Меню

Факультатив

Прямая ссылка на встроенное изображение 






Локация Главная страница Карта сайта

Математика - это здорово!

 Нет недостижимых целей, есть слабые характеры.

Израиль Гельфанд: Легенда о математическом гении

Владимир Скулачев, академик РАН, декан факультета биоинженерии и биоинформатики МГУ о том, как подросток из провинции стал лидером московских интеллектуалов.

По-настоящему великим личностям всегда сопутствуют легенды. Они помогают почувствовать дух эпохи, в которую жили и работали эти герои, понять значимость их трудов, что не всегда легко сделать, обращая внимание лишь на результаты научной деятельности. Сегодня я представляю историю о знаменитом математике Израиле Гельфанде, одном из гениев, благодаря чьим трудам меняется повседневность. Фото: "Кот Шрёдингера"

В энциклопедическом словаре об Израиле Гельфанде говорится: "…математик, основные труды по функциональному анализу, математической физике и прикладной математике". Однако мне и широкому кругу советских и российских ученых он был знаком прежде всего как организатор московских семинаров по математике и экспериментальной биологии, которые в течение многих лет определяли пульс научной мысли в нашей стране.

Израиль Гельфанд (1913-2009) - один из величайших математиков XX века, автор множества теоретических работ и прикладных исследований с применением математического метода в области физики, сейсмологии, биологии, нейрофизиологии, медицины. Родился в украинской деревне Окны. Окончив всего девять классов школы, не получив высшее образование, поступил в аспирантуру механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и уже в двадцать семь лет стал доктором наук, а в сорок - членом-корреспондентом Академии наук СССР. Гельфанд - лауреат многочисленных отечественных и международных премий; почетный доктор семи иностранных университетов, включая Гарвард и Оксфорд; почетный иностранный член Американской академии искусств и наук.

Слева направо: действительный член АН СССР Израиль Гельфанд, вице-президент академии Владимир Кудрявцев, академик Андрей Сахаров. 

Легенда о Золушке: университетский вариант

Когда Израиль Гельфанд окончил девятый класс школы в небольшом местечке под Одессой, учитель математики сказал ему: "Изя, дорогой, я больше ничему тебя не смогу научить. Езжай в Москву, найди там МГУ, а в МГУ - мехмат. Учись дальше, и ты станешь великим математиком!"

РЕКЛАМА

На механико-математическом факультете МГУ девятиклассник дошел только до секретаря деканата.

- Молодой человек, где ваш диплом об окончании средней школы? - возмутился секретарь. - Ах, у вас его еще нет! Тогда езжайте к себе назад на Украину и приходите через год, с дипломом!

Но вернуться домой Гельфанд уже не мог - так запали в душу слова учителя о великом будущем. Он решил остаться в Москве, и чтобы заработать на жизнь, устроился гардеробщиком в Ленинскую библиотеку - все как-то ближе к книгам.

Однажды его заметил там за чтением монографии по высшей математике молодой, но уже знаменитый математик Андрей Николаевич Колмогоров.

Андрей Колмогоров (1903-1987) - советский математик, академик, почетный член нескольких западных академий наук, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова, один из создателей современной теории вероятностей. Написал ряд важных работ по истории и философии математики. Был научным руководителем Израиля Гельфанда и не раз говорил про своего ученика: "Общаясь с Гельфандом, я ощущал присутствие высшего разума".

- Мальчик! Зачем ты держишь в руках эту книгу? - спросил ученый. - Ведь ты не понимаешь в ней ни строчки.

- Я извиняюсь, товарищ профессор, но вы не правы! - парировал Израиль.

- Не прав? Тогда вот тебе три задачки - попробуй решить хотя бы одну до моего возвращения. У тебя есть два часа!

Колмогоров пробыл в библиотеке дольше, чем рассчитывал, и, вернувшись за пальто, отдал номерок другому гардеробщику, совершенно забыв о поручении юному Гельфанду. Уже на выходе из вестибюля он услышал позади робкий оклик:

- Товарищ профессор! Я их решил...

