воде. Самый маленький в гнезде. Двое водой обливаются. Трое умываются. Мать еще троих зовет. Пятерых успокаивает, шестерых охраняет. С четырьмя в прятки играет, никогда не унывает. Сколько маленьких потех, сколько у мышки деток всех? Выберите ответ: 1) 35; 2) 25;  3) 28;  4) 30.

847.Сумма трех последовательных положительных чисел равна 99. Чему равно произведение цифр первого числа? Выберите ответ: 1) 8;  2) 9;  3) 12;  4) 6. 

848.На столе лежат пятиугольники и шестиугольники. Всего у них 37 вершин. Сколько пятиугольников на столе? Выберите ответ: 1) 1; 2) 5; 3) 3; 4) 4.

849.В двузначном числе 5 десятков. Между цифрами этого числа вписали 0. На сколько полученное трехзначное число больше первоначального двухзначного? Выберите ответ: 1) 50; 2) 400;  3) 550;  4) 450.

850. Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Известно, что расстояние между точками A и Bравно 100 см, между A и C – 12 см, между B и D – 35 см, а между D и C – 123 см. Найдите расстояние между точками B и C. Выберите ответ: 1) 135 см; 2) 75 см; 3) 88 см; 4) 112 см.

851.У нескольких ребят было поровну яблок. Если бы ребят было на два меньше, то каждому досталось бы на одно яблоко больше. А если бы ребят было на три меньше, то каждому досталось бы на два яблока больше. Сколько было ребят? Выберите ответ: 1) 13;  2) 12;  3) 10;  4) 6.

852. Мышь, мышонок и сыр в мышеловке вместе весят 180 г. Мышь весит на 100 г больше, чем мышонок и сыр, вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит сыр и Мышь? Выберите ответ: 1) 140 г и 10г; 2) 160 г и 20 г; 3) 120 г и 40 г; 4) 110 г и 40 г. 

853.Герой Носова «Незнайка в Солнечном городе» Пачкуля Пестренький придерживался твердого принципа: «Никогда не умываться и ничему не удивляться». Если он отступит от своего принципа, то что он будет делать обязательно? Выберите ответ: 1) Станет удивляться всему подряд;  2) Будет каждый день умываться;  3) Хоть раз умоется или чему-то удивится;  4) Каждый день будет умываться или удивляться.

854.Через реку шириной 120 метров построен мост. Одна четверть длины моста расположена над левым берегом, одна четверть – над правым берегом. Чему равна длина моста?

855. В школе танцев сначала занималось 60 мальчиков и 20 девочек. Каждую неделю в школу приходит три новых девочки, а два мальчика бросают занятия. Сколько учеников будет в этой школе, когда число мальчиков и девочек сравняется?

856. Установите закономерность и продолжите числовой ряд: 1,  2 ,  3,   5,   8,   13,   21,   …,   …,   … .

857.Три велосипедиста начали движение с общего старта по круговой дорожке. Первый делает полный круг за 21 мин, второй – за 35 мин, а третий – за 15 мин. Через сколько минут они ещё раз окажутся вместе в начальном пункте?

858. Расстояние между домами в Цветочном городке 3 км. Незнайка проходит это расстояние за полчаса, а поэт Цветик за 1 час. Однажды они договорились встретиться. Незнайка и Цветик одновременно вышли из своих домиков. Через какое время они встретятся?

859.Пес Шарик учил зайцев фотографировать. В течение недели каждый заяц один раз фотографировал других зайцев и Шарика (возможно, и себя). В конце недели оказалось, что у каждого из зайцев по 2 фотоснимка, а у Шарика – сто фотографий. Сколько зайцев в лесу?

860.Мальвина задала Буратино решить задачу: "Если к некоторому двузначному числу приписать справа цифру 0, то это число увеличится на 252. Найди это двузначное число". Помогите Буратино! Выберите ответ: 1) 28, 2) 22, 3) 30, 4) 26.

861. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 500 руб. а на 15 тетрадей у него не хватит 700 руб. Сколько денег было у школьника? 

862. Один странный мальчик по средам и четвергам говорит только правду, по понедельникам всегда лжет, а в остальные дни недели может и соврать, и сказать правду. Шесть дней подряд его спрашивали, как его зовут, и получили такие ответы: Джон, Боб, Джон, Боб, Пит, Боб. Как он ответит на этот вопрос на следующий день?

863. «Идет направо — песнь заводит, налево — сказку говорит». Чтобы рассказать сказку, ученому Коту требуется 10 минут, а чтобы спеть песню — 5 минут. Песни со сказками кот строго чередует. Без пяти минут десять часов утра Кот начал рассказывать сказку. Куда будет идти Кот в полдень?

863а. «Идет направо — песнь заводит, налево — сказку говорит». Чтобы рассказать сказку, ученому Коту требуется 5 минут, а чтобы спеть песню — 4 минуты. Песни со сказками кот строго чередует. В десять часов утра Кот начал рассказывать сказку. Куда будет идти Кот в полдень?

Решение. Чтобы рассказать сказку и спеть песню ученому Коту требуется 4 + 5 = 9 мин. За 2 часа с 10 утра до полудня пройдет 120 мин. 120 = 9 · 13 + 3. Значит, за это время Кот успеет спеть 13 песен, рассказать 13 сказок, и у него останется 3 мин на то, чтобы начать (но не успеть кончить), рассказывать сказку. А это значит, что в полдень Кот будет идти налево.

Ответ: налево.

864.Все считали, что Дракон был однооким, двуухим, треххвостым, четырехлапым и пятииглым. На самом деле, только четыре из этих определений выстраиваются в определенную закономерность, а одно — лишнее. Какое?

865. Карл у Клары украл несколько кораллов и она подала на него в суд. По решению суда Карл должен был вернуть все украденные кораллы, а в качестве компенсации – еще треть от числа украденных. Тогда общее количество кораллов у Клары возросло бы на 1/7. Но раскаявшийся Карл, кроме этого, подарил Кларе дополнительно 8 кораллов, и общее количество кораллов у Клары возросло на 1/5. Сколько кораллов было украдено?

866.Найдите среднее значение следующего набора данных: 70, 88, 97, 99, 100, 101, 103, 110, 112, 130. 

867.Леопольд делал подарки для мышей на новый год. Печенье «Сырные шарики» продаются по 12 штук в коробке, а конфеты «Белочка» – по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет и печенья необходимо купить Леопольду, чтобы тех и других в подарке было поровну?

868.Карлсон на день рождения Малышу купил книгу. Книга в переплете стоит 64 рубля. Сколько стоит переплет книги, если известно, что сама книга дороже ее переплета на 60 рублей?

869.У Саши трое брюк, 3 рубашки и 3 пары ботинок.  Сколько различных наборов одежды он может надеть?

870. Придумайте три правильные несократимые дроби с равными натуральными числителями, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей «перевернуть» (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.

870а. Придумайте три правильные несократимые дроби с неравными натуральными числителями, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей «перевернуть» (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.

Ответ: например, 2/11, 3/11, 6/11.

871.В записи натурального числа используются ровно 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек. Может ли данное число быть получено умножением некоторого числа на само себя?

872.Ровно 2/3 класса любят стихи Лермонтова, а ¾ класса стихи Пушкина. При этом в классе нет учеников, которые не любят стихи ни того, ни другого поэта. Какая часть класса любит стихи сразу двух поэтом?

873.Никита придумал такую игру: он берет у дедушки большой кусок фанеры и раскрашивает его так, что у него получается шахматная доска из 5 строчек и 5 столбцов. Потом он берет кости домино и пытается покрыть ими полученную доску так, чтобы все клеточки были закрыты, не было наложений и никакие доминошки не торчали за края доски (каждая доминошка покрывает ровно две соседние клеточки). Помогите Никите понять, сможет ли он это сделать.

874.В харчевне «Три пескаря» пекут пирожки и продают их на рынке. В первый день продали 100 пирожков по цене 1 рубль за один пирожок. На следующий день снизили цену на 10 % и продали 110 пирожков. В какой день хозяин харчевни заработал больше и на сколько?

875. Хорошо известно, что баба Яга летает на метле со скоростью 10,4 км/ч. Иногда баба Яга летит по ветру и ей кажется, что она быстрее летит. А как против ветра, то медленнее. Сколько пролетит Яга за 1,5 часа по ветру и против него, если скорость ветра 1,2 км/ч.

876.Восстановите пример *71·* = 20*3. Вместо знака звездочки * может стоять любая цифра. Укажите все возможные варианты.

877.Несколько мальчиков и одна девочка стоят в хороводе. Петя стоит от Маши третьим, если считать по часовой стрелке, и восьмым, если считать против часовой стрелки. Сколько мальчиков стоит в хороводе?

878.Знакомая Гарри Поттера фея Динь-Динь была такая маленькая, что ее могло заполнять только одно чувство: или доброе, или злое. Сейчас она была полна злости и ее масса составляла 16 унций. Если же из феи вытряхнуть половину злости, то ее масса будет 13 унций. Какова масса самой феи?

879.Докажите, что из любых трех натуральных чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.

880.Однажды Гарри Поттер с друзьями полетели на метлах посмотреть белый свет. В первый день полета они были в пути 6 часов, а во второй – 8 часов, двигаясь с одинаковой скоростью. Сколько километров они пролетели за два дня, если во второй день их путь был на 18 км длиннее?

881.Треть персика весит столько же, сколько весят две с половиной сливы, а половина сливы весит столько же, сколько весят три вишни. Сколько нужно взять вишен, чтобы уравновесить пять персиков?

882.Убегая от злого волшебника, Гарри Поттер  обежал по дорожке дом с квадратным основанием, площадью 81 м. Какой путь проделал Гарри, если дорожка находилась на расстоянии 2 метра от стен дома?

883.В своем доме в Шушенском Надежда Константиновна расставляет по комнатам зеленые лампы. В гостиной она поставила в два раза больше ламп, чем в библиотеке, а в кабинете – в четыре раза больше ламп, чем в гостиной. Всего Надежда Константиновна расставила 22 лампы. Сколько ламп она поставила в кабинете?

884. Килограмм говядины с костями стоит 78 руб., килограмм говядины без костей – 90 руб., а килограмм костей – 15 руб. Сколько граммов костей в килограмме говядины?

