ДВИ в МГУ

Дополнительное вступительное испытание по математике

1. Условие здесь Решение здесь

 2. Условие здесь Решение здесь

 3. Условие здесь Решение здесь

 4. Условие здесь Решение здесь

 5. Условие здесь Решение здесь

 6. Условие здесь Решение здесь здесь

 7. Условие здесь Решение здесь

1. Найдите наибольшее целое число, не превышающее значения выражения

Решение здесь 

 2. Найдите , если .

Решение здесь 

 3. Решите уравнение:

Решение здесь

 4. Решите неравенство:

Решение здесь

5. На гипотенузе  прямоугольного треугольника  отмечены точки  и , причем , а . Найдите  , если .

Решение здесь здесь здесь здесь 

6. Найдите все пары вещественных чисел   при которых неравенство

выполняется для всех вещественных  .

Решение здесь здесь 

7. В прямоугольном параллелепипеде плоскость , проходящая через три вершины, отсекает тетраэдр. Внутри сферы, описанной вокруг параллелепипеда, расположены два шара максимальных радиусов по разные стороны от плоскости . Найдите отношения радиусов этих шаров, если ребра параллелепипеда равны .

Решение здесь  здесь здесь здесь здесь 

1. Какое из чисел 49/32   и 59/24 ближе к 2?

Решение Расстояние между числами и равно  . То есть нам нужно сравнить и .

Сравним числа и

Приведем дроби к общему знаменателю.

Следовательно, и число ближе к 2, чем  .

2.Найдите все значения параметра , при которых разность между корнями уравнения максимальна.

Решение 

Разность между корнями квадратного уравнения можно понимать как расстояние между ними на числовой прямой.

То есть нам нужно найти, при каком значении параметра расстояние между корнями квадратного уравнения максимально.

Расстояние между корнями квадратного уравнения равно .

Для нашего уравнения

Так как функция - возрастающая, функция принимает максимальное значение в той же точке, в которой принимает максимальное значение подкоренное выражение.

Рассмотрим функцию и исследуем ее на максимум - минимум.

Приравняем производную к нулю и исследуем знаки:

;

Мы видим, что функция имеет максимум при .

Ответ: .

3. Решите уравнение

Решение

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

Получим:

Отсюда получаем:

или

или

или , .

Ответ:

4. Решите неравенство

Решение

Заметим, что неравенство содержит сопряженные выражения: и .

В этом случае, воспользовавшись формулой разности квадратов, можно одно выражение выразить через другое:

, отсюда

Тогда получим:

Так как , при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется. Получаем:

Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю.

Легко проверить, что , отсюда . Умножим обе части неравенства на это выражение, не забыв изменить знак неравенства:

Введем замену:

Получим неравенство относительно переменной :

Корни числителя:

Корень знаменателя: .

Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки:

Отсюда или .

Вернемся к исходной переменной:

;

или

Ответ: U

5. Дана трапеция с основаниями и . Пусть - середина отрезка , а - произвольная точка отрезка . Пусть - пересечение отрезков и , а - пересечение отрезков и . Найдите все возможные значения площади треугольника , если известно, что , а площадь треугольника равна .

Решение

Пусть :

(по двум углам). Отсюда .

(по двум углам). Отсюда .

Следовательно, и отсюда прямая, проходящая через точки и параллельна основаниям трапеции.

Проведем эту прямую.

Пусть расстояние от точки до прямой   равно , а расстояние от точки до прямой равно :

Из подобия треугольников и  . Отсюда (1)

По условию  . . Отсюда (2)

Чтобы найти площадь треугольника   нужно из площади трапеции вычесть площади треугольников и .

Тогда

Используем соотношения (1) и (2), получим:

Ответ: 5

6. Найдите все значения параметра , при которых система

имеет ровно одно решение.

Решение. Если у условии задачи требуется найти, при каких значениях параметра система имеет ровно одно решение, то, скорее всего, здесь требуется найти инвариант, то есть некие два выражения, такие, что при замене одного выражения на другое система не изменится. Преобразуем неравенства системы. В левой части каждого неравенства выделим полный квадрат.

Теперь система принимает такой вид:

Ведем замену переменной:

Тогда

Относительно новых переменных система примет такой вид:

Теперь мы видим, что если в систем заменить на , то система не изменится. Это значит, что если пара является решение системы, то пара также будет ее решением.

Значит, чтобы система имела единственное решение должно выполняться равенство .

Заменим в системе на и получим систему, состоящую из двух одинаковых неравенств:

Теперь найдем, при каких значениях параметра эта система имеет единственное решение. То есть нам надо найти, при каких значениях параметра неравенство имеет единственное решение. Это неравенство имеет единственное решение, если ветви параболы направлены вниз и дискриминант квадратного трехчлена в левой части неравенства равен нулю:

;

Отсюда или . Учитывая условие , остается значение .