Андрей Николаевич вернулся, взял у Гельфанда исписанные торопливым почерком листки, выдранные из школьной тетради, и с изумлением обнаружил, что все задачи решены, причем последняя, самая трудная - необычайно изящным и неизвестным ему способом.

- Тебе кто-то помог? - не мог поверить профессор.

- Я извиняюсь, но я решил все сам!

- Ты сделал это сам?!! Тогда вот тебе еще три задачки. Если решишь две из них, возьму на мехмат к себе в аспирантуру. У тебя на все про все четыре дня.

На пятые сутки Колмогоров появился в гардеробе Ленинки и направился прямиком к тому сектору, который обслуживал Израиль Гельфанд.

- Ну как дела? - полюбопытствовал профессор.

- Мне кажется, я их решил... - мальчик протянул математику листы с задачами.

Колмогоров погрузился в чтение. Изучив листки, ученый поднял голову, внимательно посмотрел Изе в глаза и сказал:

- Извините меня, пожалуйста, за сомнения в авторстве решений тех первых задач. Теперь я вижу, что вам никто не помогал. Дело в том, что ни в этой библиотеке, ни за ее пределами вам никто не мог подсказать решение нынешней третьей задачи: до сегодняшнего дня математики считали ее неразрешимой! Одевайтесь, я познакомлю вас с ректором МГУ.

Они застали ректора в его кабинете на Моховой. Тот сидел за столом, заваленным бумагами, и что-то напряженно писал. Ректор лишь мельком взглянул на вошедших:

- Андрей Николаевич! Мне надо срочно дописать документ, а вы врываетесь ко мне с каким-то мальчишкой!

- Простите великодушно, но это не мальчишка, а Израиль Моисеевич Гельфанд, гениальный математик, - уверенно представил Изю ректору первого университета страны Колмогоров. - Он любезно согласился пойти ко мне в аспирантуру. Прошу вас распорядиться.

Вот почему так случилось, что академик Гельфанд никогда не учился в 10-м классе и никогда не был студентом.

Математические и биологические семинары Гельфанда в течение многих лет направляли научную мысль в стране. 

Сутулый человек небольшого роста

Около пятидесяти лет назад Александр Спирин пригласил меня на биологический семинар Израиля Гельфанда. Я пришел, ничего не зная об изуверском правиле семинара: заставлять новичка делать без подготовки часовой доклад на выбранную им, новичком, тему. А говорить надо было, обращаясь к элите нашей биологической мысли: семинар был закрытым, и приглашали на него очень и очень выборочно.

Александр Спирин - биохимик, советский и российский академик, основатель и руководитель (до 2001 года) Института белка в подмосковном Пущине. С 1972 по 2012 год был заведующим кафедрой молекулярной биологии биофака МГУ им. М. В. Ломоносова.

Я уютно устроился в последнем ряду и приготовился слушать докладчика. И вот в зал вошел небольшого роста сутулый человек с живыми глазами. "Гельфанд!" - прошептал мой друг и коллега Федя Северин, толкнув меня в бок. Израиль Гельфанд сел в первом ряду, обернулся к аудитории и сказал:

- У нас сегодня новичок. Его привел Саша Спирин. Скулачев, пожалуйста, к доске. Расскажите нам что-нибудь интересное.

Хорошо, что я сел в последнем ряду: у меня было время обдумать тему доклада, пока я шел через длинный зал заседаний Института биофизики. Я решил рассказать о своей идее, что фермент - не просто очень мощный катализатор разнообразных химических процессов, а умный катализатор, который самостоятельно оценивает, так сказать, внутриклеточную конъюнктуру и решает на основании такой оценки, где, когда и в какую сторону вести ускоряемую им реакцию. К счастью, я только что отдал в печать рукопись книжки, в которой представил концепцию самонастраивающегося катализатора.

Если не сама идея, то по крайней мере способ ее аргументации показался почтенной аудитории свежим. Меня перебивали, засыпали вопросами, на которые я, по-видимому, достаточно удачно отвечал. В какой-то момент Гельфанд вдруг вскочил, обвел взглядом зал и воскликнул:

- Послушайте, где вы его нашли?!