885. Известно, что вруны всегда врут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Перед вами трое человек – врун, правдивый и хитрец, которые знают, кто из них кто. Вы можете задать два одинаковых вопроса каждому из них. На вопросы должны быть ответы “да” или “нет” (например: “Верно ли, что этот человек – хитрец?”). Придумайте вопросы, с помощью которых можно определить кто врун, кто правдивый, а кто хитрец.

886.Электронные часы показывают время 19:57:33. Через какое наименьшее число секунд все цифры на часах изменятся?

887.Задуманное число увеличили в 3 раза, а затем уменьшили на 12. В результате получилось число на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?

888.Миша ходит в бассейн один раз в три дня, Вася – в 4 дня, а Коля – в 5 дней. Они встретились в бассейне в понедельник. В какой день недели они встретятся снова?

889.При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен 2/7 суммы остальных углов. Найдите величину каждого из этих углов.

890.В двух кучах лежат камни. Люся и Леня по очереди берут из любой кучи произвольное число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Леня разрешает Люсе выбрать: играть ей первой или второй. Как играть Люсе, чтобы наверняка выиграть? 

891.На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?

892.Люся берет некоторое трехзначное число приписывает к нему такое же число. Получается шестизначное число. Потом Люся делит получившееся число на 7, результат делит на 11, новое число делит на 13. И у Люси получается то трехзначное число, с которого она начала. Леня говорит, что так будет для любого трехзначного числа. Прав ли Леня?

893.Имеется 30 бревен, длины 3 и4 метра, суммарная длина которых равна100 метров. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длины1 метр? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно).

894. Найдите два неравных числа а и b таких, что a+b=a·b.

895. В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.

896.Что больше половина половины 20 или четверть четверти 80 ?

897.  Представьте число 2012 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы все цифры в записи этих слагаемых были различны. 

898.  Винни-Пух съедает в будний день по 1 кг меда, в субботу – по 2 кг, в воскресенье – по 5 кг. В новогоднюю ночь Винни-Пух с интересом обнаружил, что за год им съедено 629 кг любимого продукта. Рассвет какого дня недели сменит новогоднюю ночь? 

899.  В один ряд встали лжецы (которые всегда лгут) и рыцари (которые всегда говорят правду), после чего они рассчитались по порядку номеров (1, 2, 3 и т.д.). Каждый из стоящих сказал: «Количество лжецов, стоящих ДО меня, является делителем моего номера». Сколько лжецов в строю? 

900.  Велосипедисты Петров и Васечкин одновременно выехали из Ёлкино в Палкино и ехали по одному и тому же маршруту с постоянными скоростями. Когда Петрову оставалось до Палкино столько же, сколько он уже проехал, Васечкину оставалось до Палкино вдвое больше, чем он уже проехал. Во сколько раз Петров едет быстрее Васечкина? 

901.  У Шурика, Эрика, Юрика и Ярика спросили, кто из них самый младший. Шурик сказал: «Уж точно не я». Эрик подхватил: «И не я!» Юрик сказал, что младший Эрик, а Ярик указал на Юрика. Только один из них сказал правду. Кто же самый младший? 

902.На какое максимальное число кусков можно разделить круглый торт при помощи четырёх прямолинейных разрезов? А если разрезов пять? (Подразумевается, что торт плоский).

903. Компьютер умножает число на 2, затем из этого результата вычитает число К, затем умножает результат на 2 и снова вычитает К и так далее. Каждую операцию (умножение и вычитание) он выполняет 2013 раз. Придумайте число, которое в результате описанной работы на компьютере, не изменится.

904.Два товарища выписывают 2012-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Может ли, товарищ, который ходит вторым, добиться того, чтобы полученное число делилось на 9? Объясните ответ.

905. Мумми-тролль прикинул, что он может выложить пол квадратной комнаты, квадратной плиткой, и ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала он положил плитки по краям комнаты, и на это у него ушло 84 плитки. Сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол? 

906.Два товарища собрали вместе 72 груши. После того как один из них подарил другому 15 груш, то груш у них стало поровну. Сколько груш собрал каждый из товарищей?

907.В строку выписаны пять последовательных натуральных чисел. Возможно ли, что сумма цифр первого числа равна 52, а пятого – 20? 

908.Вдоль прямой дороги живут пятеро друзей : Алик, Боря, Вася, Гриша и Дима, дома которых стоят в алфавитном порядке. Боря посчитал сумму расстояний от своего дома до домов четырех своих друзей и получил 20 км. Вася же вычислил, что сумма расстояний от его дома до домов его четырех друзей равна 18 км. На каком расстоянии от Бори живет Вася? 

909.В 1001 году на багдадском базаре ковер-самолет стоил 1 динар, а в 1100 году такой же ковер-самолет стоил 152 динара. Известно, что каждый год, кроме одного, он дорожал на 1 динар, а в один год он подорожал в 2 раза. В каком году произошло такое большое подорожание? 

910.На гранях кубика написаны шесть различных чисел, не равных нулю. Число 8 делится на число, записанное на левой грани, а суммы чисел на каждой паре противоположных граней равны. Какие числа написаны на невидимых гранях (левой, нижней и задней)? 

911.У Миши есть прямоугольник 4×100 клеточек. Даша закрашивает в нем клеточки в каком-то порядке. Но Миша запретил ей закрашивать клеточку, двумя или более сторонами примыкающую к уже закрашенным клеточкам. Какое наибольшее количество клеточек Даша сможет закрасить? 

912.Последовательность начинается числами 2 и 3. Каждый следующий член последовательности определяется как последняя цифра произведения двух предыдущих. Какое число стоит на 2012-м месте? 

913.За круглым столом сидит 11 человек — лжецов и рыцарей (рыцарь всегда говорит правду, а лжец — всегда лжет). Каждому из них раздали по две карточки. Известно, что карточки только синие и красные. Каждый сказал: «У меня одноцветные карточки». Затем каждый передал одну из своих карточек соседу справа. Мог ли после этого каждый сказать: «У меня разноцветные карточки»? 

914.В ребусе ПРОСТОКВАША+КОСТОПРАВША заменили буквы цифрами (одинаковые — одинаковыми, разные — разными) так, что получилась наибольшая из возможных сумм. Какой цифрой заменили букву В? Ответ постарайтесь объяснить. 

915. Миша и Соня добирались из деревни Глухоманька в город Новостройск – частью пешком, частью на телеге, которая идет втрое быстрее пешего ребенка. Миша ровно полпути прошел пешком, а Соня проехала на телеге половину того времени, которое Миша затратил на дорогу. Какую часть пути Соня проехала на телеге? 

916.  Когда у Васи спросили, сколько ему лет, он сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше брата Алеши». А маленький Алеша моложе папы на 40 лет. Сколько лет Васе? 

916а. Когда у Васи спросили, сколько ему лет, он сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше брата Алеши». А его родная сестра Аня сказала, что она вдвое моложе папы, зато вдвое старше своей сестры Кати. Известно, что папе не больше 60 лет. А сколько ему лет?

Решение. Из высказывания Васи следует, что возраст папы делится на 9, а из высказываний Ани следует, что он делится на 4. Следовательно, он делится на 36. Единственное число, которое меньше 60 и делится на 36, это само число 36. Ответ: 36 лет.

917. Найдите какое-нибудь целое положительное число, которое само делится на 2011, и сумма его цифр делится на 2011. 

918.  В школе прошел забег с участием 5 спортсменов. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 5. При этом один соврал, а остальные сказали правду. Сумма их ответов оказалась равна 11. Какое место занял совравший спортсмен и что именно он сказал? Приведите все примеры и докажите, что других нет. 

918а. В школе прошел забег с участием 10 спортсменов. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 10. При этом один соврал, а остальные сказали правду. Сумма их ответов оказалась равна 47. Какое место занял совравший спортсмен и что именно он сказал? Приведите все примеры и докажите, что других нет.

Решение. Если бы никто не врал, то в сумме получилось бы число 1+2+3+4+5+…+10 = 55. А получилось число, которое на 8 меньше, то есть один назвал номер места, на 8 выше. Это могли сделать только спортсмены, занявшие 9 или 10 места, назвав первое или второе место соответственно. 

Ответ: спортсмен, занявший 10 место, сказал, что занял второе, или спортсмен, занявший 9 место, сказал, что занял первое.

919.Первоклассница Катя умеет только умножать числа на 2, а её младшая сестрёнка Оля может лишь поменять цифры в числе местами (ставить 0 на первое место нельзя). Могут ли они сообща получить из числа 3 число 2011? 

920. По кругу стоят 12 фонарей (первый, второй и т.д.). Расстояние между соседними один шаг. Вначале все фонари потушены. Садовник их включает: вначале первый, второй, третий, затем пятый: если два последних включенных имели номера a и b, то за ними он включает номер (a+b). При этом, например, №14 − это №2. На каком шаге садовник включит все фонари?

921.Квадрат 5×5 покрывают полосками 1×2 так, что каждая клетка полоски  покрывает клетку квадрата. Можно ли положить несколько полосок так, чтобы каждая клетка квадрата была накрыта ровно 5 раз?

922.Истекшая часть суток равна ровно четверти от той части суток, которая пройдет через 8 часов. Который сейчас час?

923.Что больше: сумма всех десятизначных чисел, кратных 11, или сумма всех одиннадцатизначных чисел, кратных 10?

924.Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых встречается сочетание цифр 2010 (в том же порядке друг за другом без пропусков)?

925. Какое наименьшее положительное значение может принять разность двух правильных обыкновенных дробей, если знаменатель одной —8, а другой – 13?

926. Ира, Аня, Катя, Оля и Эля живут в одном доме: две девочки на первом этаже и три на втором. Оля живёт не на том этаже, где Катя и Эля. Аня - не на том этаже, где Ира и Катя. Кто живёт на первом этаже? А) Катя и Эля; Б) Ира и Эля; В) Ира и Оля; Г) Ира и Катя; Д) Аня и Оля.

927. Можно ли подставить в равенство вместо букв цифры так, чтобы оно стало верным: К · О · Т + П · Ё · С = М · И · Р (разным буквам соответствуют разные цифры)?

928. В компании из пяти человек есть вруны, которые всегда говорят неправду, и честные, которые всегда говорят правду. Каждого из них спросили: "Сколько врунов в вашей компании?", на что были получены ответы: "один", "два", "три", "четыре" и "пять". Сколько на самом деле врунов в этой компании? А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) 5.