Мы нашли это значение параметра исходя из условия, что . Осталось проверить, что при этом значении исходная система имеет единственное решение. Подставим в систему .

Получим:

Разделим оба неравенства на :

Сложим неравенства системы:

Сгруппируем и выделим полный квадрат:

Это неравенство имеет единственное решение, если  .

Следовательно, при исходная система имеет единственное решение.

Ответ:

7. Дан прямоугольный параллелепипед с боковыми ребрами . На ребрах нижнего основания отмечены соответственно точки , таким образом, что ,, ,. Пусть - центры сфер, описанных около тетраэдров , соответственно. Найдите , если известно, что и .

Решение 

Центр сферы, описанной около тетраэдра равноудален от его вершин. То есть центр сферы лежит на пересечении серединных перпендикулярах к ребрам тетраэдра. Тетраэдры содержат боковые ребра параллелепипеда , серединные перпендикуляры к боковым ребрам параллелепипеда лежат в плоскости, перпендикулярной боковым ребрам. Поэтому центры сфер, описанных около этих тетраэдров лежат в плоскости, которая перпендикулярна боковым ребрам параллелепипеда и проходит через середины этих ребер. То есть в плоскости, параллельной основаниям параллелепипеда.

Кроме того, центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на прямой, которая перпендикулярна грани тетраэдра и проходит через центр окружности, описанной около этой грани.

Рассмотрим  тетраэдр . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы этого треугольника, то есть в середине отрезка . Пусть это точка . Центр сферы, описанной около тетраэдра лежит на прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку . И одновременно на серединном перпендикуляре к ребру :

Аналогично построим точки - центры сфер, описанных около тетраэдров :

Точки - проекции точек соответственно на плоскость .

Точка - середина отрезка , точка - середина отрезка .

Поскольку плоскость, проходящая через точки параллельна плоскости , расстояния между точками равно расстоянию между точками   соответственно.

По условию . Пусть , .

Сделаем выносной чертеж:

Расстояние между точками   и по условию равно 1. Введем систему координат с началом в точке и найдем расстояние между точками и .

Координаты точек:

; ;  .

Координаты векторов:

;

; Отсюда ,

Ответ:

8. Найдите все  пары чисел из промежутка  , при которых достигается минимум выражения

  .

Решение. Чтобы найти, при каких значениях переменных выражение достигает минимума часто используют известные неравенства. В частности, неравенство Коши.

В упрощенной формулировке неравенство Коши формулируется так:

если , , то .

При этом неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда .

То есть мы можем ограничить снизу сумму двух неотрицательных выражений:

.

В общей форме неравенство Коши формулируется следующим образом:  если , где , то

причем неравенство превращается в равенство, если .

Таким образом, мы можем ограничить снизу выражение :

Воспользуемся неравенством Коши в общей форме.

В нашем выражении, поскольку переменные принадлежат промежутку  , .

Введем замену: .

Получим выражение:

Заметим, что произведение

Если мы попытаемся оценить каждую скобку с помощью неравенства Коши в формулировке , то получим:

;

В этом случае получаем такую оценку:

В правой части неравенства мы не смогли получить число.

Значит, нам надо сделать так, чтобы в правой части неравенства переменные и   были в одинаковой степени. Ориентируясь на первый множитель , постараемся сделать так, чтобы переменные и были под знаком квадратного корня.  Исходя из формулировки   неравенства Коши, для этого во второй скобке должно быть 4 слагаемых, а в третьей - 8 слагаемых. При этом нижняя граница достигается в том случае, если все слагаемые равны между собой.

С первым слагаемым  в каждой скобке мы ничего сделать не можем, а вот единицу мы можем легко разбить на нужное число равных слагаемых.

Получим:

Ограничим снизу каждый множитель:

Теперь и в одинаковой степени, и если мы перемножим неравенства , то в правой части получим число, которое ограничивает произведение снизу. Однако нам не важно значение этой нижней границы. Нам важно, при каких значениях переменных и она достигается. Она достигается, если

Вернемся к исходным переменным:

Осталось решить эту систему.

Из второго уравнения системы получаем  

Отсюда

Из третьего уравнения получаем .

Отсюда  

Подставляем и равенства:

Так как по условию , делим обе части уравнения на ;

Правая часть уравнения больше нуля, можем возвести обе части в квадрат.

,

, отсюда с учетом того, что , получаем

Далее: ; .

Отсюда, с учетом того, что , получаем

.

Заметим, что эти значения удовлетворяют второму уравнению системы.

Ответ: ; .

Локация Главная страница Карта сайта