Спирин довольно улыбнулся. И тут меня понесло как Остапа Бендера: в докладе я самую малость заступил за черту, отделяющую факты от вымысла, и на следующую пару вопросов ответил слишком нахально. Правда, быстро спохватился, да и время семинара закончилось.

- Ну что, оставляем? - спросил Гельфанд, и в зале раздался одобрительный гул.

Так я стал членом знаменитого биологического семинара и оставался в нем четверть века вплоть до его закрытия в конце 1980-х. Но только лет через десять после своего бенефиса я узнал истинное мнение Гельфанда о том докладе.

Как-то Израилю Моисеевичу показалось, что очередной докладчик немного грешит против истины во имя красоты своей концепции. Гельфанд прервал его и рассказал байку про ленинградского актера, вздумавшего написать воспоминания. Рукопись он отправил на суд московскому другу-литератору, сопроводив запиской: "Шлю мемуары. Надеюсь, ты сам поймешь, где в них правда, а где мой талант!"

- Мне кажется, вы ставите перед нами такую же задачу, пытаясь сделать доклад красивым. Но если мне надо красивое, я лучше пойду в кино! - заверил руководитель семинара и продолжил: - Помните, как Скулачев в своем первом выступлении под конец тоже скатился в красивости? С тех пор с ним такого, по-моему, больше не случалось.

Меня поразило, что он уловил огрех в докладе по специфичной теме, далекой от его научных интересов. Не менее удивительным было то, что Гельфанд ни словом не обмолвился об этом в день моего выступления, а высказался много лет спустя, позволив мне воспитать в себе чуткую и здоровую самокритичность.

Гельфанд был душой семинара, его мозговым центром, камертоном, сверяясь с которым каждый из нас, его учеников, мог безошибочно определить, достойны ли внимания наши работы.

Израиль Гельфанд (слева) и его ученик Алексей Семенов на математическом семинаре (1980-е). Сегодня Семенов - академик РАН, бывший ректор Московского педагогического государственного университета. 

Слабый пульс столичной наук

В конце 1980-х, когда наша страна погружалась в свирепый экономический кризис, Израиль Гельфанд получил ценную и престижную международную научную награду - премию Киото. В номинации по математике она присуждается всего раз в четыре года одному-единственному ученому. В это же время Гельфанда пригласили организовать лабораторию биологии нейрона в Ратгерском университете (штат Нью-Джерси, США). Израиль Моисеевич принял предложение и уехал. Так прекратились легендарные гельфандовские семинары, что стало невосполнимой потерей для интеллектуальной жизни Москвы. Ее пульс ослаб.

Через год он ненадолго вернулся и, конечно же, собрал математиков поговорить. Дело было в 536-й аудитории лабораторного корпуса "А" Института физико-химической биологии имени А.Н. Белозерского. Мой кабинет был этажом ниже.

Когда я узнал, что Гельфанд там, - опрометью бросился наверх и заглянул в аудиторию, чтобы хоть издали увидеть своего учителя. Израиль Моисеевич заметил меня и вышел в коридор. Мы стояли некоторое время, молча глядя друг на друга. Обычно я не сентиментален, но тогда на глаза навернулись слезы. Гельфанд крепко обнял меня, чуть привстал на цыпочки и поцеловал в лоб. Я понял, что моя любовь к нему не была безответной.

Шаповалов   Сайт Шаповалова 

 Виды соединений в комбинаторике

 Золотой ключик.Всероссийский математический конкурс. 

