vivat2.okis.ru

ЦДОД «Дистантное обучение» и ЮМШ при СПбГУ

Интернет-карусель 5-6 классов

1. Четыре царевны загадали по двузначному числу, а Иван загадал четырёхзначное число. После того, как они написали свои числа в ряд в каком-то порядке, получилось число 132040530321. Найдите число Ивана.

Ответ: 5303

Решение. Переберем все возможные 9 вариантов для числа Ивана: 1320, 3204, 2040, 0405, 4053, 0530, 5303, 3032, 0321. Так как у Ивана четырехзначное число, то из них не подходят 3 трехзначные числа: 0405 = 405, 0530 = 530 и 0321 = 321. Число 3204 невозможно, так как слева от него в числе 132040530321 стоит однозначное число. Число  3032 невозможно, так как справа от него в числе 132040530321 стоит однозначное число. Число 1320 не подходит, так как остальная часть числа, данного в условии,  разбивается на фрагменты из двух соседних цифр: 40, 53, 03, 21, а фрагмент 03 невозможен, так как не является двузначным числом. По той же причине не подходят числа 2040 и 4053. В качестве числа Ивана подходит только 5303.

2. Квадрат 300×300 разбит красными линиями на «вертикальные» прямоугольники 3×2, а синими линиями — на «горизонтальные» прямоугольники 2×3.  Сколько получится отдельных квадратиков 1×1, если провести разрезы по всем линиям?

Ответ: 10000.

Решение. Разобьем квадрат 6х6 красными линиями на «вертикальные» прямоугольники 3×2, а синими линиями — на «горизонтальные» прямоугольники 2×3. Он включает 4 квадратика 1х1. Квадрат 300х300 имеет в своем составе (300:6)х(300:6) = 50 х 50 = 2500 квадратов 6 х 6, каждый из которых включает 4 квадратика 1х1. Значит, квадратиков 1х1 получится 2500 х 4 = 10000.

3. В классе 28 человек. Преподаватель физкультуры выяснил, что девочек, умеющих плавать, в четыре раза больше, чем мальчиков, не умеющих плавать, а мальчиков, умеющих плавать, в пять раз больше, чем девочек, не умеющих плавать. Сколько в классе девочек?

Ответ: 11.

Решение. Пусть количество не умеющих плавать мальчиков равно х, а не умеющих плавать девочек - у (х и у - натуральные числа). Тогда по условию имеем:

4х + у + 5у + х = 28, т. е. 5х + 6у = 28. Откуда у = (28-5х)/6.

Так как у – натуральное число, то перебор натуральных чисел х ограничивается числами: 1; 2; 3; 4 и 5. При этом только при х = 2 получаем натуральное число у = 3.
 Девочек в классе у + 4х, т. е. 3 + 4ˑ2 = 11.

4. Из доски 8×8 Миша вырезал по клеткам прямоугольник, а Ксюша разрезала его (тоже по клеткам) на 9 фигурок, и все фигурки оказались разной площади. Какова минимально возможная площадь Мишиного прямоугольника?

Ответ: 48.

Решение. Если 9 фигурок разной площади, то минимально возможная площадь Мишиного прямоугольника равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Но 64 – 45 = 19 клеток оставить не получится. А вот 64 – 48 = 16 = 8х2 вырезать просто. Останется прямоугольник Миши 6х8,  который можно заполнить фигурками с площадями, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, например, так:

5. Астролог считает год удачным, если сумма первой и третьей цифры в его номере равна сумме второй и четвёртой. Например, 2013 год — удачный. Сколько удачных лет в XXI веке?

Ответ: 8.

Решение. Удачные числа следует искать среди натуральных чисел  от 2000 до 2099. Первая цифра у них 2, вторая цифра – 0. Вместо третьей цифры подставляем 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и получаем значения четвертой цифры: 2 + 0 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 2 + 5 = 7, 2 + 6 = 8, 2 + 7 = 9.  Следовательно, в XXI веке 8 удачных лет:  2002, 2013, 2024, 2035, 2046, 2057, 2068, 2079.

6. Кошке Марусе нужно было покормить и помыть 15 котят. Маруся покормила 8 котят и помыла 9 котят. После этого выяснилось, что ровно 5 котят покормлены, но не помыты. Сколько котят не покормлены и не помыты?

Ответ: 1.