929. Известно, что “микс” 36 равен 18, “микс” 325 – 30, “микс” 45 – 20, “микс” 30 равен 0. Найдите “микс” 531. А) 10; Б) 15; В) 16; Г) 21; Д) 22.

930. Котик-Муркотик и Лисичка-Сестричка ловили рыбу. К ним подбежал голодный Волчик-Братик и спросил, много ли рыбы они поймали? Лисичка хитро ответила: у нас двоих рыб на 7 больше, чем у меня одной, а у одного из нас на 17 рыб меньше, чем у другого. Сколько рыбы словили вместе Котик-Муркотик и Лисичка-Сестричка? А) 10; Б) 17; В) 22; Г) 27; Д) 31.

931. В коробке лежат 7 карточек с написанными на них числами от 1 до 7 (по одному числу на карточке). Первый мудрец наугад берёт три карточки из коробки, а второй – две (ещё две карточки остаются в коробке). Первый мудрец, глядя на свои карточки, говорит второму: «Я точно знаю, что сумма чисел  на твоих карточках чётная». Сумма чисел, записанных на карточках первого мудреца,  равняется: А) 6; Б) 9; В) 10; Г) 12; Д) 15.

932. На счётчике пробега моей машины сейчас показано число 187369 (км). В этом числе все цифры различны. Какое наименьшее количество километров нужно проехать, чтобы на счётчике опять появилось число, у которого все цифры различны? А) 1; Б) 21; В) 431; Г) 12431; Д) 13776.

933. Если мы умножим число 12345679 на 9, то получим число 111111111. Если мы умножим его на 18, то получим результат, который содержит только цифры 2. Если мы умножим это число на 27, то получим число, которое записывается только при помощи цифры 3. На какое число нужно умножить число 12345679, чтобы получить число из одних семёрок?
А) 43; Б) 53; В) 63; Г) 73; Д) 83.

934. Среднее арифметическое десяти различных положительных целых чисел равняется 10. Чему может равняться наибольшее среди этих чисел?
А) 10; Б) 45; В) 50; Г) 55; Д) 91.

935. В селе Кенгуровка есть две улицы: Яблочная и Грушёвая. Половина всех домов села расположены на Яблочной улице, а четверть – на Грушёвой. У каждого дома четыре окна: два белых, синее и красное. Каких окон больше: красных на Яблочной или белых на Грушёвой?
А) одинаково; Б) красных вдвое больше, чем белых; В) белых вдвое больше, чем красных; Г) невозможно определить; Д) ответ зависит от количества синих окон.

936. Марк загадал трёхзначное и двузначное числа, разность которых равна 989. Тогда сумма этих чисел равна: А) 1000;Б) 1001; В)1009; Г) 1010; Д) 2005.

937. С полудня до полуночи Ученый Кот спит под дубом, а с полуночи до полудня он рассказывает сказки. Табличка на дубе говорит: «Два часа назад Учёный Кот делал то же, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки табличка говорит правду? А) 3; Б) 6; В) 12; Г) 18; Д) 21.

938. Мама попросила маленького Ваню рассортировать парами его носки после стирки. Но он бросил носки в комод, не сортируя. Там было 5 пар чёрных, 10 пар коричневых и 15 пар серых носков. Ваня собирается пойти в поход на 7 дней. Какое минимальное количество носков ему нужно вытащить из комода, чтобы среди них наверняка оказались 7 пар одного цвета? 

939. Серёжа подбрасывал игральный кубик четыре раза и каждый раз записывал полученное число очков. Сложив эти числа, он получил 21 очко. Какое наибольшее количество раз могла выпадать тройка?А) 0;Б)1;В)2;Г)3;Д) 4.

940. Маша коллекционирует фотографии известных спортсменов. Количество фотографий, которые она собирает за каждый год равно количеству фото, собранных за два предыдущих года. В 2008 году она собрала 60 фотографий, а в 2009году – 96. Сколько фотографий собрала Маша в 2006 году?  А) 20;Б)24;В)36;Г)40;Д) 48.

941. Дано 4 утверждения о натуральном числе А: 1) А делится на 5, 2) А делится на 11, 3) А делится на 55, 4) А меньше 10. Известно, что два из них правильные, а другие два – неправильные. Тогда А равняется: А) 0;Б)5; В) 10; Г) 11; Д) 55.

942. В обувном магазине для животных на 10 полках было по 12 пар обуви. Первыми покупателями были пять многоножек. Первые три из них купили по 30 пар, а две следующие – по 5 пар каждая. Сколько пар обуви осталось в магазине после визита этих покупателей? 

943. Имеются 3 коробки и 3 предмета: монета, игрушечная черепаха и горошина. В каждой коробке есть только один предмет, причём: зелёная коробка находится левее голубой; монета находится левее горошины; красная коробка стоит правее черепахи; горошина правее красной коробки. В какой коробке монета? 

944. В тесте было 30 вопросов. Каждый правильный ответ увеличивает количество набранных баллов на 7, а каждая ошибка или отсутствие ответа уменьшает количество баллов на 12. Саша, выполнив тест, набрал 77 баллов. Сколько вопросов остались без правильного ответа?

945. Числа 1, 2, 3 записаны по кругу. Затем между ними поместили суммы пар соседних чисел. Получили 6 чисел: 1, 3, 2, 5, 3, 4. Эту операцию повторили ещё 4 раза и в результате получили 96 чисел. Чему равна сумма этих 96-ти чисел? 

946. Между числами 2002 ? 2003 ? 2004 ? 2005 ? 2006 вместо каждого знака вопроса можно записать знак + или -. Какое из чисел не может получиться?А) 1988; Б) 2001; В) 2002; Г) 2004; Д) 2006.

947. В соревнованиях по бегу участвовали 28 детей. Количество детей, которые прибежали позже Димы вдвое больше количества детей, которые прибежали раньше Димы. В таком случае Дима прибежал:
А) шестым; Б) седьмым; В) восьмым; Г) девятым; Д) десятым.

948. Рассмотрим число 12321232123212321…, состоящее из 2002 цифр. Тремя последними цифрами этого числа будут:А) 123; Б) 232; В) 321; Г) 212; Д) 321.

949. У Полы и Билла вместе 18 гривен, у Билла и Джона – 12 гривен. У Джона и Марии – 10 гривен. Сколько гривен у Марии и Полы?А) 16; Б) 20; В) 24; Г) 25; Д) 48.

950. В каждом подъезде на каждом этаже 16-этажного дома есть по 4 квартиры. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира № 165?
А) 3 подъезд 9 этаж; Б) 3 подъезд 10 этаж; В) 3 подъезд 12 этаж; Г) 2 подъезд 13 этаж; Д) 3 подъезд 7 этаж.

951. Маленький Мук и королевский скороход соревновались в беге на дорожке длиной 30 км, которая проходила вокруг большого луга. По условиям состязания, выиграет тот, кто обгонит другого, пробежав на один круг больше. Скороход пробегает круг за 10 минут, а Маленький Мук – за 6 минут. Оба стартуют одновременно из одного и того же места. Через сколько минут Маленький Мук победит? А) 5; Б) 10; В) 15; Г) 20; Д) 25.

952. Сколько точек пересечения точно не могут иметь 4 прямые?А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) 5.

953. В футбольном матче победитель получает 3 очка, проигравший – 0, а ничья оценивается одним очком. После 31 матча моя любимая команда имела 64 очка, причём 7 матчей она сыграла вничью. Сколько раз проиграла моя любимая команда? А) 0; Б) 5; В) 19; Г) 21; Д) 24.

954. Чтобы очистить 4 своих аквариума, Ваня поселил в них улиток. Чтобы очистить один аквариум, нужны или 4 большие улитки, или 1 большая и 5 маленьких улиток, или 3 большие и 3 маленькие улитки. У Вани 15 больших улиток. Но в зоомагазине он может обменять одну большую улитку на 2 маленьких. Какое наименьшее количество больших улиток нужно обменять Ване, чтобы почистить все свои аквариумы? А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 5; Д) 6.

955. В финал чемпионата Европы вышли две команды. До соревнований пять болельщиков высказали прогнозы, что в финал выйдут команды: 1) Франции и Голландии; 2) Испании и Италии; 3) Испании и Франции; 4) Англии и Голландии; 5) Голландии и Италии. Один прогноз оказался полностью неверным, а в остальных была правильно названа только одна из команд-финалисток. Какие команды вышли в финал?

956. Петя прибавляет 2, Назар отнимает 1, а Дима удваивает число. Каждый мальчик выполняет своё действие только один раз. В каком порядке им нужно выполнять эти действия, чтобы из 3 получить 9? А) Дима, Петя, Назар;

Б) Петя, Дима, Назар; В) Дима, Назар, Петя; Г) Назар, Дима, Петя; Д) Петя, Назар, Дима.

957. На клумбе расцвели цветы: белый, красный, синий и жёлтый. Пчела Майя подлетает к каждом цветку всего 1 раз. Сначала она летит к красному цветку, а затем – к остальным. Майя не может лететь с жёлтого цветка сразу на белый. Сколькими способами пчела Майя может посетить все 4 цветка? А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4; Д) 6.

958. Секретный агент хочет расшифровать код из шести цифр. Он знает, что сумма цифр на первом, третьем и пятом местах равна сумме цифр на втором, четвёртом и шестом местах. Какой из предложенных вариантов не может быть кодом? А) 81**61; Б) 7*727*; В) 4*4141; Г) 12*9*8; Д) 181*2*.

959. Комплект домино состоит из 28 костяшек, которые образованы всеми возможными комбинациями количеств точек от 0 до 6 включительно. Сколько всего точек в наборе домино? А) 84; Б) 105; В) 126; Г) 147; Д) 168.

960. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра справа больше цифры слева?А) 9; Б) 18; В) 26; Г) 30; Д) 36.

961. Три черепахи – Анди, Банди и Канди – соревнуются в беге на дистанцию 30 м. Они стартовали одновременно. Когда Анди финишировала, Банди осталось до финиша 10 м., а Канди была на 4 м впереди Банди. На каком расстоянии до финиша будет Банди, когда Канди закончит дистанцию?

