vivat2.okis.ru

Локация Главная страница Карта сайта

Прототипы задания 12 профиля ЕГЭ - 2021

Тема заданий № 12 "Наибольшее и наименьшее значение функций"

Типы заданий № 12: исследование степенных и иррациональных функций здесь исследование частных здесь здесь исследование произведений здесь исследование показательных и логарифмических функций здесь здесь исследование тригонометрических функций здесь исследование функций без помощи производных здесь здесь здесь здесь здесь здесь

За задание № 12  можно получить 1 балл. На решение дается около 10 минут. Уровень сложности: повышенный. Средний процент выполнения: в 2019 году 60.8%, в 2020 году 47,9%. Ответом к заданию 12 по математике может быть целое число или конечная десятичная дробь. Требования ФИПИ к профильному уровню здесь

Если вы уже решали задачу 7, то убедились, что производная характеризует вид (возрастание или убывание) и скорость изменения функции. Поэтому производная широко используется для определения таких характеристик функции, как её экстремумы. Вспомним, что термин "экстремум" объединяет понятия максимум и минимум функции. (Прислушайтесь к словам диктора, когда он читает прогноз погоды. Если речь идет об экстремальных температурах зимой, мы понимаем, что будет сильный мороз. Но если это происходит летом, то ждем очень жарких дней.) Теме нахождения экстремумов и посвящена задача 12 ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня. Технически все варианты этой задачи решаются одинаково:

- нужно найти производную функции,

- затем критические точки производной, т.е. те значения аргумента, при которых производная равна 0 или не существует,

- и, наконец, определить знаки производной в окрестности критических точек, чтобы убедиться в том, что экстремумы существуют и определить их вид. 

Как реализуется этот алгоритм, можно посмотреть ниже.

Кодификатор элементов содержания по математике - классификатор базовой части: 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции  здесь  4.2.1. Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка здесь  Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка здесь, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке здесь 

Что требуется в задании? № 12 - это второе задание после № 7 из цепочки анализа функций и завершающее задание в части с кратким ответом (№ 1 - 12). В нем  требуется уметь находить точки экстремума и максимальные/минимальные значения функции. Особенности задания. В № 12 вам может встретиться всего два типа заданий: задания на нахождения точки максимума/минимума и задания на нахождение максимального или минимального значения функции (максимума или минимума). Для их решения надо уметь находить производную функции, а также исследовать функцию с помощью производной. Многие школьники при этом не различают основных понятий: 1) найти точку минимума/максимума функции или 2) найти наибольшее/наименьшее значение функции. А ведь ответ в обоих случаях будет совершенно разный! Еще в этом задании мы сталкиваемся с задачей нахождения минимума/максимума на отрезке или на всей действительной прямой. Если вас ограничивают отрезком, то не забывайте находить значения на его концах и сравнивать их с локальными минимумами/максимумами функции на отрезке. Полезные советы решающему. Выучите базовую таблицу производных, а также формулы производной произведения, частного и композиции функций. Помните, что если производная положительна,то функция растет, если производная отрицательна — функция убывает. Когда производная меняет свой знак с плюса на минус, это значит, что мы попали в точку максимума. Если производная поменяла свой знак с минуса на плюс, значит, мы попали в точку минимума. В Банке заданий есть значительный процент заданий № 12, которые можно решить подбором. Это становится возможным из-за ограничений, накладываемых на ответ в части с кратким ответом.

Чтобы решить задание 12  нужно знать следующие вопросы: 1. Базовая таблица производных здесь 2. Правила дифференцирования здесь  3. Алгоритм нахождения точек экстремума  здесь 4. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке здесь 5. Теорема о единственном экстремуме здесь При решении № 12 (как и при решении№ 15 и ряда задач №17) очень важна тема «Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов». 

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у. Если есть слово " точка", то нужно искать х, если этого слова нет, то ищи у. Понятия  «точка минимума», «минимум»,  «наименьшее значение функции» на графике…здесь

Производные с нуля или Как быстро решить №12. Тесты: 1)здесь 2)здесь 3)здесь 4)здесь 5)здесь 6)здесь 7)здесь 8)здесь 

Как потерять 1 балл из 1 возможного за задачу 12? Нашли х, вот и лепите его в ответ. Какой из двух? Первый попавшийся. Не проверяйте, точно ли это точка максимума. Нужна не точка экстремума, а значение функции в этой точке? Забейте. И 0 баллов в кармане!

Графические примеры наибольших и наименьших значений функций на отрезках и интервалах здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь

Задачи  с ответами для самостоятельного решения и  самопроверки, предлагаемые авторами ЕГЭ на экзаменах прошлых лет, а также из открытого банка ФИПИ: 

1. 2021 год. Демонстрационный вариант ЕГЭ. 

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке   Решение здесь

ИЛИ

Найдите точку максимума функции  Решение здесь здесь

ИЛИ

Найдите точку минимума функции  Решение здесь

ИЛИ

Найдите точку максимума функции  принадлежащую промежутку  Решение здесь

1. 2020 год, основная волна ЕГЭ, Москва. Найдите точку минимума функции

Решение здесь или здесь

2. 2020 год, досрочная волна ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y = x^3/2 – 21х + 11. 

Решение здесь + здесь

3. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Центр. Найдите точку максимума функции

Решение здесь Ответ: -6.

