vivat2.okis.ru

Локация Главная страница Карта сайта

Прототипы задания 4 профиля ЕГЭ - 2021 (№ 10 базового уровня)

Тема заданий № 4  "Начала теории вероятностей"

Типы заданий № 4: классическое определение вероятности, теоремы о вероятностях событий

Вид задания № 4: с кратким ответом Уровень сложности: базовый. Количество баллов: 1. Примерное время на выполнение: 2 минуты. Средний процент выполнения: в 2019 году 95%, в 2020 году 89,9%. Ответом к заданию 4 может быть только целое число или конечная десятичная дробь. Требования ФИПИ к профильному уровню  здесь Соответствие заданий в КИМах базового и профильного уровня здесь

Есть темы на профильном  ЕГЭ по математике, которые совершенно не связаны с последующим материалом. Например, задание № 4 по теории вероятностей можно изучать ближе к экзамену. В № 4 предстоит вычислить вероятность события. Вычисления несложные, достаточно знать определение вероятности и простейшие способы ее вычисления. Также надо уметь работать с обыкновенными дробями, переводить обыкновенные дроби в десятичные, округлять десятичные дроби, составлять и решать линейные уравнения. Напомним, что ответом к задачам с кратким ответом могут быть только целые числа или конечные десятичные дроби, поэтому полученную обыкновенную дробь необходимо переводить в десятичную. Во избежание ошибок следует различать два типа условий. В условиях вида «из 100 сумок 8 дефектных» имеется в виду, что всего сумок 100, из них дефектных — 8, качественных — 92. В условиях вида «на каждые 100 сумок приходится 8 дефектных» предполагается, что всего сумок 108, из них дефектных — 8, качественных — 100.

Пример. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение здесь 

При решении заданий с использованием теорем о вероятностях событий важно хорошо знать определения здесь и теоремы вероятности здесь и не путаться в них. 

Что такое вероятность?

Вероятность - это степень наступления какого-либо события. Вероятность изменяется числом от 0 до 1. Отрицательные числа и числа больше единицы ответом быть не могут!

Как понять результат своего вычисления?

1 - событие точно произойдет (достоверное событие)

от 0 до 1 - произойдет с каким-то шансом, может произойти, а может и нет (случайное событие)

0 - точно не произойдет (невозможное событие)

Вероятность любого события можно найти по  формуле вероятности:

Пример. Имеются 4 бутылки с водой, 1 из которых с газированной водой. Найти вероятность того, что, если выбрать одну из данных 4 бутылок, то она обязательно окажется без газа.

Решение объясняю "на пальцах":

1. 4 бутылки.
2. Если 1 бутылка с газом, значит, 3 без газа.
3. Нам нужна негазированная, значит, количество благоприятных исходов для нас – 3.
4. А всего бутылок 4 – это количество всех исходов.
5. Далее решаем по формуле вероятности: 3 делим на 4 и переводим в десятичную дробь. 3/4 = 0,75. (ответ  обязательно в виде десятичной дроби 0,75).  НИКАКИХ ПРОЦЕНТОВ! Если этого не просят!

Когда событие одно – решить легко, но их может быть несколько... 

Несовместные события

События А и В несовместные, если они не могут произойти одновременно.

Пример. "Получить на ЕГЭ по математике 5" и "получить на ЕГЭ по математике 4" – это несовместные события. Ты получишь либо 4, либо 5. Ставится только одна оценка.

А как посчитать их вероятность? По формуле вероятности несовместных событий:

Р - это вероятность. Чтобы найти вероятность несовместных событий (наступит или событие А, или событие Б), нужно найти вероятность наступления каждого и сложить их.

Уже немного сложнее, да? Давай решать задачу на несовместные события

Как проверить, что события несовместные?

Задать вопрос: "А могут ли они наступить одновременно?" Если в задаче написано, что Наташа берет наугад 1 пирожок с тарелки, а там их много, она не может взять одновременно 2! Так сказано в условии.

