vivat2.okis.ru

Добро пожаловать на наш сайт!

Меню

Олимп 8 класс

Локация Главная страница Карта сайта

Готовься к олимпиаде по математике

Этот базовый курс олимпиадной математики для учащихся 8 класса включает в себя темы: разнобой; логика; движение; формула включений-исключений; комбинаторика: число перестановок, размещения, число сочетаний; разные задачи.

Олимпиадная математика — штука особенная, можно сказать, отдельная дисциплина. Ведь здесь на первое место выходят не аккуратность и умение считать, а нестандартные методы и подходы. Предлагаемые ниже материалы предназначены для учителей, а также для учащихся, которые желают стать настоящими чемпионами и не боятся нестандартных задач.

Задачи для знакомства

1. В бассейн размерами 20×100 метров налили 1000000 литров воды. Можно ли в нем устроить соревнования по плаванию? Ответ Решение

2. На сколько частей могут делить плоскость четыре различные прямые? Для каждого возможного случая нарисуйте пример, а невозможность других случаев докажите. Ответ Решение

3. Что больше: ²⁰⁰⁹/₂₀₁₀ или ²⁰¹⁰/₂₀₁₁? Ответ Решение

4. Десятикилограммовый арбуз содержал 99% воды. Потом он усох, и воды в нем стало 98%. Найдите вес арбуза после усыхания. Ответ Решение

5. Каждый день в 12:00 из Москвы во Владивосток и из Владивостока в Москву отправляется скорый поезд. Поезд идет ровно 7 суток. Пассажир выезжает из Владивостока. Сколько встречных поездов «Москва–Владивосток» он насчитает, пока приедет в Москву? Ответ Решение

Примечание: расписание движения поездов дальнего следования на всей территории России привязано к московскому времени.

6. На чаепитие собралось 25 ребят. Каждый принес по два пирожных. Все пирожные разложили на 25 тарелок (по две штуки на тарелку). Докажите, что как бы ни были размещены пирожные, можно так раздать тарелки ребятам, что каждому достанется хотя бы одно пирожное, которое он сам принес. Решение

7. Решите ребус: 3 × 1xy = z36 (x, y, z — цифры; abc обозначает число, составленное из цифр a, b, c в указанном порядке). Ответ Решение

8. С помощью карандаша и линейки нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки. Ответ Комментарий

9. Леня и Паша спускаются по движущемуся вниз эскалатору, не пропуская ступенек. Паша успевает сделать три шага, пока Леня делает два. Паша, пока спускался, успел сделать 45 шагов, а Леня — только 40. Сколько ступенек в видимой части эскалатора? Ответ Решение

Разнобой

1. Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа. Решение Ответ
2. На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса: Поклоняетесь ли Вы богу Солнца? Поклоняетесь ли Вы богу Луны? Поклоняетесь ли Вы богу Земли? На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове? Решение Ответ
3.Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем ^{(AB + AC − BC)}/₂ Решение

4. Есть два бикфордова шнура различной длины и непостоянной толщины. Известно, что каждый сгорает ровно за одну минуту. Как при помощи этих шнуров отмерить ровно 45 секунд? Решение

5. Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда существуют два, разность или сумма которых делится на 100. Решение

6. На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял. Решение

7. Из картона склеен кубик. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход можно разрезать кубик по любому ребру. Проигрывает тот, после чьего хода кубик развалится. Кто выиграет при правильной игре? Решение Ответ Логика

1.Кого больше: котов, кроме тех котов, которые не Васьки, или Васек, кроме тех Васек, которые не являются котами? Ответ Решение

2. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было написано 100 следующих утверждений: «В этой тетради ровно одно неверное утверждение». «В этой тетради ровно два неверных утверждения». ... «В этой тетради ровно сто неверных утверждений». Какие из написанных утверждений верные? Ответ Решение

3.Докажите нелогичность следующих рассуждений, приведя контрпример. a) Все студенты нашей группы — члены клуба «Спартак». А некоторые члены клуба «Спартак» занимаются спортом. Следовательно, некоторые студенты нашей группы занимаются спортом. b) Некоторые студенты нашей группы — болельщики «Спартака». А некоторые болельщики «Спартака» занимаются спортом. Следовательно, некоторые студенты нашей группы занимаются спортом. Пояснение Решение

4. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Что написано на противоположных сторонах карточек, неизвестно. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано чётное число, то на другой — гласная буква»? Ответ Решение

