vivat2.okis.ru

Локация Главная страница Карта сайта

Прототипы задания 19 профиля ЕГЭ - 2021

Тема заданий № 19  "Числа и их свойства"

Типы заданий № 19: Числа и их свойства Числовые наборы на карточках и досках Последовательности и прогрессии Сюжетные задачи: кино, театр, мотки веревки

За задание № 19 можно получить 4 балла. На решение дается около 40 минут. Уровень сложности: высокий. Средний процент выполнения: в 2019 году 3.2%, в 2020 году 10,3%. Ответом к заданию 19 по математике должен быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). Требования ФИПИ к профильному уровню здесь

Что требуется в № 19? Решить задачу на числа и их свойства. Особенности. Это самая сложная задача экзамена, олимпиадного уровня, она оценивается в четыре первичных балла. Тем не менее материал для ее решения школьники проходят еще в 6-8 классе. Задание требует хорошего логического мышления и математической культуры. Полезные советы. Повторите основные признаки делимости целых чисел, вспомните понятия «НОК/НОД», выучите формулы арифметической и геометрической прогрессии. «Прорешайте» типовые задания. Последние два задания ЕГЭ (№ 18 и № 19) — это прямая заявка на 100 баллов.

Критерии оценки решения № 19
4 балла   Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

3 балла   Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

2 балла   Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

1 балл   Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение п. а);
— обоснованное решение п. б);
— обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. в);
— оба набора задуманных чисел в п. в)

0 баллов   Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Задание № 19 часто остается нетронутым школьниками, но именно оно может принести хороший балл в твою копилочку.  Как правило, задача 19 состоит из двух или трёх пунктов, среди которых есть совсем несложные. Самый легкий пункт а), который в некоторых случаях решается с помощью конструкции соответствующего числового примера; пункт б) сложнее, и самый сложный − пункт в), при решении которого обычно полезны результаты решений а) и б).За всю задачу даётся 4 первичных балла, по 1-2 балла за каждый пункт. Поэтому, сделав хотя бы часть задачи (скажем, просто предъявив нужный пример в одном из пунктов), можно получить себе в копилку дополнительные первичные баллы. А они дадут прирост итогового результата по стобалльной шкале! Для решения задачи 19 необходим минимальный запас знаний. Это арифметика 6-го класса (всё, что связано с делимостью) и сведения по прогрессиям из алгебры 9-го класса. Больше ничего. Почему же задача 19 считается (и, в общем-то, является) самой сложной на ЕГЭ по математике? Она нестандартна. Она требует так называемой математической культуры — умения грамотно строить рассуждения. А умение это у подавляющего большинства школьников отсутствует — ведь в школе, к сожалению, до развития математической культуры дело обычно не доходит. Учиться культурно рассуждать можно и обязательно нужно. Задача 19 предоставляет для этого отличную возможность. Получаться начнёт далеко не сразу, так что готовиться к № 19 следует начинать задолго до ЕГЭ. Рецепт тут один: решать, решать и решать. Чтобы решить задание 19 нужно знать признаки делимости, прогрессии и уметь применять их для решения различных задач.

Множество здесь  Операции над множествами здесь Делимость. Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b. Если числа делится на b, то пишут a⋮b. Пример. 95⋮5 так как 95=5⋅19 НОД и НОК Наиболее важные признаки делимости здесь здесь Соображения, связанные с чётностью или нечётностью, часто фигурируют в задачах 19. Необходимые факты, связанные с четностью или нечетностью здесь

Сканы решений № 19 участниками ЕГЭ 2020: 1) (условие здесь решение здесь здесь здесь) поставили 4 балла  из 4. 2) 2 балла из 4 здесь 3) 1 балл из 4 здесь

Как обосновывается провал в задаче 19? Многабукафф. Не утомляете себя столь долгим чтением, ну и что с того, что с первым пунктом способен справиться вменяемый семиклассник? Итого: 0 баллов.

 И в двух словах об общей стратегии поведения.Для полнейшего проваланужно выбрать для себя одну из двух крайних позиций: 

Стратегия первая «Мне все пофиг». Набросайте что-нибудь по-быстрому и через час-полтора можете идти за шаурмой. Ничего не проверяйте, слишком энергозатратно. Задачи, требующие хоть каких-то умственных усилий, пропускайте, не царское это дело. В конце концов, можно в армию/замуж сходить. Стране нужны рабочие руки. 

Стратегия вторая «Мы все умрем».Истерите. Истерите постоянно. Для усиления эффекта лучше начинать истерику заранее, по возможности впадайте в панику за несколько дней. Во время экзамена нужно обязательно порыдать как следует, желательно не менее трех раз. Тогда уж точно времени на нормальную продуктивную работу не останется.

Задачи  с ответами для самостоятельного решения и  самопроверки,

предлагаемые авторами ЕГЭ на экзаменах прошлых лет, а также из открытого банка ФИПИ: 

1. 2021 год. Демонстрационный вариант ЕГЭ.  Критерии здесь  В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.  Решение здесь

ИЛИ

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех чисел. Решение здесь

1. 2021 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь Критерии здесь

2. 2021 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь здесь здесь Критерии здесь

3.  2021 год. Вариант 11 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

4.  2021 год. Вариант 17 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

5.  2021 год. Вариант 21 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь Критерии здесь

6.  2021 год. Вариант 27 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь здесь Критерии здесь

7.  2021 год. Вариант 31 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

8. 2020 год, основная волна, Санкт-Петербург. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение здесь здесь

9. 2020 год,основная волна, Москва. На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150? Решение здесь

10. 2020 год, основная волна, Краснодар. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а) Может ли сумма составлять 282?