 Разбор задач первой части заданий 2013 

Решения для 4 - 5 классов 2014 года Решения для 6 - 7 классов 2014 года

Решения для 8-9 классов 2014 года

 Волшебный сундучок.Всероссийский математический конкурс

4 класс  5 класс  6 класс 7 класс 8 класс 9 класс

Учимся играя 

Воскресная Математическая Школа 

Готовимся к олимпиадам и конкурсам по математике

Олимпиады по математике для школьников 7-11 классов 

Интернет-ресурсы для подготовки школьников к участию в олимпиадах

«Кенгуру» — это массовый международный математический конкурс-игра под девизом «Математика для всех». Задачи прошлых лет. Задачи конкурса «Кенгуру». Задачи тестирования «Кенгуру — выпускникам». Задачи «Мониторинга». Задачи интернет-тестирований «Кенгуру»

Олимпиадные задания

Олимпиада «Формула Единства»/ «Третье тысячелетие»(1октября)

Домашняя математическая олимпиада для 5 класса 

Занимательная математика

Логика в задачах 

cleverstudents.ru - математика доступна каждому!

Интересные факты  о первых ста натуральных числах 

Таблица простых чисел от 1 до 10000. 

Математика онлайн 

Проект Diofant.ru 

Программа "Графические диктанты и Танграм"

Пятисот или пятиста? 10 правил употребления числительных 

Лингвистическая нумерология. Тест «МН» на умение обращаться с числительными

Тесты по математике онлайн

 Математические игры
Примеры олимпиадных задач
Для старших школьников:

Сколько лет капитану?
Сумма лет капитана и корабля - 70 лет. Сколько лет капитану, если корабль вдвое старше капитана, каким он был тогда, когда кораблю было столько же лет, сколько лет капитану сейчас?

Ответ: если от возраста корабля отнять разность возрастов корабля и капитана, мы получим возраст капитана.
Если от возраста капитана снова отнять эту же разницу возрастов, мы, по условию задачи, получим половину возраста корабля.
Следовательно, возраст корабля равен четырем разностям возрастов.
А возраст капитана равен трем разностям возрастов (на единицу меньше).

Следовательно, 70 лет - это 4 + 3 = 7 разностей возрастов. Разность возрастов равна 70 лет : 7 = 10 лет. Капитану 10 лет · 3 = 30 лет, кораблю - 10 лет · 4 = 40 лет.


Для младших школьников:

Джон сказал правду ! На званом вечере в честь дня рождения Королевы, со стола исчез кусок нарезанного пирога в тот момент, когда гостей еще не пригласили к столу.
Чтобы обезопасить себя, один из приглашенных Джон сказал :
"Те, кто отрицают, что я не ел пирог, говорят неправду."
Съел ли Джон этот кусок пирога, если то, что он говорит - правда ? Ответ: нет, не ел.

НАБОРЩИК Умные игры для умных детей, родителей, учителей.

 Грибники (по мотивам игры Баше)

 Игры типа "Анаграмма"

Игры типа "Составь слово"

Игры типа "Заполни квадрат"

Энциклопедия для школьников

Тестирование по школьной программе за 5 - 11 классы 

Головоломка с 9 точками
Просмотрите правила и примеры а затем попытайтесь решить эту головоломку. После этого вы можете увидеть решение.

 Рюмочка с вишенкой Задачи со спичками

Сможете ли вы пройти тест для 5-классников?

