vivat2.okis.ru

Добро пожаловать на наш сайт!

Меню

Олимп 6 класс

Локация Главная страница Карта сайта

Готовься к олимпиаде по математике

Этот базовый курс олимпиадной математики для учащихся 6 класса включает в себя темы: раскраски, графы, делимость, комбинаторика, принцип Дирихле, разрезания, четность, составление уравнений, логические задачи, проценты.

Олимпиадная математика — штука особенная, можно сказать, отдельная дисциплина. Ведь здесь на первое место выходят не аккуратность и умение считать, а нестандартные методы и подходы. Предлагаемые ниже материалы предназначены для учителей, а также для учащихся, которые желают стать настоящими чемпионами и не боятся нестандартных задач.

Раскраски

1. Витя и Женя играют в такую игру. У них есть клетчатая таблица 11×11. Каждым ходом они закрашивают любую еще не закрашенную клетку таблицы. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Ответ Решение

2. Каждая точка на прямой покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Докажите, что можно выбрать три точки одного цвета так, что одна из них лежит ровно посередине между двумя другими. Решение

3.Можно ли таблицу 8×8 c вырезанной угловой клеткой разрезать на полоски 1×3? Ответ

4. Клетки квадрата 6×6 покрашены в синий, белый и оранжевый цвет. Разрежьте квадрат на четыре одинаковые по форме части так, чтобы в каждой части было одинаковое количество клеток каждого цвета.

Решение

5. У Жени есть 6 разных красок. Он хочет раскрасить грани кубика в разные цвета. Сколько различных кубиков он таким образом может получить? Ответ

6. Пятнадцать хулиганов вышли на демонстрацию с шариками и построились в колонну 3×5. По команде каждый проткнул иголкой шарик своего соседа. Докажите, что хотя бы один шарик при этом остался целым. Решение

Графы. При чем здесь граф?

Граф — набор точек, некоторые из которых соединены отрезками. Точки называются вершинами графа, а отрезки рёбрами. На картинках рёбра могут изображаться не в виде отрезков, а просто линией, соединяющей вершины. Количество рёбер выходящих из вершины графа называется степенью этой вершины.

1. При дворе принца Лимона служили герцоги, графы и бароны. В начале правления принца придворных было 2006, но каждый день один из них убивал другого на дуэли, причем графы убивали только герцогов, герцоги — только баронов, а бароны — только графов. При этом никто не выиграл дуэль дважды. В конце концов остался в живых лишь граф Апельсин. Какой титул был у первого погибшего придворного? Ответ Решение Комментарий

2. В Таниной квартире есть восемь розеток, 21 тройник и неограниченное количество утюгов. Какое наибольшее число утюгов Таня может включить одновременно? Ответ Решение

3. В графе n вершин, и каждая соединена с каждой. Сколько рёбер в графе? Ответ Решение

4. Докажите, что число людей, когда-либо живших на земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно. Решение

5. В графе каждая вершина покрашена в синий или зеленый цвет. При этом каждая синяя вершина связана с пятью синими и десятью зелеными, а каждая зеленая с девятью синими и шестью зелеными. Каких вершин больше — синих или зеленых? Ответ Решение

6. Докажите, что среди любых шести человек всегда найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых. Решение

7. В городе проводилось совещание врачей. От каждой поликлиники на совещание было приглашено по пять врачей. Оказалось, что каждый из приглашенных работал в двух поликлиниках, поэтому на совещании представлял обе поликлиники. Кроме того, для любых двух поликлиник города среди участников совещания найдется врач, который в них работает. Сколько в городе поликлиник и сколько врачей принимало участие в совещании? Ответ Решение

8. На окружности отмечены 7 красных и 5 синих точек. Каких треугольников с вершинами в этих точках больше: одноцветных или разноцветных? На сколько? Ответ