б) Может ли их сумма составлять 390?

в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226? 

Решение здесь здесь здесь

11.  2020 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь здесь Критерии здесь 

12.  2020 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь Критерии здесь

13.  2020 год. Вариант 11 ЕГЭ. Ященко условие  здесь  Решение здесь здесь Критерии здесь

14.  2020 год. Вариант 17 ЕГЭ. Ященко условие здесь здесь Решение здесь здесь здесь Критерии здесь

15. 2020 год. Вариант 22 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь здесь Критерии здесь

16. 2020 год. Вариант 27 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь Критерии здесь

17.  2020 год. Вариант 32 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь здесь Критерии здесь

18. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Центр. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а) Может ли быть 10 синих карточек?

б) Может ли быть 10 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть? Решение здесь Критерии здесь

19. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Дальний восток. Дана последовательность из 100 натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на 98 меньше.
а) Может ли последовательность состоять из 5 чисел?
б) Какое может быть если 
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности. Решение здесь здесь

20. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь здесь здесь

21. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

22. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь 

23. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь здесь

24. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь здесь

25. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

26. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

27. 2018 год. Основная волна ЕГЭ. На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15. 

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3? 

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? 

в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.
Решение здесь здесь здесь

28. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.

 а) Может ли на доске быть написано число 230?

б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске? Решение здесь 

29. 2017 год. Досрочная волна ЕГЭ.  На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем известно, что произведение любых двух из них больше 40, но меньше 100. 

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел? Решение здесь

б) Может ли на доске быть написано 6 чисел? Решение здесь

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их количество равно 4? Решение здесь

30. 2017 год. Официальный пробный ЕГЭ. Известно, что a,b,c,d – попарно различные положительные двузначные числа.   

а) Может ли выполняться равенство (a+c)/(b+d)=7/23 ?   Решение здесь

б) Может ли дробь (a+c)/(b+d) быть в 12 раз меньше, чем сумма a/b+c/d ?   Решение здесь

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь (a+c)/(b+d), если a >4b и c >7d ? Решение здесь

31. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в 3 раза.   

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел, сумма которых равна 47?   Решение здесь

б) Может ли на доске быть написано 10 чисел, сумма которых равна 94?   Решение здесь

в) Сколько чисел может быть написано на доске, если их произведение равно 8000? Решение здесь
32. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то — зеленые. Все красные числа кратны 8, а зеленые – кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, все зеленые числа также отличаются друг от друга. Но между красными и зелеными числами могут быть одинаковые.   

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395=3+6+⋯+90, если на доске написаны только кратные 3 числа? Решение здесь

б) Может ли на доске быть написано только одно красное число, если сумма всех записанных на доске чисел равна 1066? Решение здесь

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть написано на доске, если сумма всех чисел равна 1066? Решение здесь здесь
33. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на 4 или 8. Известно, что сумма чисел, написанны х на доске, равняется 2786.   а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на 4, и чисел, оканчивающихся на 8? Решение здесь

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8? Решение здесь

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске? Решение здесь

34. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Каждый из 28 студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно S.  

 а) Приведите пример, когда S<15. Решение здесь здесь

б) Могло ли значение S быть равным 5? Решение здесь

в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные писали только 10 студентов? Решение здесь
35. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 194 получается число 1109134). 

а) Приведите пример числа, из которого получается число 176148179. Решение здесь

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 3107611090? Решение здесь

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа? Решение здесь
36. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 194 получается число 1109134). 

а) Приведите пример числа, из которого получается число 411781109. Решение здесь

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 210811495? Решение здесь

в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток? Решение здесь

37. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.

 а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

 б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? Решение здесь здесь 

38. Перед каждым из чисел 6, 7, . . . , 11 и 9, 10, . . . , 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 54 полученных результата складывают. 

а) Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в итоге?

б) Какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Решение  здесь  здесь

39. Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28. Решение  здесь  здесь  здесь

40. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046. 

а) Может ли в последовательности быть три члена? 

б) Может ли в последовательности быть четыре члена? 

в) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов? Решение  здесь здесь  здесь

41. Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают. 

а) Может ли в результате получиться 0? 

б) Может ли в результате получиться 1? 

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? Решение здесь  здесь 

42. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3 /11 от общего числа уч-ся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 3 /7 от общего числа учащихся группы, посетивших кино. 

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? 

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? 

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)? Решение здесь здесь здесь

43. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают. 

а) Может ли в результате получиться 0? 

б) может ли в результате получиться 1? 

в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата? Решение  здесь  здесь здесь

44. По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх, подряд идущих чисел, должно быть хотя бы одно положительное. 

а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных. 

б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных. Решение здесь здесь

45. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Решение  здесь  здесь  здесь

46. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и а) пять из них образуют геометрическую прогрессию; 

б) четыре из них образуют геометрическую прогрессию;

в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Решение здесь  здесь здесь

Чтобы продолжить подготовку к ЕГЭ 2021, перейдите по ссылкам на другие страницы сайта:

Локация Главная страница Карта сайта

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней. E-mail:  [email protected]