Решение. Вычтем из общего количества котят число подкормленных, но не помытых: 15 – 5 = 10. Из этих 10 котят 9 помыты. Тогда 10 – 9 = 1 – столько котят, которые  не помыты и не покормлены.

7. На кольцевой трассе длиной 100 км стоят километровые столбы с номерами от 0 до 99. Два автомобиля, стартовав от столба с номером 83 в разные стороны, первый раз встретились у столба 8. После этого более медленный автомобиль поехал в обратную сторону, а быстрый продолжил движение. У какого столба автомобили встретятся в следующий раз? Скорость каждого из автомобилей постоянна.

Ответ: 32.

Решение. Более медленный автомобиль проехал от 83 столба до 8 столба 25 км: 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значит, следующая встреча автомобилей произойдет, когда медленный автомобиль проедет еще 25 км: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32. Таким образом, автомобили встретятся во второй раз у столба под номером 32.

8. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых произведение цифр меньше трёх?

Ответ: 174.

Решение. Если хотя бы одна цифра равна 0, то произведение цифр 0 < 3. Найдем требуемое количество чисел в каждой сотне с  цифрой 0. В  первой сотне имеем: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, т. е. 19 таких чисел. По столько же во 2-й, в 3-й, в 4-й, в 5-й, в 6-й, в 7-й, в 8-й и в 9-й сотнях.  Общее количество таких  чисел  равно 19*9=171. Учтем, что в первой и второй сотнях есть еще числа 111, 112, 211, удовлетворяющие условию задачи. Значит, существует 171 + 3 = 174 трёхзначных чисел, у которых произведение цифр меньше трёх.

9. В углу клетчатой доски 7×7 стоит слон-скакун. За ход слон-скакун может прыгнуть через одну клетку по диагонали. На каком наибольшем количестве клеток может побывать слон-скакун?

Ответ: 25.

Решение. Поскольку слон двигается только по диагонали, он может ходить только по клеткам одного цвета и никак не попадет на клетки другого цвета. Если доска имеет размеры 7 х 7, то общее количество клеток на ней 49. Тогда черные и белые клетки распределятся как 24 и 25. Мы не знаем, на какой клетке стоит слон, но максимальное количество - 25.

10. Напишите наименьшее чётное восьмизначное число с суммой цифр 52.

Ответ: 10799998.

Решение. Число будет наименьшим, если первые его цифры будут наименьшими возможными. Для образования суммы 52 последние цифры должны быть максимальными возможными. Самая последняя цифра 8 –  это наибольшая четная цифра. Далее перед 8 ставим девятки. Так как 52 – 8  = 44, 44 – 9 = 35, 35 – 9 = 26, 26 – 9 = 17, 17 – 9 = 8, то возможно поставить 4 девятки. Следовательно, уже есть 5 цифр (одна восьмерка и четыре девятки), а сумма оставшихся 3 цифр равна 8. Но 8 – 8 = 0 не подходит (дает только две цифры - 8, 0). Тогда 8 – 7 = 1, 1 – 1 = 0 и имеем еще три цифры 7, 0, 1. Значит, искомое число 10799998.

11. Назовём числа 3 и 13 счастливыми. Найдите наибольшее натуральное число, которое не представимо в виде суммы нескольких (не обязательно различных) счастливых чисел.

Ответ: 23.

Решение. Число 13 используем, чтобы получить 13 и 26. Далее 13х3 – это 13 слагаемых по 3, т. е.  39 получаем с помощью числа 3. Далее для представления чисел в виде суммы уже можно пользоваться полученными числами и числом 3, так как при прибавлении 3 к полученным числам можно получить число с любой последней цифрой, т. е. остальные числа можно представить в виде суммы слагаемых, которые равны либо 3, либо 13.

27 = 3х9,  28 = 13 + 3х5, 29 = 13х2 + 3х1,

30 =3х10,  31 = 13 + 3х6, 32 = 13х2 + 3х2,…

39 = 3х13, 40 = 13 + 3х9,   41 = 13х2 + 3х5,

42 = 3х14, 43 = 13 + 3х10, 44 = 13х2 + 3х6,

45 = 3х15, 46 = 13 + 3х11, 47 = 13х2 + 3х7,…

Посмотрим, какое из чисел, меньшее 26, нельзя представить в таком виде.