9. Гарри Поттер умеет превращать жабу в принцессу, гриб в жабу и грушу, грушу в яблоко, огрызок от яблока в котёнка и ёжика, котёнка в грушу или яблоко, ёжика в грушу, а яблоко — только в огрызок. Сейчас у него есть яблоко. Сможет ли он превратить его в принцессу? Ответ Решение

10. На День рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Митя, Петя, Соня и Тимур. Покажите, как восьмерых ребят можно рассадить за круглый стол, чтобы у любых двух, сидящих рядом, в именах встречались одинаковые буквы. Ответ

11. В одном государстве из каждого города выходит по три дороги. Может ли быть в этом государстве а) 100 дорог? б) 100 городов? Ответ Решение

12. Пешеход обошёл все улицы одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли такое быть? Ответ Решение

13. Чиполлино устроился садовником к графине Вишне. Графиня установила для него повременную форму оплаты труда, при которой тарифная ставка в час составляла 3 монеты. Чиполлино работал несколько дней по 6 часов, а несколько дней — по 8 часов, и заработал 78 монет. Сколько дней он мог работать по 6 часов?Ответ Решение

14. Вдоль границ каждой клетки шахматной доски положили спички. Необходимо убрать несколько спичек, чтобы ладья могла добраться с любого поля на любое, не перепрыгивая через спички. На рисунке убрано 70 спичек. Можно ли обойтись меньшим количеством? Какое минимальное количество спичек надо убрать?

Ответ Решение

15. Верно ли, что в вашем классе найдутся два школьника, у которых одинаковое число друзей среди учащихся класса? Верно ли это для любого класса? Ответ Решение

Делимость

Целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число k, что a = kb.

1. а) К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.Ответ Указание

б) К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72. Указание Ответ

2. Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24? Ответ Решение

3. Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу. Ответ Решение

4. На доске написано: 645*7235. Замените звёздочку цифрой так, чтобы полученное число делилось на 3. Ответ

5. Замените звёздочки в записи числа 72*3* цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45. Указание Ответ

6. В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр? Ответ Указание Решение

7.а) Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
б) Решите ребус АБ – БА = А. Ответ Указание

8.Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет делиться на 9? Ответ Указание

9.Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется после умножения ни на 2, ни на 3, ни на 4, ..., ни на 8, ни на 9. Ответ Решение

10.Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528? Ответ Указание Решение

11. Петя заменил в примере на умножение одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными: АБ · ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он ошибся. Указание Решение

Принцип Дирихле.

В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»

Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее ^z/_k зайцев.» Не надо бояться дробного числа зайцев: если получается, что в ящике не меньше ⁷/₃ зайцев, значит, их больше двух.

Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминаний школьниками навсегда обеспечено одно из самых высших мест. И добавил: "Пожалуй, есть способ лишить его лидерства — назвать чьим-нибудь именем принцип «никакое чётное число не равно никакому нечётному»."

Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения «от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем ^z/_k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k · ^z/_k = z. Противоречие!

1.Осенью отряд из 21 белки пополнял запасы и собрал 200 орехов. Докажите, что какие-то 2 белки собрали одинаковое число орехов. Решение
2. На территории МГУ припарковано 100 машин. Среди них — 30 чёрных, 20 синих и 20 белых мерседесов. Никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд — одного цвета. Решение
3. Олимпиаду писали 70 школьников. Аркаша набрал 33 балла, остальные меньше. Докажите, что по крайней мере три школьника набрали одинаковое количество баллов. Решение
4. Докажите, что в любой компании есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании. Решение
5. В кинотеатре 7 рядов по 10 мест. Группа из 50 человек сходила на утренний и вечерний сеансы. Докажите, что найдутся два человека, которые и утром, и вечером сидели на одном ряду. Решение
6. Можно ли расставить на окружности числа 1, 2, ..., 12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5? Решение Ответ
7. Докажите, что из 6 сидящих за столом человек всегда найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых. Решение Другое решение
8. Докажите, что если a, b, c — нечётные числа, то хотя бы одно из чисел ab − 1, bc − 1, ca − 1 делится на 4. Решение
9. Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами −1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны? Решение Ответ
10. По кругу записаны 7 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара несоседних чисел с таким же свойством. Решение

11. Несколько одинаковых ящиков весят вместе 10 т, причём каждый весит не более 1 т. Какого наименьшего числа трёхтонок достаточно, чтобы увезти за один раз весь груз? Решение

12. В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей. Решение Логические задачи. Множества.