962.Я еду со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью мне надо ехать, чтобы проезжать 1 км на 1/3 минуты быстрее?

963. Над имеющимся числом разрешается производить два действия: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число действий вы сможете получить из числа 1 число 100?

963а. Над имеющимся числом разрешается производить два действия: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число действий вы сможете получить из единицы триста?

Решение. Задача решается с конца: 1) 300:2 = 150; 2) 150 – 2 = 148; 3) 148:2 = 74; 4) 74 – 2 = 72; 5) 72:2 = 36; 6) 36: 2 = 18; 7) 18 – 2 = 16; 8) 16:2 = 8; 9) 8:2 = 4; 10) 4:2 = 2; 11( 2:2 = 1.

Ответ: за 11 действий.

964. В каждом из рядов а) и б) три числа обладают общим свойством, а одно этим свойством не обладает. а) 25, 49, 121, 145;     б) 14, 35, 39, 42. Укажите, что это за свойство и какое число лишнее.

964а. В каждом из рядов а) и б) три числа обладают общим свойством, а одно этим свойством не обладает. Укажите, что это за свойство и какое число лишнее.

а) 1, 9, 27, 64;    б) 18, 102, 33, 44.

Ответ: а) все числа, кроме 9, являются полными кубами; б) все числа, кроме 44, делятся на 3.

965. Медведь поручил волку сосчитать количество зверей в лесу: медведей, волков, зайцев и выяснить, кого и на сколько больше. После подсчета волк доложил: всего указанных зверей100, волков на 25 больше, чем медведей, зайцев на 30 больше, чем волков. Услышав это, заяц расхохотался и сказал, что этого быть не может. Прав ли он?

966. Маша подарила маме, бабушке, тёте и двум сёстрам по букету цветов. Цветы для сестёр и тёти были одного цвета. Известно, что бабушке она подарила не розы. Какой из этих букетов получила мама?

А) Жёлтые тюльпаны; Б) Розовые розы; В) Красные гвоздики; Г) Жёлтые розы; Д) Жёлтые гвоздики.

967. Есть 5 коробок с карточками с буквами B, R, A, V, O. В первой лежат B, V. Во второй лежат B, A, V, R. В третьей лежат A, B. В четвёртой лежит V. В пятой лежат B, R, A, V, O. Петя вытащил из коробок карточки так, чтобы в каждой коробке осталось по одной карточке и в разных коробках остались карточки с разными буквами. Какая буква останется во второй коробке? А) B; Б) R; В) A; Г) V; Д) O.

968.40 бабушек ехали в одном лифте  и застряли между этажами. Половина бабушек стала молча готовиться к самому худшему. 18 бабушек из другой половины спокойно стояли и надеялись на скорое спасение. Остальные бабушки оказались нервными, начали нажимать на все кнопки подряд и кричать «Помогите!». Сколько нервных бабушек застряло между этажами?

969.Сколько существует нечётных трёхзначных чисел? 

970.Сколько существует трёхзначных чисел с нечётными цифрами? 

970а. Сколько существует трёхзначных чисел с чётными цифрами?

Решение. Первая цифра выбирается 4-я способами (любая ненулевая чётная цифра  - 2, 4, 6, 8), вторая – уже 5-ю способами (0, 2, 4, 6, 8), третья – также 5-ю способами. Всего по правилу произведения в комбинаторике 4×5×5=100 способов выбора, каждый из которых даёт своё число с чётными цифрами.

Ответ: 100.

971.Квадрат какого числа даёт само число? 

972. На дне рождения у Васи каждый мальчик (и Вася тоже!) съел по 4 пирожных и по 3 кекса, а каждая девочка – по одному пирожному и 2 кекса. Оказалось, что число съеденных детьми пирожных равно числу съеденных ими кексов. Кого из гостей на дне рождения у Васи было больше, мальчиков или девочек, и на сколько?

 973.Используя каждую цифру 1, 2, 3, 4, 5 ровно один раз, составьте два натуральных числа так, чтобы их отношение (т. е. частное) принимало наименьшее значение. 

973а. Используя каждую цифру 1, 2, 3, 4, 5 ровно один раз, составьте два натуральных числа так, чтобы их отношение (т. е. частное)  принимало наиболее близкое к 1 значение. 

Решение. Заметим, что отношение большего числа к меньшему всегда будет не меньше 123:54>2, а значит, отличается от 1 более чем на 1. В результате нам надо рассмотреть отношение обратное к 123:54, так как оно будет наибольшим из тех, которые меньше 1. Ответ: 54:123. 

974. Будильник отстает на 3 минуты в час. Сейчас он показывает 11 ч 41 мин. Через сколько минут он покажет 12 ч? Выберите ответ: А) 18,  (В)  19, (С)  20,      (Д)  21, (Е)  22.

974а. Будильник  испорчен: отстает на 4 минуты в час. Известно, что 3 с половиной часа назад он был поставлен правильно. Теперь на верных часах ровно 12. Через сколько минут будильник покажет тоже 12 часов? 

Решение. За 3,5 часа будильник отстал на 14 минут (4 минуты·3,5). Задача, очевидно, заключается в том, чтобы определить, сколько времени пройдет по верным часам, пока по будильнику пройдет 14 минут. Это нетрудно сделать, зная, что 56 минут по будильнику соответствует 60 минутам по верным часам. Составим пропорцию: 56/60=14/х, откуда  х=60·14:56 = 15(мин).

Ответ: через 15 мин.

974б. У Маши дома есть сломанные часы. Каждый час они отстают на 4 минуты. Три с половиной часа назад папа Маши в очередной раз настроил их на верное время. Сейчас точное время 11 часов. Через сколько минут сломанные часы покажут 11 часов?

Ответ: через 15 минут.

975. Первый элемент последовательности равен 2, второй равен 3. каждый элемент, начиная со второго, на 1 меньше произведения предыдущего и следующего элементов. Чему равна сумма первых 2003 элементов этой последовательности? А) 2358; Б) 2989; В) 3241; Г) 3607; Д) 3745.

976.Дата 18 марта 2009 года, записывается как 18.03.2009. А сколько в 2009-м году ещё дат, которые записываются тем же набором цифр? 

977. Маша придумала новую операцию с числами: a × b= 2a + 3b. Чему равно 3 × (4×5)?

978.У натурального числа можно любую нечётную цифру переставлять в конец, а любую чётную цифру переставлять в начало. Найдите наибольшее число, из которого такими перестановками можно получить число 123456789. 

978а. У натурального числа можно любую нечётную цифру переставлять в конец, а любую чётную цифру переставлять в начало. Найдите наименьшее число, из которого такими перестановками можно получить число 987654321.

Ответ: 198765432.

979.Вера разрезала квадратный листок бумаги со стороной 5 см на два прямоугольника. Периметр одного из этих прямоугольников равен 16 см. Чему равен периметр другого?

980.В примере на умножение КЕН × ГА = 7 632 использованы все цифры от 1 до 9, каждая по одному разу. Какую цифру заменяет буква Г?  Выберите ответ: (А) 1, (В) 4, (С) 5, (D) 8, (E) 9.

981.Алеша и Сережа живут в одном доме, на каждом этаже в каждом подъезде которого расположено по 5 квартир. Алеша живет на четвертом этаже в квартире номер 79, а Сережа живет в квартире номер 157 на втором этаже. Сколько этажей в доме? Выберите ответ: (А) 15, (Б) 12,(В) 10,(Г) 6,  (Д) невозможно определить.

982.Две квадратные салфетки 9 см × 9 см лежат на столе так, что получается прямоугольник 9 см × 13 см. Какая площадь покрыта в два слоя?

983.Вася сложил первые 10 чисел, которые записываются одними единицами. Какой цифры нет в полученном числе? (А) 0, (Б) 1, (В) 7, (Г) 8, (Д) 9.

984.Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоем 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе? 

985. Маугли попросил обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали орехов поровну, но по дороге поссорились, и каждая бросила в каждую по ореху. Маугли досталось лишь 33 ореха. Сколько орехов собрала каждая обезьяна, если она принесла больше одного ореха?

986.Сколько всего вершин у четырех кубиков?

987.Мари было дано задание разделить некоторое число на 4. По ошибке вместо деления она выполнила вычитание и в результате получила число 48. А какой результат должен был получиться?

988.Сколько двузначных четных чисел остаются двузначными четными числами после перестановки своих цифр?

989.На острове Чунга-Чанга используются монеты по 6 и по 7 чангов. Какую самую большую сумму нельзя заплатить такими монетами без сдачи? (А) 15 чангов, (Б) 29 чангов, (В) 32 чанга, (Г) 41 чанг, (Д) 43 чанга.

990. В записи *60 + 18* + 2*3 = *5* (лучше записать в столбик) нужно все значки * заменить цифрами 1, 3, 5, 7, 8 так, чтобы получить верное равенство. Использовать каждую цифру можно только один раз. Какое из следующих чисел стоит в правой части этого равенства: (А) 358, (Б) 557, (В) 753, (Г) 758, (Д) 857?

991.Два года назад котам Тоше и Малышу вместе было 15 лет. Сейчас Тоше 13 лет. Через сколько лет Малышу будет 9 лет? Выберите ответ: (А) 1,  (Б) 2, (В) 3, (Г) 4, (Д) 5.

991а.  Два года назад котам Тоше и Пирату вместе было 9 лет. Сейчас Пирату 8 лет. Через сколько лет Тоше будет 7 лет?

Решение. Два года назад Пирату было 6 лет. Вместе с Тошей им было 9 лет. Значит, Тоше было 3 года. Следовательно, Пират старше Тоши на 3 года ( 9-6 =3). Сейчас Пирату 8 лет, Тоше – на 3 года меньше, т.е. 5 лет. Значит, 7 лет Тоше исполнится через 2 года. Ответ: через 2 года.

992.Что больше: 38357/80357 или 3837937/6037397?

993.Какие фигуры могут быть получены при пересечении двух четырёхугольников?

994.В ребусе цифры зашифрованы буквами. Одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным — разные. Запиши и прочитай число, соответствующее слову ЗВЕЗДОЧКА.