4. 2018 год. Основная волна ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции

 на отрезке [−4,5;0]. Решение здесь здесь

5. 2018 год. Вариант ЕГЭ. СтатГрад. Москва. Найдите точку максимума функции

Решение здесь или здесь

6. 2018 год. Досрочная волна ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции y = (x^2+18x−18)⋅e^x на отрезке [−2;5].
Решение здесь здесь

7. 2018 год. Вариант ЕГЭ. СтатГрад. Москва. Найдите наименьшее значение функции y=13+75x−x^3 на отрезке [−5;5]. Решение здесь здесь

8. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Найдите точку минимума функции

Решение здесь

9. 2017 год. Официальный пробный вариант ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y=x^3−4x^2−3x−13. Решение здесь

10. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Найдите точку максимума функции y=(x−4)^2⋅e^(2−x) Решение здесь

11. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Найдите наибольшее значение функции y=2x^2−13x+9ln⁡x+8 на отрезке [13/14;15/14]. Решение здесь здесь

12. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y=(1−5x)cos⁡x+5sin⁡x+5 на отрезке [0;1]. Решение здесь здесь

13. 2016 год. Основная волна ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y=−x/(x^2+169). Решение здесь
14. 2016 год. Досрочная волна ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции y=121x−ln⁡(121x)+3 на отрезке [1/242;5/242]  Решение здесь здесь здесь

15. 2015 год. Основная волна ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции

  на отрезке [4;16]. Решение здесь здесь здесь
16. 2015 год. Досрочная волна ЕГЭ. Найдите наибольшее значение функции y=71x+65cos⁡x+21 на отрезке [−π;0].  Решение здесь

17. 2014 год. Демонстрационная версия 2014, 2016, 2017, 2018. Найдите точку максимума функции  Решение здесь   здесь

Исследование степенных функций. Найдите точку максимума функции y=х³-48x+17. Решение здесь Найдите точку минимума функции y = х³-3х²+2. Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y = х³-27x на отрезке [0;4]. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y = х³-3x+4 на отрезке [−2;0]. Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y = х³-х²-40x+3 на отрезке [0;4]. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y = х³+2х²-4x+4 на отрезке [−2;0]. Решение  здесь Найдите точку максимума функции y = 7+12x-х³. Решение здесь Найдите точку минимума функции y = 9х²-х³. Решение здесь Найдите точку максимума функции y = 5+9x-х³/3. Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y = 5+9x-х³/3 на отрезке [−3;3]. Решение здесь Найдите точку минимума функции y = х^3/2 - 3x+1. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y = 3x - 2х^3/2     на отрезке [0;7]. Решение здесь Найдите точку минимума функции

     Решение здесь Найдите наименьшее значение функции

      на отрезке [1;9]. Решение здесь Найдите точку максимума функции y = (х-2)² (x-4)+5. Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y = (х+3)²(x+5)-1 на отрезке [−4;−1]. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y = х⁵-5х³-20x на отрезке [−6;1]. Решение здесь

Исследование произведения функций здесь Найдите наименьшее значение функции y=(x-8)e^(x-7) на отрезке [6;8]. Решение здесь Найдите точку минимума функции y=(x+16)e^(x-16). Решение здесь Найдите точку максимума функции y=(9-x)e^(x+9).  Решение здесь Найдите точку максимума функции y=(3x^2-36x+36)e^(x+36). Решение здесь Найдите точку минимума функции y=(x^2-8x+8)e^(6-x). Решение здесь Найдите точку максимума функции y=(x-2)^{2}e^(x-6). Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y=(8-x)e^(9-x) на отрезке [3;10]. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y=(x^2-10x+10)e^(10-x) на отрезке [5;11]. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y=(x-2)^{2}e^{x} на отрезке [−5;1]. Решение здесь

Исследование частного функций здесь Найдите точку максимума функции y= - (x^2+289)/x. Решение здесь Найдите точку минимума функции y= -(x^2+1)/x. Решение здесь Найдите значение функции y=(x^2+25)/x на отрезке [1;10]. Решение здесь Найдите точку минимума функции y=25/x+x+25. Решение  здесь Найдите наименьшее значение функции y=x+36/x на отрезке [1;9]. Решение  здесь Найдите точку максимума функции y= -x/( x^2+289).  Решение  здесь

Исследование логарифмических функций здесь Найдите наименьшее значение функции y=3x- ln (x+3)^3 на отрезке [−2,5;0]. Решение  здесь Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+5)^5-5x на отрезке [−4.5;0]. Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y = 2x^2-13x+9lnx+8 на отрезке [13/14;15/14]. Решение  здесь Найдите наименьшее значение функции y = 9x-ln (9x)+3 на отрезке [1/18; 5/18]. Решение здесь Найдите точку минимума функции y=3x-ln(x+3)^3.  Решение здесь Найдите точку максимума функции y=8ln(x+7)-8x+3.  Решение здесь Найдите точку максимума функции y=2x^2-13x+9ln x+8.  Решение здесь Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+ln x-3. Решение  здесь

Исследование показательных функций здесь Найдите точку максимума функции y=11^(6x-x^2). Решение  здесь Найдите точку минимума функции y=7^(x^2+2x+3). Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y=2^(x^2+2x+5). Решение здесь Найдите наибольшее значение функции y=3^(-7-6x-x^2). Решение здесь Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x)-6e^x+3 на отрезке [1;2].  Решение здесь

Чтобы продолжить подготовку к ЕГЭ 2021, перейдите по ссылкам на другие страницы сайта:

Локация Главная страница Карта сайта

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней. E-mail:  [email protected]