1. В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине? Ответ Решение

2. В первой коробке лежат 2 белых шара, во второй — 2 чёрных, в третьей — 1 белый и 1 чёрный. На каждой коробке висела табличка, указывающая её состав. Федя перевесил все таблички так, что каждая указывает состав коробки неверно. Какое наименьшее число шаров нужно извлечь, не заглядывая в коробки, чтобы узнать, какого цвета шары в каждой коробке? Ответ Решение

3. Мартышка любит кокосовые орехи и хочет выяснить, с какого самого нижнего этажа 10-этажного дома нужно бросить орех, чтобы он разбился. Для эксперимента у неё есть 2 ореха и 4 попытки. Сможет ли она это сделать? Ответ Решение

4. Три пушки начинают стрелять одновременно. Интервалы между выстрелами соответственно составляют ⁴/₃ секунды, ⁵/₃ секунды и 2 секунды. Совпавшие во времени выстрелы воспринимаются за один. Сколько выстрелов будет услышано за 1 минуту? Ответ Решение

5. На острове ²/₃ всех мужчин женаты и ³/₅ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке? Ответ Решение

6.Из 7 серебряных и 2 медных монет одна — фальшивая. Найти фальшивую монету за 2 взвешивания. Решение

7. Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух — Говорящие Коты; все, кроме двух — Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги? Ответ Решение

Проценты и части

1.а) На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно возросло на 35%?
б) На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно уменьшилось на 30%?
в) Число умножили на 0,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?
г) Число умножили на 2,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось? Ответ Решение

2.В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилась на 10%. В какой бочке стало больше воды? Ответ Решение

3. Петя купил две книги. Первая из них на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой? Ответ Решение

4. В 100 г раствора имеется 1% соли. После испарения стало 2% соли. Сколько весит этот 2-процентный раствор соли? Ответ Решение

5.У Буратино было некоторое число монет, на которые он мог купить либо букварь, либо курточку. Вместо этого он закопал их на поле чудес, которое ежемесячно приносило 25% дохода. Через сколько месяцев Буратино сможет купить и букварь, и курточку? Ответ Решение

6. Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за то же время делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании? Ответ Решение

7. Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе? Ответ Решение

8. Буратино предложил купить ириски. На что практичная Мальвина ответила: «Давай лучше купим леденцов. Купить их можно на 50% больше, а заплатить за них придётся больше только на 25%». Во сколько раз леденцы дешевле ирисок? Ответ Решение

9. Известно, что среди шестиклассников каждый седьмой — любитель кино, а среди любителей кино каждый пятый — шестиклассник. Кого больше: шестиклассников или любителей кино? Ответ Решение

10.Буратино, спасаясь от преследования Дуремара, пробежал уже ¹/₅ км. Если ему удастся пробежать 40% этого, то до укрытия под мостом останется всего ³/₇ того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Буратино? Ответ Решение

11*. В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу? Ответ Решение

12*. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое? Ответ Решение

Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - вк накрутка

KISS

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233.Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234.27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235.Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236.Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237.В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238.По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.Решите уравнение $(x^{2} - x + 1)^{2} - 10 (x - 4) (x + 3) - 109 = 0$ . В ответе укажите сумму его корней.

3226.Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227.Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228.Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229.При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230.Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231.Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

3218.Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219.Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220. Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221.Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222.У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223.Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224.На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $331$ . Чему равен куб суммы этих чисел?

3212.При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213.В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214.Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215.На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216.В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217.Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?

К началу