З + В = Е

·     ·     -

З  · Д = 0

-----------
Ч – К = А

995. Волшебная страна состоит из Голубой, Фиолетовой, Розовой, Жёлтой стран и Изумрудного города. Известно, что Голубая, Фиолетовая и Розовая страны имеют общую границу с остальными четырьмя частями. Жёлтая страна и Изумрудный город не имеют между собой общей границы, причём Жёлтая страна окружена Великой пустыней, отделяющей Волшебную страну от остального мира. Нарисуйте схему этой Волшебной страны, если каждая из стран является целым куском (можно пояснить словами).

996.Крябоед съел 37 крябок, а крябоедики вместе съели на 17 крябок меньше. Сколько было крябоедиков, если каждый из них съел по 5 крябок?

997.Число оканчивается цифрой 9. Если эту цифру отбросить и к полученному числу прибавить первое число, то получится 14 496. Найдите это число.

998. Костя решил заняться разведением рыб. Ему нужен аквариум, вмещающий не менее 100 л воды. В магазине есть аквариум формы прямоугольного параллелепипеда с измерениями 60 см, 40 см и 50 см. Подойдёт ли он Косте (1 л = 1 дм³)?

999.Найдите закономерность и продолжите ряд на три числа: 25, 4, 100, 26, 5, 130, 27, 6, 162, 28, 7, 196, …

999а. Найдите закономерность и продолжите ряд на три числа:

16, 48, 17, 51, 18, 54, 19, 57, 20, …

Решение. На нечётных местах стоят натуральные числа, начиная с числа 16, а на чётных местах, начиная с числа 48, стоят предыдущие числа, умноженные на 3.

Ответ: 60, 21, 63.

1000. Муравьишка был в гостях в соседнем муравейнике. Туда он шёл пешком, а обратно ехал. Первую половину пути он ехал на Гусенице — ехал в 2 раза медленнее, чем шёл пешком. А другую половину он ехал на Кузнечике — ехал в 5 раз быстрее, чем шёл пешком. На какой путь Муравьишка затратил времени меньше — в гости или обратно?

1001.Журавли летают стаями таким образом, что образуют клин, то есть треугольник: впереди один журавль (вожак), за ним во втором ряду два журавля, дальше в третьем ряду три журавля и так далее. В небо поднялась стая из 36 журавлей. Сколько журавлей было в последнем ряду, замыкающем клин?

1002.Мистер Смит ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит его на работу. Однажды Мистер Смит приехал на вокзал в 7 часов и пошел навстречу машине. Встретив машину, он сел в нее и приехал на работу на 20 мин раньше обычного. В какое время произошла встреча Мистера Смита с машиной в этот день?

1003.У мухи 6 лапок, у паука – 8. Две мухи и паук вместе имеют столько же лапок, сколько 4 попугая и А) 2 кошки, Б) 3 белки, В) 4 утки, Г) 1 заяц.

1004. У трех маляров был брат Иван, а у Ивана братьев не было. Как такое могло случиться?

1005. В одном маленьком городе жили рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорили правду, а лжецы – естественно, всегда врали. Когда все люди собрались на площади, каждый из собравшихся сказал остальным: "Вы все лжецы!" Сколько рыцарей было в этом городе? (никто кроме рыцарей и лжецов в этом городе не жил).

 1006.Какие буквы русского алфавита можно нарисовать одним росчерком?

1007.Муха забралась в банку из под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру? Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.

1007а. В городе Кенигсберге во времена Эйлера было семь мостов. Если «сжать» сушу в точки, а мосты вытянуть в линии, то в результате получим следующую фигуру:

Однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда начиналась прогулка. Что можно ответить на этот вопрос?

 Решение. Формулировать и решать некоторые математические задачи помогают специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок. Такие схемы называют графами, точки называют вершинами графа, а дуги – ребрами графа. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными. Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.    

Граф с двумя нечетными вершинами  тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

 Ответ: не сможет.

 1008.Вставьте пропущенное число так, чтобы среднее арифметическое трех чисел 2, …, 16 равнялось 8.

1009.Расставьте в записи скобки так, чтобы получилось верное равенство: 7·9+12:3 – 2 = 23.

1009а. Расставьте в записи скобки так, чтобы получилось верное равенство:

48:8+4·4+9=25.

Ответ: 48:(8+4)·4+9=25.

1010.Найдите с помощью алгоритма Евклида: а) НОД (329;875), б) НОД (597;1024), в) НОД(1564607;11), г) НОД(15768312;1997).

1010а. Найдите с помощью алгоритма Евклида: а) НОД чисел 270 и 186; б) НОД чисел 234 и 180.

Решение. Алгоритм Евклида - это новый способ найти НОД  2-х чисел. Впервые этот способ нахождения НОДа был описан в книге Евклида «НАЧАЛА». Вот как он действует:

 1)    Разделить большее число на меньшее с остатком;

 2)     Разделить делитель на остаток и т.д.;

 3)    НОДом чисел будет являться последний ненулевой остаток.

 Имеем: а)  Чтобы найти НОД чисел 270 и 186, разделим 280 на 186 с остатком: 270:186=1(ост. 84). Далее делим делитель 186 на остаток 84 и т. д.: 186:84=2 (ост. 18), 84:18=4 (ост. 12), 18:12=1 (ост. 6), 12:6=2 (ост. 0). Наибольшем общим делителем чисел 270 и 186 является последний ненулевой остаток, т. е. число 6.

 б)  Найдем  НОД чисел 234 и 180:  1) 234:180=1 (ост.54), 2)180:54=3 (ост. 18), 3) 54:18=3 (ост. 0). Следовательно, НОД (234;180)=18.

 Ответ: а) 6; б) 18.

1011. У Миши в двух карманах куртки было всего 27 фантиков. Он переложил из правого кармана в левый столько же фантиков, сколько уже было в левом. Тогда в левом кармане стало на 3 фантика меньше, чем в правом. Сколько фантиков первоначально было в правом кармане Миши? 

1012.В прямоугольной таблице 8 столбцов и несколько строк. В каждой клетке таблицы стоит число. Известно, что сумма чисел в каждом столбце равна 10, а сумма чисел в каждой строке равна 20. Сколько всего в таблице строк?

1013. Найдите все двузначные числа, которые делятся на каждую свою цифру.

1014. Шерлок Холмс расследует преступление. В этом преступлении он подозревает Бандитсона, Граббинга и Карманникера. Каждый из них дал следующие показания. Бандитсон: "Я не делал этого. Это сделал Карманникер". Карманникер: "Я не виноват, но и Граббинг тут ни при чем". Граббинг: "Карманникер невиновен. Преступление совершил Бандитсон". Холмс точно установил, что один из подозреваемых дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал, а один раз сказал правду. После этого Холмс назвал преступника. Кто же преступник? 

1015. Илья Муромец, Добрыня Никитич, Алеша Попович вступили в бой с несколькими великанами. Каждый великан получил по три удара богатырскими палицами, в результате чего все великаны обратились в бегство. Больше всех ударов по великанам нанес Илья Муромец – 7, меньше всех Алеша Попович – 3. Сколько всего было великанов?

1016.Расставьте в записи скобки так, чтобы получилось верное равенство: 17 – 5·4+2·5=250.

1016а. Расставьте в записи скобки так, чтобы получилось верное равенство:

1+7 – 5·6·2 – 1:2=7.

Ответ: 1+(7 – 5)·6·(2 – 1):2=7.

1017.Четыре феи Виллина, Стелла, Гингема и Бастинда выкладывали камешки вдоль дороги из желтого кирпича. Сначала Виллина выложила несколько камешков в ряд. Затем Стелла в каждый промежуток между камешками положила еще по одному камешку. После этого Гингема сделала то же самое. Последней к этому ряду подошла Бастинда и положила в каждый промежуток еще по одному камешку. Всего получилось 113 камешков. Сколько камешков выложила Виллина?

1018. Есть 2, 3, 4 однозначных чисел, которые, будучи сложены или умножены друг на друга, дают один и тот же результат: 2+2=2·2; 1+2+3 = 1·2·3; 1+1+2+4 = 1·1·2·4. Найдите 5, 6, 7 однозначных чисел, обладающих тем же свойством.

1019.В коробке набора “Лото” лежали 90 бочонков с номерами от 1 до 90. Маша вынула из коробки все бочонки с двузначными номерами, начинающимися с 2, а затем Миша вынул из этой же коробки все бочонки с двузначными номерами, оканчивающимися на 8. Сколько бочонков осталось в коробке?

1020.Миша идет от школы до парка 30 мин, а Маша — 40 мин. Через сколько минут Миша догонит Машу, если она вышла из школы на 5 мин раньше него?

1021. Существует ли число, которое при делении на 3 дает в остатке 1, при делении на 4 дает в остатке 2, при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4?

1022. Миша пошёл с папой в тир. Договорились, что Миша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Всего Миша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?

1023. В математической школе был проведен турнир по решению задач. Всего в турнире было 8 задач. За каждую правильно решённую задачу ученику начислялось по 8 очков, а за каждую нерешённую или решённую неправильно задачу снималось по 3 очка. Миша получил за турнир 31 очко. Сколько задач он правильно решил?

1024.Сколько пятерок в записи всех чисел от 1 до 1000?

1025. Перед вами 7 строк последовательно расположенных цифр:

123,

1234,

12345,

123456,

1234567,

12345678,

123456789.

Не меняя порядка цифр, поставьте между ними знаки арифметических действий и, если потребуется, скобки так, чтобы в результате выполнения этих действий в каждом ряду получилось число 1. Две рядом стоящие цифры считаем двузначным числом.

1026.В турнире по теннису участвовали 15 человек. После каждого матча проигравший выбывал (ничьих не было). В первый день состоялось 6 матчей, во второй день 5, а на третий день определился победитель и турнир закончился. Сколько матчей состоялось в третий день?

1027.Дядя Федор с Шариком и Матроскиным пошли выкапывать клад. Они знают, что он зарыт на глубине 10 метров. За день они углубляют яму на 4 метра, но почва в этом месте очень неплотная, и за ночь в яму ссыпается обратно слой земли толщиной 3 метра. Сколько дней потребуется друзьям, чтобы выкопать клад?

1028.Считается, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 995995 – счастливый. Какой из последующих билетов первым окажется счастливым?

1029.  В корзине яблоки четырёх сортов. Какое наименьшее количество яблок нужно одновременно вынуть из корзины, не заглядывая в неё, чтобы среди них наверняка оказалось 4 яблока одного сорта?