5.Каждый туземец острова Амба — честняга или лжец. а) Перед вами два туземца. На вопрос «Вы — честняга?» первый буркает что-то неразборчивое. Второй приходит на помощь: «Мой друг ответил «да». Но не верьте ему — он лжец». Кто эти туземцы? b) Один из другой пары туземцев говорит: «Хотя бы один из нас — лжец». Ваши выводы? c) Что вы подумаете, услышав от одного из двух туземцев фразу «Мы оба лжецы»? d) А услышав «Если я честняга, то мой друг лжец»? Ответ Решение

6.Часть жителей некого острова всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», то есть «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню? Ответ Решение

7. a) Перед вами трое — лжец, честняга и хитрец (говорит правду или ложь по своему усмотрению), которые знают, кто из них кто. Как и вам это узнать? Вопросы можно задавать в любом количестве любому из троих.
b) Перед вами четверо — лжец, честняга и два хитреца (все четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто он. Решение

Движение

При решении задач на движение лучше всего сразу обозначить все неизвестные величины переменными и записать условие при помощи уравнений. Помочь в этом может схема движения (пример ее составления приведен в решении задачи 5). Единственная формула, которая может понадобиться при составлении уравнений, — это определение скорости V = S/t (V — скорость, S — пройденный путь, t — время), а также получающиеся из него формулы S = V·t и t = S/V.

Следите за тем, чтобы все величины были выражены в одной системе единиц измерения. Если расстояния измеряются в метрах, а время в секундах, то скорость должна измеряться в метрах в секунду. Если же расстояния измеряются в километрах, а время в часах, то скорость должна измеряться в километрах в час. При составлении уравнений проверяйте, что в левой и правой частях стоят величины, измеряемые в одних и тех же единицах (чтобы не приравнивать, скажем, секунды и километры). При переводе величин из одной системы единиц в другую полезно помнить, что 10 м/с = 36 км/ч (проверьте это самостоятельно).

1. Водитель маршрутки знает: чтобы успеть доехать из Москвы в аэропорт «Шереметьево–2», не отстав от расписания, он должен ехать без остановок со скоростью 50 км/ч. Но поскольку на первой половине пути он попал в пробку, ему пришлось ехать со скоростью 25 км/ч. Однако на второй половине пути движение было свободное, и ему удалось проехать её со скоростью 100 км/ч. Успел ли он вовремя? Ответ Решение

2. Обычно Вася ездит от дома до школы и обратно на автобусе, но сегодня вечером родители решили забрать его из школы на машине (машина едет той же дорогой, что и автобус), и Вася заметил, что за весь день он потратил на дорогу в полтора раза меньше времени, чем обычно. Во сколько раз автобус медленнее машины? Ответ Решение

3. Петя выходит из дома в школу в восемь утра, а возвращается в половине третьего днем. Всю дорогу он идет пешком без остановок, причем в горку он идет со скоростью 3 км/ч, под горку — 6 км/ч, а по ровным участкам — 4 км/ч. Каково расстояние от его дома до школы, если занятия в школе длятся шесть часов? Ответ Решение

4. Коля, сбегая вниз по спускающемуся эскалатору метро, насчитал 100 ступенек, а Ваня, который бежал вниз с такой же скоростью по поднимающемуся эскалатору, насчитал 300 ступенек. Сколько ступенек в видимой части эскалатора? Ответ Решение

5. Речной трамвайчик тратит на дорогу от причала «Воробьевы горы» до причала «Парк им. Горького» в полтора раза меньше времени, чем он тратит, плывя с той же скоростью в обратном направлении. Однажды на пути от причала «Парк им. Горького» у него заглох двигатель, который смогли завести только через 20 минут. На сколько минут он опоздал на «Воробьевы горы»? Ответ Решение

6. Моторная лодка и катер состязаются в скорости на реке. При движении по течению катер затратил на всю дистанцию в полтора раза меньше времени, чем лодка, при этом лодка каждый час отставала от него на 8 км. А когда они плыли против течения, лодка затратила на ту же дистанцию в 2 раза больше времени, чем катер. Каковы скорости катера и моторной лодки? Ответ Решение

7. Катер плывет вверх по реке. Проплывая под мостом, он потерял спасательный круг. Через 10 минут экипаж обнаружил потерю и развернул катер. Какова скорость течения реки, если круг они догнали в одном километре от моста? Ответ Решение
Формула включений-исключений