25 = 13 + 3х4, 24 = 3х8, 23 = 13 + 10 – наибольшее число, которое нельзя представить в нужном виде (ни 23, ни 10 не делятся на 3).

12. В автомате по продаже каучуковых мячиков лежат 10 белых, 20 синих, 30 чёрных и 40 красных мячиков. В автомат можно бросить монетку и получить мячик случайного цвета. Миша бросает монетки по одной и после каждого броска считает, сколько у него мячиков каждого цвета. Когда все четыре числа оказались различны, он останавливается. Какое наибольшее число монеток может понадобиться Мише?

Ответ: 91.

Решение. 40 + 30 + 20 + 1 = 91.

13. Гриша из всех цифр составил десятизначное нечётное число. При этом сумма любых двух соседних цифр меньше десяти. Какое число составил Гриша?

Ответ: чисел, удовлетворяющих условию 21, например, 9081726345.

Решение. Цифра 9 находится с краю. Рядом с ней 0. Если в начале 90, то 8 не может находиться в самом конце, и тогда оно между 0 и 1. Получается 9081.... Если 9 в конце, то получаются варианты 81...09 и ...1809.

Далее цифра 7 находится на крайнем месте из числа оставшихся. Варианты такие: 908172..., 9081...27, 8172...09, 81...2709, 72...1809, ...271809.

На оставшихся местах находятся цифры 3, 4, 5, 6. При этом 6 стоит на крайнем из них. Вариантов, когда оно первое из четырёх, столько же, сколько когда оно последнее. Пусть оно первое; тогда далее идёт 3, а за ним 45 или 54. Всего будет 4 варианта: 6345, 6354, 5436, 4536. Любой из них можно вставить вместо многоточий в 5 выписанных выше вариантов кроме первого. Для первого годится только одно продолжение с цифрой 5 в конце. Итого: может быть 21 число.

14. Катя выписала на доске все чётные числа от 2 до 200. Какая цифра была выписана наибольшее число раз?

Ответ: 1.

Решение. От 2 до 200 включительно было выписано 100 четных чисел. 50 из них являются трёхзначными и начинаются на 1. Следовательно, наибольшее число раз выписана цифра 1.

15. На острове есть два племени — рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Как-то собралась компания из 25 островитян. У каждого спросили, сколько среди них лжецов. Два человека сказали «Два», 4 человека — «Меньше четырёх», 6 человек — «Меньше шести», 13 человек — «Меньше тринадцати». Так сколько среди них лжецов, если известно, что в компании есть представители обоих племён?

Ответ: 12.

Решение. Допустим, два первых человека были рыцарями, тогда они сказали правду, и лжецов на острове действительно двое. Но верными являются также все остальные утверждения, так как 2 < 4, 2 < 6 и 2 < 13. Это значит, что все остальные, включая двух лжецов, сказали правду, чего быть не может. Значит, эти двое - были лжецами.

Теперь допустим, что следующие 4 человека сказали правду. Тогда получится, что лжецов меньше 4, но два из них уже высказывались первыми, значит лжецов трое, так как 3 < 4. Тогда из оставшихся 6 и 13 человек один лжец, а остальные рыцари, чего быть не может, так как лжец и рыцарь не могут говорить одно и то же. Значит, эти четверо тоже лжецы.

Пусть следующие 6 человек сказали правду. Этого быть не может, так как первые 2 и 4 человека соврали, значит лжецов уже 6, а эти утверждают, что лжецов меньше 6. Следовательно, эти 6 человек тоже соврали, и всего лжецов на острове получается как минимум 2 + 4 + 6 = 12 человек.

Тогда, оставшееся количество человек на острове равно 25 - 12 = 13. Все 13 человек, утверждают, что лжецов на острове меньше 13. Что верно, если предположить, что лжецов всего 12. Если же эти 13 человек соврали, то получится, что на острове все люди лжецы, чего не может быть по условию. Значит, лжецов 12, а рыцарей 13.

16. Петя сосчитал числа 1×2, 2×3, 3×4, …, 998×999, 999×1000. У скольких из них последние две цифры — нули?

Ответ: 19.

Решение. Среди 1000 первых натуральных чисел оканчиваются на два нуля 10 (100,200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000). Они участвуют в умножении 2 раза (кроме 1000). Поэтому всего таких чисел 19.