1030.У Маши есть кучка орехов. Известно, что в ней не более ста орехов. Если их выкладывать в отдельные кучки по 3 ореха, то останется еще 2 лишних ореха; если выкладывать кучками по 5 орехов, то останется 3 лишних ореха; если кучками по 7 орехов, то останется 2 ореха. Сколько у Маши орехов?

1031.Имеется квадратный участок земли, длина стороны которого 100 метров. Нужно обнести его забором из сетки и столбов так, чтобы в каждом углу участка было по столбу, а расстояние между каждыми двумя соседними столбами составило 2 метра. Сколько потребуется столбов?

1032. У Миши есть три одинаковые карточки, на каждой из которых с одной стороны написана цифра 7, а с другой стороны цифра 8. Сколько различных трехзначных чисел может составить Миша, выкладывая рядом эти три карточки?

1033. Бельчонок, Медвежонок, Совёнок, Лисёнок и Зайчонок помогали Дедушке Морозу укладывать коробки конфет в мешок с подарками. Дедушка Мороз заметил, что одна коробка пуста. Он спросил зверят, кто съел конфеты. Бельчонок сказал: «Это или Совёнок, или Лисёнок». Совёнок сказал: «Это не я и не Медвежонок». Зайчонок сказал: «Один из них говорит правду, а другой - нет». А Медвежонок сказал: «Зайчонок, ты ошибаешься». Снегурочка сидела рядом и всё видела. Она сказала, что только один зверек ошибся. Кто съел конфеты? Выберите ответ: бельчонок, совенок, медвежонок, зайчонок, лисенок.

1034.Среди 15 щенков 10 лохматых и 7 кусачих, причем каждый обладает хотя бы одним из этих качеств. Сколько среди этих щенков лохматых и кусачих одновременно?

1035.  Маша посмотрела на часы ровно в полдень и задумалась, сколько раз до ближайшей полуночи часовая и минутная стрелки будут направлены точно по одной прямой в противоположные стороны. А вы как думаете?

1036. Как разложить гирьки массой 1, 2, …, 9 г в три коробочки так, чтобы в первой было две гирьки, во второй – три, в третьей – четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым?

1037.Шурик, Трус, Балбес и Бывалый участвовали в турнире по домино и заняли первые четыре места. Сумма мест, занятых Шуриком, Трусом и Балбесом, равна 6, сумма мест Труса и Бывалого тоже равна 6. Какое место занял каждый из них, если Трус занял более высокое место, чем Шурик? Объясните, как вы получили ответ.

1038.В бочке находится не менее13 литров молока. Как отлить из нее8 литров молока с помощью пустых пятилитрового и девятилитрового ведер?

1039.Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энциклопедического словаря, не превосходит 2009 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2009. Сколько страниц в словаре? Объясните, как вы получили ответ.

1040.Коля заплатил 115 руб за четыре тетради, два карандаша и резинку, Саша – 140 руб за две тетради, семь карандашей и две резинки. Сколько заплатил Антон за две тетради, три карандаша и резинку? Объясните, как вы получили ответ.

1040а. Коля заплатил 55 руб за одну тетрадь, два карандаша и резинку, Саша – 115 руб за две тетради, три карандаша и три резинки. Сколько заплатил Антон за две тетради, пять карандашей и одну резинку? Объясните, как вы получили ответ.

Решение. Так как покупки Саши и Антона вместе составляют учетверенную покупку Коли, то Антон заплатил 55×4 – 115 = 105 руб. Ответ: 105 руб.

1041. Разместите 8 козлят и 9 гусей в 5 хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

1042.В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные варианты.   

1043.По какому правилу написаны числа: 1, 2, 8, 28, 100, 356, …? Напишите следующие два числа.

1044.В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.  

1045. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда врут. Путешественник встретил двух туземцев – А и Б. Туземец А произнес фразу: «По крайней мере, один из нас (А и Б) – лжец». Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

1046.В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте. 

1047.В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми? 

1048.Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами?

1049.В забеге приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем — Саша, и последней — Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причем все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время? Ответ обоснуйте.

1050. Вычислите: (11+1)²/144+(11+2)²/169+(11+3)²/196+…+(11+9)²/400.

1051.В двузначном числе переставили цифры и полученное число сложили с исходным. Получили квадрат натурального числа. Какого ?

1052.Какое число нужно поставить вместо « * » в последовательности 7; 17; 37; 77; * ;  317; …? 

1053.Когда в Риге 9 часов, в Перми - 11 часов. Когда в Перми 11 часов, в Якутске - 17. Какое время в Якутске, когда в Риге 12 часов?

1054.В записи числа 16 + 12 : 4 + 2 ∙ 12 расставьте скобки так, чтобы получилось  наименьшее возможное число.

1054а. В записи числа 16 + 12 : 4 + 2 ∙ 12 расставьте скобки так, чтобы получилось   наибольшее возможное число.

Решение. (16 + 12 : 4 + 2) ∙ 12= 252.

Ответ: 252.

1055. Десять футболистов вместе забили 54 гола. При этом каждый забил хотя бы один гол, а один - целых 7 голов. Докажите, что двое из них забили одинаковое количество голов.

1056.Установите закономерность в последовательности и запишите ещё три числа: 253, 238, 223, 208, 193, … 

1057. В трёхэтажной клетке на разных этажах живут 3 попугайчика разных цветов: голубой, зелёный и красный. Попугайчики с первого и второго этажей не зелёные. Голубой попугайчик живёт не на первом этаже. На каком этаже живёт красный попугайчик?

1058. Витя и Вова договорились встретиться в восьмом вагоне поезда. Но Витя сел в восьмой вагон от начала, а Вова в восьмой вагон от конца. Сколько в поезде вагонов, если несмотря на это они сели в один вагон?

1059.Учитель сказал, что в ботаническом саду примерно 200 деревьев, и предложил ребятам угадать точное количество деревьев. Катя назвала число 195, Серёжа — 198, Таня — 209, Петя— 210, а Миша— 215. Тогда учитель сказал, что точно не угадал никто, но один из ребят ошибся всего на 5 деревьев (не известно, в большую или в меньшую сторону), еще один ошибся на 6, еще один — на 7, один на 8 и один на 12 деревьев. Кто из ребят оказался ближе всего к правильному ответу?

1060.Какое из чисел не обладает свойством, присущим остальным числам: 837, 612, 549, 426, 343?

1061. Можно ли заплатить 16 руб. с помощью 5 купюр достоинством в 1, 3 и 5 руб.?

1061а. Можно ли разменять 25 руб. при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 руб.?

Решение. Легко убедиться, что сумма четного количества нечетных чисел дает четное число. Следовательно, десять купюр по 1, 3 и 5 руб. дают сумму из четного числа рублей, а 25 – число нечетное. Значит, 25 руб. нельзя разменять, как требуется в условии задачи.

Ответ: нет.

1062. Циферблат часов нужно разделить на 6 частей так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинаковая. Выпишите соответствующие пары чисел.

1062а. Циферблат часов нужно разделить на 3 части так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинаковая. Выпишите соответствующие четверки чисел.

Решение. 11+ 12+ 1+ 2 = 10+9+ 4+ 3 = 8+ 7+ 6+ 5.

Ответ: 11, 12, 1, 2; 10, 9, 4, 3; 8, 7, 6, 5.

1063.Сколько потребуется цифр для нумерации 42 страниц книги, начиная с первой?

1064.Антон предлагал своему товарищу написать любое двузначное число, затем поменять местами цифры этого числа и вычесть из большего меньшее. После выполненных действий Антон просил товарища назвать последнюю цифру полученной разности и по названной цифре определял всю разность. Как Антону удалось это сделать?

1065. Среди 2001 монеты 100 фальшивых. Каждая фальшивая отличается от настоящей по весу на 1 грамм (в ту или в другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это сделать?

1066.Какая из букв не вписывается в общий ряд: А, Е, И, Ю, Г, Я, Ы?

1067. На координатном луче точками отмечены несколько натуральных чисел, сумма которых 75. Если каждую точку переместить влево на 3 единичных отрезка, то сумма чисел, соответствующих этим точкам, станет равна 60. Сколько чисел было отмечено на луче?

1068. Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 3? В записи каждого числа цифра 1 может встречаться не более одного раза.

1069.В бочке хранится несколько ведер бензина. Как отлить из нее 6 л бензина в другую бочку с помощью девятилитрового и пятилитрового бидонов?

1070. В ящике 40 шариков различного цвета: 17 зеленых, 12 синих, 5 красных и 6 белых. Какое наименьшее число шариков надо вынуть, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка оказалось 12 шариков одного цвета?

1071. Я еду в поезде, который идет со скоростью 40 км/ч, и вижу, как в течение 3 с мимо моего окна в противоположном направлении проходит скорый поезд, имеющий длину 75 м. С какой скоростью шел встречный поезд?

1071а. Два поезда, оба длиной по 50 м, движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью 45 км/ч. Сколько времени пройдёт от момента, когда встретятся машинисты, до момента, когда встретятся проводники последних вагонов?

Решение. В момент встречи машинистов расстояние между проводниками будет 100 м. Так как каждый поезд движется со скоростью 45 км/ч, то проводники сближаются со скоростью 90 км/ч или 25 м/с. Искомое время равно 100:25=4 секунды.

Ответ. 4 секунды.

1072. Одну сторону квадрата увеличили в 5 раз, а другую уменьшили в 2 раза, получили прямоугольник площадью 160 см². Чему равна сторона квадрата?

1073.В игре «Сто» принимают участие двое. Первый называет любое число от 1 до 10 включительно, второй прибавляет к этому числу еще какое-нибудь число, не большее 10, и называет сумму; к этой сумме первый опять прибавляет какое-нибудь число, не большее 10, и т. д. Выигрывает тот, кто первым назовет число 100. Кто выиграет: начинающий или его партнер?

1073а. Двое играют в игру: первый называет 2 или 1; второй (прибавляя 1 или 2, по своему желанию) называет 2 или 3, а может быть 3 или 4 и т. д. (по очереди). Выиграет тот, кто назовет 10. Как нужно играть, чтобы выиграть наверняка? Кто выиграет – начинающий или его партнер?