1. Пусть P – множество прямоугольных треугольников, R – множество равнобедренных треугольников и S – множество равносторонних треугольников. Изобразите эти множества с помощью кругов Эйлера. Ответ
2. Все девочки в классе увлекаются вязанием или шитьем. Сколько девочек в классе, если вязанием занимаются 15 человек, шитьем – 20, а вязанием и шитьем – 10? Решение Ответ
3. Докажите формулу включений – исключений для двух множеств: |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|Решение
4. В поход ходили 80% учеников класса, а на экскурсии было 60% класса, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там? Решение Ответ

5. В первом классе читать умеют 12 учеников, считать – 8, писать – 9; читать и писать – 4, читать и считать – 5, писать и считать – 3; читать, писать и считать – 2; 6 учеников до сих пор ничему не научились. Сколько учеников в классе? Решение Ответ
6. Докажите формулу включений – исключений для трех множеств: |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩С|-|A∩B|-|C∩B|+|A∩B∩C|Решение
7. В комнате площадью 6 м² постелили три ковра произвольной формы площадью 3 м² каждый. Докажите, что какие-либо два из них перекрываются по площади, не меньшей 1 м². Решение
8. В классе учится a(1) учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, a(2) учеников, получивших не менее двух двоек, и т.д., a(k) учеников, получивших не менее k двоек. Сколько всего двоек в этом классе? (Предполагается, что ни у кого нет более k двоек). Решение Ответ

Комбинаторика

I. Перестановки `n` элементов

Допустим, мы выбираем все n элементов из множества, содержащего n элементов, упорядоченным образом. Такие размещения n элементов называются перестановками n элементов. Число перестановок n элементов обозначается через P_n.

Утверждение. P_n = n!, где n! = 1·2·…·n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n (читается «эн факториал»).
Доказательство. Будем строить произвольную перестановку n элементов. На первое место мы можем поставить любой из n элементов. После того, как первый элемент выбран, остается (n-1) способ выбрать второй элемент из оставшихся. Для каждого способа выбрать первый и второй элементы есть (n-2) способа выбрать третий элемент, и так далее. Если уже выбран (n-1) элемент перестановки, остается единственный способ выбрать последний элемент. Таким образом, чтобы посчитать количество возможных перестановок n элементов, нужно все эти числа перемножить: P_n = n·(n-1)·(n-2)·…·2· 1 = n!. Утверждение доказано.

II. Размещения из `n` элементов по `k`

1. Пусть у нас есть множество из n элементов, из которых мы хотим выбрать упорядоченные k различных элементов (то есть выбрать первый элемент, второй элемент и так далее вплоть до k-го). Каждый способ это сделать называется размещением без повторений. Способы считаются различными, если хотя бы на одном месте в них стоят различные элементы. Число таких способов называется числом размещений без повторений и обозначается A_n^k(читается: «а из эн по ка»).

Утверждение.

A_n^k	=	`n`·(`n`-1)·…·(`n`-`k`+1)	=	`n!`
				(`n`-`k`)`!`

Докажите это утверждение самостоятельно по аналогии с предыдущим. Его доказательство в частном случае фактически проводится при решении задачи 3.2.

Следствие. P_n = A_nⁿ.

2. Число способов выбрать упорядоченные k элементов из n, если им разрешено повторяться, называется числом размещений с повторениями и обозначается как A_n^k. Формула для его нахождения приводится в ответе к задаче 3.7.

III. Сочетания из `n` элементов по `k`

1. Мы выбираем из n элементов неупорядоченные k различных элементов. Каждый способ это сделать называется сочетанием из n элементов по k. Различные сочетания отличаются друг от друга составом, но не порядком элементов. Число сочетаний из n элементов по k (нетрудно заметить, что это в точности число подмножеств из k элементов в множестве из n элементов) обозначается C_n^k. Формула для его нахождения приведена в задаче 4.2.

2. Допустим, что у нас есть n различных типов элементов. Тогда комбинация из k элементов, при условии, что элементы одного типа могут встречаться несколько раз и порядок элементов в комбинации не важен, называется сочетанием с повторениями из n элементов по k. Число сочетаний с повторениями обозначается C_n^k. Формула для его нахождения приведена в задаче 4.6.