Мало кто может пройти этот математический тест

Детские загадки Задачи на логику Сложные задачи 10 задач 4 задачи Тест

Математический тест Тест по математике Еще тест Тесты 1-11 Лайфхакер Рамблер

Конструктор Уровень Банк Болгария Медузачтд

Гимн математике
Чтоб водить корабли ,
Чтобы в небо взлететь ,
Надо многое знать ,
И при этом , и при этом ,
Вы заметьте-ка ,
Очень важная наука
Ма-те-ма-ти-ка!
Почему корабли
Не садятся на мель ,
А по курсу идут
Сквозь туман и метель ?
Потому что, потому что,
Вы заметьте-ка ,
Капитанам помогает
Ма-те-ма-ти-ка!
Чтоб врачом, моряком
Или лётчиком стать.
Надо прежде всего
Математику знать.
И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка,
Где бы вам не пригодилась
Математика!
Слово о математике
Почему торжественность вокруг?
Слышите, как быстро смолкла речь?
Это о царице всех наук
Начинаем мы сегодня вечер
Не случайно ей такой почет.
Это ей дано давать ответы,
Как хороший выполнить расчет
Для постройки здания, ракеты.
Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, математика, даёшь
Для победы трудностей закалку,
Учиться с тобой молодёжь
Развивать и волю и смекалку .
И за то, что в творческом труде
Выручаешь в трудные моменты,
Мы сегодня искренне тебе
Посылаем гром аплодисментов.
Важное знание
В наше время, чтобы строить
И машиной управлять,
Прежде нужно уже в школе
Математику узнать.
На войне ли современной,
В годы ль мирного труда,
При расчетах непременно
Математика нужна.
Теорема Виета
По праву достойно в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь - это что за беда -
В числителе в, в знаменателе а.
Песня про треугольник
Это схоже с детскою игрой:
Сами треугольник мы сложили снова.
Первый катет - Витька, я - второй,
А гипотенуза - Светка Иванова.
Припев
И не можем мы поделать ничего,
Напрасно геометрию ругая.
Я люблю её, она - его,
А ему, как видно нравиться другая.
Ни один учебник так и не сумел
Чуточку помочь нам в этом деле.
Зря в руках крошился белый мел,
Зря в тетрадях наши перышки скрипели.
Припев
Мудрый математик, милый Пифагор,
Если речь зашла сейчас на эту тему,
То прости нас всех, что до сих пор
Мы твою понять не можем теорему.
Стихотворение о нуле
Когда-то многие считали,
Что нуль не значит ничего.
И, как не странно, полагали,
Что нуль совсем не есть число.
Но на оси средь прочих чисел,
И все действительные числа
На два разряда разделить.
Нуль ни в один из них не входит -
Он сам составил чисел класс.
О всех его особых свойствах
Мы поведём сейчас рассказ.
Коль нуль к числу ты прибавляешь,
Иль отнимаешь от него,
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.
Попав как множитель средь чисел,
Он сводит мигом всех на нет.
И потому в произведенье
Один за всех несёт ответ.
А относительно деленья,
Во-первых, нужно помнить то,
Что уж давно в научном мире
Делить на нуль запрещено.
Причина всем вам очевидна.
А состоит причина в том,
Что смысла нет в таком деленьи,
Противоречье в нём самом.
И впрямь: какое из известных
Число за частное нам взять,
Когда с нулём в произведенье
Все числа нуль лишь могут дать?
"А" в нулевой есть единица -
Так все условились считать.
Но глубоко бы тот ошибся,
Кто б это вздумал доказать.
Про число пи
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам собраться,
Оказать старинке честь.
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть.
Надо только постараться
И запомнить всё, как есть.
Три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два
И шесть!
Песня «Математика моя!»
Плюсик ты мой, я – твой минус,
Косинус ты, я – твой синус,
Ты аксиома, я – теорема,
Следствие ты, а я лемма.
Знание ты, я – шпаргалка,
Если ты нуль, то я – палка.
Ты ордината, то я – абсцисса,
Ты уголок, я – биссектриса.
Ма-те-ма-ти-ка моя…
Я ночами плохо сплю,
Математику я люблю,
Математику я давно, давно люблю.
Я и днем теперь не сплю, я и вечером не сплю,
Все учу, учу, учу, учу, учу.
Частное ты, я – делитель,
Ты знаменатель, я – числитель.
Ты мой кружок, я – твой сектор,
Ты модуль мой, я – твой вектор.
Сумма моя, а я – разность,
Дольная ты, а я – кратность,
Гипотенуза ты, я – твой катет,
Терминов нам с тобою хватит.
Ма- те-ма-ти-ка моя.

KISS

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233.Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234.27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235.Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236.Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237.В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238.По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.Решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3) −109 = 0. В ответе укажите сумму его корней.

3226.Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2;   2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227.Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228.Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229.При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230.Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231.Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

3218.Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219.Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220. Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221.Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222.У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223.Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224.На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 331. Чему равен куб суммы этих чисел?

3212.При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213.В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214.Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215.На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216.В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217.Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?

К началу