Решение.  Если один из участников игры назовет 7 (10 – 2 – 1), то выигрыш ему гарантирован. Перед этим, аналогично, он должен назвать 4. При правильной игре выигрывает начинающий, называя 1, а затем 4, 7 и 10. Ответ: начинающий выигрывает.

1074.Задумайте любое число, умножьте его на 2, прибавьте 1, полученный результат увеличьте в 5 раз, вычтите 4, умножьте на 2. Скажите, что у вас получилось. После этого я скажу, какое число вы задумали. Как мне удастся определить задуманное вами число?

1075. Три человека заплатили за обед 30 рублей (каждый по 10). После их ухода хозяйка обнаружила, что обед стоит не 30, а 25 рублей, и отправила мальчика с 5 рублями вдогонку. Каждый из путников взял себе по рублю, а 2 рубля они оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10, а по 9 рублей. Их было трое: 9·3 =27 , и еще два рубля у мальчика: 27 + 2 = 29. Куда делся рубль?

1076. Какое из слов не вписывается в общий ряд: ОБЪЕМ, ПЛОЩАДЬ, КРУГ, СТОЛ, ТРЕУГОЛЬНИК?

1077.Пользуясь четырьмя действиями, расставьте между семью «двойками» знаки, чтобы получились примеры с ответами от 1 до 10.

1077а. Пользуясь только сложением, запишите число 30 при помощи шести «двоек», а число 200 при помощи семи «восьмерок».

Ответ: 22+2+2+2+2 = 30, 88+88+8+8+8 = 200.

1078.Два путника одновременно вышли из А в В. Первый путник половину времени, затраченного на переход, шел по 5 км/ч, а затем по 4 км/ч. Второй же путник первую половину пути прошел по 4 км/ч, а затем шел 5 км/ч. Кто из них раньше прибыл в В?

1079. Взяли 6 листков бумаги и некоторые из них разорвали на 7 частей; некоторые из получившихся листков снова разорвали на 7 частей и т. д. несколько раз. Сосчитав общее число получившихся листков бумаги, установили, что их 67. Как показать, что произошла ошибка при подсчете?

1079а. Взяли 666 листков бумаги и некоторые из них разорвали на 7 частей; некоторые из получившихся листков снова разорвали на 7 частей и т. д. несколько раз. Сосчитав общее число получившихся листков бумаги, установили, что их 6667. Как показать, что произошла ошибка при подсчете?

Решение. Сначала было 666 листков бумаги. Каждый раз, разрывая листок, мы вместо него получаем 7 листков, увеличивая тем самым общее число листков бумаги на 6. Но тогда, сколько бы листков ни было разорвано, общее число их должно делиться на 6. Поскольку 6667 не делится на 6, то произошла ошибка при подсчете листков.

1080. Каким может быть число х в данной последовательности чисел:  1; 8; 16; 25; х, если все числа, начиная со второго, составлены по одному и тому же правилу?

1081.До конца суток осталась 1/7 того времени, которое  прошло от начала суток. Сколько времени прошло от начала суток?

1082. В кассе одинаковое число рублевых, трехрублевых и пятирублевых денежных знаков, всего на сумму 90 руб. Какая сумма денег представлена трехрублевками?

1082а. В кассе одинаковое число рублевых, трехрублевых и пятирублевых денежных знаков на сумму большую 20 руб., но меньшую 30 руб. Какая сумма денег находится в кассе?

Решение. Пусть х – число 3-рублевых денежных знаков (рублевых и 5-рублевых). Тогда  20 < x+3x+5x

Ответ: 27 руб. 

1083. Можно ли соединить между собой проводами семь телефонов так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими?

1084. Шашки расставлены так:

Б – белая шашка, Ч – черная шашка. Требуется белые шашки поменять местами с черными, причем можно двигать белые шашки только вправо, а черные только влево и любая шашка передвигается либо на соседнюю с ней пустую клетку, либо на пустую клетку, находящуюся непосредственно за ближайшей шашкой другого цвета. Как это сделать?

1084а. Шашки расставлены так:

Б – белая шашка, Ч – черная шашка. Требуется белые шашки поменять местами с черными, причем можно двигать белые шашки только вправо, а черные только влево и любая шашка передвигается либо на соседнюю с ней пустую клетку, либо на пустую клетку, находящуюся непосредственно за ближайшей шашкой другого цвета. Как это сделать?

Решение. Б ЧЧ БББ ЧЧЧ БББ ЧЧ Б

1084б. На рисунке изображено семь квадратов, три черные шашки и три белые (наоборот как в предыдущей задаче). Необходимо передвинуть белые шашки на место черных, а черные — на место белых. Разрешается двигать шашку на соседний свободный квадрат и перепрыгивать ей не более чем через одну шашку, когда по другую сторону от нее находится свободный квадрат. 

Решение. Будем обозначать черные шашки буквой Ч, а белые — буквой Б; свободный квадрат будем обозначать _. При записи этапов решения будем выделять жирным шрифтом последнюю передвинутую шашку: 
ЧЧЧ_БББ    ЧЧ_ЧБББ    ЧЧБЧ_ББ    ЧЧБЧБ_Б    ЧЧБ_БЧБ   Ч_БЧБЧБ 
_ЧБЧБЧБ    БЧ_ЧБЧБ    БЧБЧ_ЧБ    БЧБЧБЧ_    БЧБЧБ_Ч    БЧБ_БЧЧ 
Б_БЧБЧЧ   ББ_ЧБЧЧ   БББЧ_ЧЧ   БББ_ЧЧЧ 
Это лишь одно из возможных решений. Другое решение можно получить, например, так: 
ЧЧЧ_БББ    ЧЧЧБ_ББ    ЧЧ_БЧББ   ЧЧБ_ЧББ   Ч_БЧЧББ   ЧБ_ЧЧББ 
_БЧЧЧББ   Б_ЧЧЧББ   БЧ_ЧЧББ   БЧЧ_ЧББ   БЧЧЧ_ББ 
Заметим, что к этому моменту одна из белых шашек оказалась на нужном месте, и ее можно больше не трогать. А расположение оставшихся шашек очень похоже на первоначальное. Поэтому, повторяя аналогичные действия, переместим налево сначала вторую, а затем и третью белую шашку.

1085. Найти все дроби с однозначным знаменателем, каждая из которых больше 7/9, но меньше 8/9.

1086. Из трехзначного числа вычли двузначное и получили 1. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

1087. Найдите закономерность в последовательности чисел и замените вопросительный знак числом: 82, 97, 114, 133, ?

1088.Утром работник приступил к распиловке бревен. Через час он подсчитал, что за время работы он сделал девять распилов, а получилось 13 поленьев. Сколько бревен распилил работник?

1089. В спортивной секции занимаются 10 учеников класса. Три человека выше Васи. Ниже Пети – 4 человека. Сколько учеников выше Пети, но ниже Васи, если у всех различный рост?

1089а. В спортивной секции занимаются 25 учеников класса. Двадцать человек выше Васи. Ниже Пети – 3 человека. Сколько учеников выше Пети, но ниже Васи, если у всех различный рост?

Решение. Если всех учеников построить по росту, то Васино место – под номером 5 (25 – 20 = 5), место Пети будет под номером 4. Тогда между номерами Васи и Пети нет больше номеров.

Ответ: 0.

1090.После 7 стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося мыла? 

1090а. Мыши нашли прямоугольный кусок сыра и начали его есть. За 35 секунд кусок уменьшился по длине, ширине и высоте в 2 раза. Сколько ещё времени мыши будут есть сыр?

Решение. Объём куска сыра, оставшегося через 35 секунд, в 2·2·2 = 8 раз меньше начального. Значит, мыши съели в 7 раз больше сыра, чем осталось. Следовательно, оставшийся кусок они будут есть ещё 35 : 7 = 5 секунд.

Ответ. 5 секунд.

1091.Вася задумал число и разделил его на 100. В результате получилось число, которое на 34,65 меньше задуманного. Какое число задумал Вася? 

1092.Найдите четырёхзначное число, у которого сумма первых трёх цифр равна 19, а сумма последних трёх цифр равна 27. 

1093.Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки. 

1094.Падая по лестнице с пятого этажа, Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со второго этажа? (Падение героини сказки Л.Кэрролла «Алиса в стране чудес» обычно оканчивается благополучно…)    

1095.Имеется 6 палочек, каждая  длиной по 1см, 3 палочки- по 2см, 6 палочек- по 3см, 5 палочек- по 4см. Можно ли из этого набора составить квадрат, используя при этом все палочки, не ломая их и не накладывая одна на другую?     

1096. Каким может быть число х во второй тройке чисел:

12  (56) 16,      17  (х)  21,  если эта тройка чисел составлена по тому же правилу, что и первая?

1097.Можно ли из чисел 1, 2, 3, … , 11, 12 составить таблицу из 3 строк и 4 столбцов такую, чтобы сумма чисел в каждой из трёх строк была одной и той же ?

1098.Расставить в записи 4 · 12 + 18 : 6 + 3  скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

1099.В записи * 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 27 вместо знаков «*» поставьте знаки «+» или  «-» так, чтобы равенство стало верным.

1100.Можно ли разложить гири в 1, 2, 3, …,21 граммов на две равные по весу кучи? 

1101.Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 мин Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю?

1102.У Коли на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму — 1/5 остатка, третьему — 1/4 того, что осталось, четвертому — 1/3 нового остатка. Последний кусок Коля разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок? 

1103.Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

1104.Предположим, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же, каким он был два часа назад. Чему равен этот угол? 

1105. Разрежьте квадрат на а) 6 квадратов; б) 7 квадратов; в) 8 квадратов.

г) На какое количество квадратов можно разрезать квадрат? 

1106.Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (33 :3 – 3 :3) · (33: 3 –  3 :3). Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример). 

1106а. Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (77 : 7 –  7 : 7) · (77 : 7 – 7 : 7) . Улучшите его результат: используйте меньшее число семерок и получите число 100. (Достаточно привести один пример).

Ответ: 777:7 – 77:7 = 100.

1107. Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном ведре).

1108.На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? (Ответ обоснуйте).

1109. У 17-ти Чебурашек есть по 2 воздушных шарика: красный, и жёлтый. Могут ли они так поменяться друг с другом шариками, чтобы у каждого было по 2 шарика одного цвета?

1110.Можно ли в таблице 8x8 закрасить 17 клеток так, чтобы никакие две закрашенные клетки не оказались рядом (даже по диагонали)?