Задачи

Размещения

3.1.На вершину горы ведут пять тропинок. a)Сколько у туриста есть способов подняться на гору и потом спуститься с нее? b)А если турист не хочет спускаться по той же дороге, по которой он поднимался? Ответ Решение
3.2.Пираты подняли бунт и захватили корабль. Теперь им нужно выбрать из своих рядов капитана, его первого помощника и боцмана. Сколькими способами они могут это сделать, если пиратов: а) 4. b) 6. c) 20 и им ещё нужно выбрать кока? Ответ Решение
3.3. Сколькими способами 15 пронумерованных бильярдных шаров могут распределиться по шести лузам? Ответ Решение
3.4. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (то есть дать каждому студенту чашку, блюдце и ложку)? Ответ Решение
3.5.Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащие на одной горизонтали или вертикали? Ответ Решение
3.6. Четверо студентов сдавали экзамен. a)Сколькими способами им могли быть выставлены оценки, если известно, что все студенты экзамен сдали (то есть получили 3, 4 или 5)? b)А если студентов было 10? Ответ Решение
3.7.Выведите формулу для нахождения A_n^k. Ответ Решение
3.8.Сколько слов (не обязательно осмысленных: «ьщерук» тоже считается словом), состоящих из а) трех; b) пяти; c) семи букв, можно составить из тридцати трех букв русского алфавита так, чтобы любые две стоящие рядом буквы были различны? Ответ Решение
3.9. Сколько можно составить из тридцати трех букв русского алфавита шестибуквенных слов, содержащих хотя бы одну букву «а»? Ответ Решение

Перестановки

3.10. Сколько пятизначных чисел содержат все цифры а) 1, 2, 3, 4, 5? b) 0, 2, 4, 6, 8? Ответ Решение

3.11. В азбуке Морзе используются два типа символов: точки (·) и тире (—). Можно ли сопоставить каждой букве русского алфавита такой код, чтобы каждая буква оказалась зашифрована не более чем четырьмя символами азбуки Морзе? Ответ Решение

3.12. a) Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?
b) А n ладей на доске размера n×n? Ответ Решение

3.13.Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или всех остальных? Ответ Решение

Сочетания без повторений

4.1.Сколькими способами можно выбрать баскетбольную команду (5 человек) из а) шести человек? b) семи человек? c) Сколько способов набрать две команды по пять человек из десяти претендентов? Ответ Решение
4.2.Проверьте формулу C_n^k = A_n^k = n! . k! (n-k)! k! Решение
4.3.На плоскости провели n прямых общего положения (то есть никакие две из них не параллельны и никакие три не проходят через одну точку). Сколько получилось треугольников со сторонами на этих прямых?Ответ Решение
4.4. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску а) 8 ладей? b) 4 чёрных и 4 белых фигуры: коня, слона, ладью и ферзя? Ответ Решение

Сочетания с повторениям

4.5. В буфете продаются пирожки пяти типов: с картошкой, с капустой, с мясом, с рисом и с яблоком. Сколькими способами можно купить восемь пирожков? Ответ Решение
4.6.Покажите, что C_n^k = C^k_n+k-1. Решение
4.7. Сколькими способами можно распределить 10 пятиклассников, 11 шестиклассников, 8 семиклассников и 12 восьмиклассников по пяти лифтам (считается, что лифты неограниченной вместимости, а школьники одного класса между собой не различаются)? Ответ Решение

Разные задачи

4.8. При передаче сообщений по телеграфу используется код Морзе. В этом коде буквы обозначаются набором точек и тире, причём количество используемых знаков может быть разным. Хватит ли трех точек и трех тире для того, чтобы зашифровать все русские буквы? Ответ Решение
4.9. На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой — 11 точек. Сколько существует а) треугольников, б) четырёхугольников с вершинами в этих точках? Ответ Решение
4.10. У Мальвины шестеро друзей, и в течении пяти дней она приглашает к себе в гости каких-то трех из них так, чтобы компания ни разу не повторилась. Сколькими способами она может это сделать? Ответ Решение
4.11. Докажите, что в любой компании из шести человек обязательно найдутся трое, которые знакомы между собой, или трое, которые друг с другом не знакомы. Решение

Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка лайков вк

KISS

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233.Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234.27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235.Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236.Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237.В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238.По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.Решите уравнение $(x^{2} - x + 1)^{2} - 10 (x - 4) (x + 3) - 109 = 0$ . В ответе укажите сумму его корней.

3226.Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227.Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228.Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229.При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230.Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231.Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

3218.Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219.Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220. Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221.Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222.У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223.Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224.На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $331$ . Чему равен куб суммы этих чисел?

3212.При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213.В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214.Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215.На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216.В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217.Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?

К началу

C_n^k	=	A_n^k	=	`n!`	.
		`k!`		(`n`-`k`)`!` `k!`