1111. Числитель дроби увеличили на 3, а знаменатель - на 8. Могла ли получиться дробь, равная исходной? Ответ обоснуйте

1112.Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?

1113.Разрежьте циферблат часов на три части так, чтобы сумма цифр в каждой части была одинаковой.

1114.В озере водятся караси и окуни. Два рыбака поймали 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго - окуни. Сколько рыб  поймал каждый рыбак? 

1115. В небольшом городке живут пятеро друзей: Иванов, Петренко, Сидоров, Гришин и Алексеев. Профессии у них разные: маляр, мельник, плотник, почтальон, парикмахер. Петренко и Гришин никогда не держали в жизни малярной кисти. Иванов и Гришин все собираются посетить мельницу, где работает их товарищ. Петренко и Иванов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и Сидоров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром. Петренко брал билеты в театр для себя и для мельника. Определите профессию каждого.

1116.Требуется сложить 10 чисел: 1012, 1012, 1012, 1012, 1012, 1008, 1008, 1008, 1008, 1008. Подумайте, как удобнее, а следовательно быстрее, найти сумму этих слагаемых, запишите формулу  вычисления.

1117. Поставьте вместо звездочек нужные цифры.

  *3*                623

+5*8           +  4*2

  979             **8*

                     6118         

1118. На листе бумаги отмечены 16 точек. Одна из них выделена. Сколько квадратов с вершинами в отмеченных точках содержат выделенную точку внутри (не на границе)? Укажите эти квадраты на рисунке и напишите ответ.

1119.Медвежонок втрое тяжелее волчонка и впятеро тяжелее зайчонка. Сколько нужно зайчат, чтобы уравновесить 15 волчат?

1120.На одну чашку весов положили круг сыра, а на другую ¾ такого же круга и еще килограммовую гирю. Сколько весит круг сыра, если на весах установилось равновесие?

1120а. На одной чаше весов лежит дыня, на другой ¾ такой же по массе дыни и ещё ¾ кг. Весы в равновесии. Сколько весит дыня?

Решение. Уберем с каждой чаши весов ¾ дыни. Оставшаяся четверть дыни весит 3/4 кг. Значит, вся дыня –(3/4) ·4 = 3кг. Ответ: 3 кг

1121.В комнате сидят несколько кошек и собак. Кошачьих лап в комнате в 4 раза больше, чем собачьих ушей. Кого в комнате больше: кошек или собак и во сколько раз?

1122.Дима выписал все трёхзначные числа от 100 до 999 и подчеркнул те, в которых есть хотя бы две одинаковые цифры. Сколько чисел он подчеркнул?

1123.Петя рисует на клетчатой бумаге прямоугольники, состоящие из 2013 клеточек, и вычисляет их периметры. Какие результаты он может получить, если сторона клеточки равна 1 см?

1124. Покрасьте шесть клеток таблицы размером 6 х 6 в чёрный цвет так, чтобы из неё нельзя было вырезать ни белой полоски размером 1x6, ни белого квадрата размером 3x3.

1125. Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части. 

1126.Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого купца, то соберут 90 р., без второго – 85 р., без третьего – 80 р., без четвёртого – 75 р. Сколько у кого денег?

1127. Можно ли между цифрами 5 4 3 2 1 поставить знаки действий и скобки так, чтобы получился 0. 

1128.Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто, что нашел? 

1129.Назовем натуральное число «уникальным», если оно не изменяется при переворачивании листа, на котором записано число (нижняя и верхняя части листа меняются местами). Определите, сколько «уникальных» чисел среди четырехзначных чисел. В записи уникальных чисел будем использовать только цифры 0, 1, 6, 8, 9; примеры «уникальных» чисел: 1; 8; 69; 609.

1129а. Назовем натуральное число «уникальным», если оно не изменяется при переворачивании листа, на котором записано число (нижняя и верхняя части листа меняются местами). Определите, сколько «уникальных» чисел среди шестизначных чисел. В записи уникальных чисел будем использовать только цифры 0, 1, 6, 8, 9; примеры «уникальных» чисел: 1; 8; 69; 609.

Решение. 1. Если в шестизначном «уникальном» числе определены первые три цифры, то последние три цифры определяются однозначно.

2. Подсчитаем количество вариантов первых трёх цифр шестизначного «уникального» числа.

Первая цифра – это одна из четырех цифр 1, 6, 8, 9. Любой из первых цифр может соответствовать любая из пяти вторых цифр, стоящих на втором месте: 0, 1, 6, 8, 9. Любому варианту первых двух цифр может соответствовать любая из пяти третьих цифр 0, 1, 6, 8, 9. Таким образом, общее количество вариантов 4 · 5 · 5 = 100 .

Ответ: 100.

1130.Припишите к числу 20132014 слева и справа одну и ту же цифру так, чтобы полученное десятизначное число делилось на 12.

1131.Сумма 2012 натуральных чисел равна 2013. Чему равно их произведение?  (Напоминаем, что натуральные числа – это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.)

1132.Тому Сойеру было поручено покрасить забор. Четвертую часть работы он выполнил сам, затем передал кисть Бену, который работал 15 минут, причем водил кисточкой в два раза быстрее, чем Том. После Бена за дело взялся Билл, который работал втрое быстрее, чем Том, и закончил всю работу за 5 минут. Сколько времени потратили мальчики на покраску всего забора?

1133.Львёнок решил покататься на Черепахе, но сначала ему нужно её догнать. Какое расстояние придется пробежать Львёнку, прежде чем он сможет покататься, если его скорость в 8 раз больше скорости Черепахи, а Черепаха находится в 140 метрах от Львёнка?

1134. Площадь квадрата равна 8 см². Чему равна длина диагонали квадрата?

1135. В Цветочном городе автобусный билет считается счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки арифметических действий так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100.У Незнайки в руках билет № 654321. Является ли он счастливым?

1136.Сколько дедушке лет, столько месяцев внучке. Дедушке с внучкой 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

1137.Из книги выпал кусок, страницы которого имеют номера от 480 до 612. Сколько страниц в выпавшем куске?

1138. Разрежьте прямоугольник прямолинейным разрезом на две части, из которых можно сложить треугольник.

1139.В ящике лежит 10 пар белых перчаток и 20 пар чёрных. Сколько перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета? (Ответ объясните.)

1140.Андрей идет от дома до школы 20 минут. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома карандаш. Если он вернется за карандашом, то опоздает к звонку на 8 минут, а если продолжит путь, то придет в школу за 10 минут до звонка. Какую часть пути от дома до школы прошел Андрей к моменту, когда вспомнил о карандаше?

1141.Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 5×11 и 4×6. Какие размеры мог иметь третий прямоугольник (постарайтесь найти все возможности)? Ответы подтвердите рисунками.

1142.Кот в Сапогах мечтает о белых перчатках. Людоед предложил ему три коробки на выбор, но с условием: «посмотреть один раз». В одной коробке лежат белые перчатки, во второй – две чёрных, в третьей – одна белая и одна чёрная перчатки. На коробках наклеены этикетки ББ, ЧЧ, БЧ так, что содержимое каждой коробки не соответствует этикетке. Как вынув одну перчатку Коту догадаться, в какой коробке что лежит и взять белые перчатки?

1143. Сколько различных делителей имеет число 3600?

1144.Кощей Бессмертный загадывает три цифры а,b,c. Иван Царевич называет три числа x, y, z, после чего Кощей сообщает ему сумму ax+by+cz. Иван должен угадать задуманные цифры, иначе ему отрубят голову. Как же Царевичу спастись?

1145. Каждого пойманного леща рыболов  считал за 3 рыбы, а каждых трех ершей – за одну. В результате он насчитал 24 рыбы, и оказалось, что число пойманных рыб, действительно, равно 24. Сколько лещей поймал рыболов?

1146. Каждое из четырёх слагаемых на 4 меньше их суммы. Чему равны слагаемые? Ответ объясните.

1147.Из спичек выложено равенство XIV − XVI = II. Переместите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

1148. Разрежьте прямоугольник 3×9 на 8 квадратов.

1149.Решите ребус: ТИК + ТАК = АКТ (каждую букву надо заменить цифрами, при этом одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры). Найдите как можно больше решений.

1150.На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут) в некоторой компании каждый заявил остальным: «Среди вас — два рыцаря». Сколько рыцарей могло быть в этой компании?

1151.Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат. Покажите, что это число наибольшее.

1152.Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом? Если да, приведите пример, если нет, объясните, почему.

1153. В замке поселились два привидения. Одно из них поёт, а другое хохочет. В течение каждой минуты каждое из них либо звучит, либо молчит. Поведение же их в последующую минуту зависит от предыдущих событий следующим образом: Пение в последующую минуту ведёт себя так же, как и в предыдущую, если только в предыдущую минуту не было игры на органе при молчащем смехе. В противном случае оно меняет своё поведение на противоположное. Если в предыдущую минуту горела свеча, то Смех будет звучать, если звучало Пение, и молчать, если Пение молчало. Если свеча не горела, то Смех будет делать противоположное тому, что делало Пение. 
В настоящий момент Смех и Пение оба звучат. Какие действия со свечой и органом нужно совершить, чтобы установить и поддерживать тишину в замке?

1154.Поставьте 5 фишек на доску размером 8×8, чтобы любой состоящий из девяти клеток квадрат содержал в точности одну фишку.

1155. В начале года в магазине «Сделай сам» винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 100 рублей за 1 кг. 30 февраля цены на винтики повысились на 50%, а цены на шпунтики понизились на 50%. 31 февраля цены на винтики понизились на 50%, а цены на шпунтики повысились на 50%. Какой товар будет самым дорогим в марте? Ответ  объясните.

1156. В Труляляндии живут ляпусики и мордасики. Все мордасики ездят на хрумзиках. Верно ли, что ляпусики не ездят на хрумзиках? Верно ли, что те, кто не ездят на хрумзиках — ляпусики?

1157.Автобус шёл из деревни Мухоморы в село Светлое. Обычно автобус ездит всегда с одной и той же скоростью, но случилось так, что первую половину пути он шёл со скоростью, вдвое меньшей запланированной. Удастся ли ему наверстать упущенное время? Если да, то во сколько раз ему нужно увеличить скорость?