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Формула для расчета вероятности противоположных событий:

Отличие противоположных событий от несовместных

В том, что несовместные события могут и не произойти, а одно из противоположных обязательно произойдет. Например, "получить на ЕГЭ по математике 5" и "получить на ЕГЭ по математике 4" – это несовместные события. Но! Ты можешь получить и 3, и 2. Ты получишь 4 или 5 не со стопроцентной вероятностью. Поэтому такие события не являются противоположными.

Противоположное событие - подбросить монету, выпадет либо орел, либо решка. Не выпасть орел или решка не могут! И третьего не дано! Обязательно на какую-то сторону монета упадет, мы не учитываем, что монета упадет на ребро. Ещё примеры несовместных событий для понимания:

• попасть в мишень и не попасть в мишень
• выздороветь и не выздороветь
• готовиться к экзаменам и не готовиться к экзаменам

Третьего не дано! С несовместными разобрались, осталось самое сложное...

Независимые события. События А и Б независимы, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Пример независимых событий: попасть в мишень при первом выстреле и попасть в мишень при втором выстреле. После первого выстрела стрелок хуже стрелять не стал, мишень не передвинули, ветер сильнее дуть не стал. Поэтому вероятность попадания в обоих случаях одинаковая. Условия одинаковые.

Пример зависимых событий: вытащить из мешка с игрушками мягкую игрушку в первый раз и вытащить мягкую игрушку во второй раз. Вероятность во втором случае изменится, ведь в мешке после первого раза стало на 1 мягкую игрушку меньше (количество благоприятных исходов и количество всех исходов стало на 1 меньше). Зависимых событий на ОГЭ не дадут, этот пример для понимания независимых.

Решим более сложную задачу на независимые события.

Задача. Стрелок 3 раза стреляет по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишень, а последние 2 раза промахнулся. Решение здесь

Вероятность всегда выражается дробью, в знаменателе которой стоит общее число исходов, а в числителе – число исходов, удовлетворяющих условию. Чаще всего задача сводится именно к вычислению числа исходов (примеры 1-2). Иногда к сложению или умножению вероятностей отдельных событий (примеры 3-6), и очень редко к нескольким действиям (примеры 7-8).

Знать определения и правила надо. Но при решении задач на вероятность важнее иметь хороший практический навык. Это позволит на экзамене не углубляться в простом задании в сложные математические законы и сэкономить время и собственные нервы. На самом деле трудных задач в четвертом задании нет вообще.

Алгоритм выполнения задания 4:

1. Внимательно прочитайте условие задачи.
2. Определите количество всевозможных событий.
3. Определите количество благоприятных событий.
4. Вычислите вероятность события, подставив данные в формулу.

Вероятность —  лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Т.е. подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов.

Пример. Подбросим монету. Какова вероятность, что выпадет «орел»? Ответ: ½. Когда мы говорим, что подбрасываем монету, мы предполагаем, что это симметричная монета, что вероятность выпадения «орла» равна вероятности выпадения «решки». Мы выяснили, что шанс получить «решку» при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½. Вероятность может выражаться и в процентах.

Важно: на экзамене вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах.

Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

Решение. Что необходимо для нахождения вероятности? Посчитать количество подходящих вариантов и количество возможных вариантов. Всего шаров – 10, подходящих (т.е. черных) – 4, значит, ответ: 4/10= 0, 4.

Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет – невозможное событие) до 1 (абсолютно точно произойдет – достоверное событие).

Пример. В урне 12 шаров: 6 белых и 6 черных. Какова вероятность вынуть из урны красный шар?

Решение здесь 

Зафиксируем еще одну формулу:

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Пример. Найдите вероятность того, что при однократном подбрасывании игрального кубика выпадет число, не кратное трем. Решение здесь 

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, но понятно, что на этом всё не заканчивается.  В задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий:

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем (если события не могут совпасть).

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны P₁=0,7, P₂=0,6. Какова вероятность попадания обоими орудиями одновременно при одном залпе? Решение здесь 

Пример. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12, 45-го – 0,04, 46-го и большего – 0,01. Какова вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера? Решение здесь 

Шуточный пример здесь 

Вероятность всегда выражается дробью, в знаменателе которой стоит общее число исходов, а в числителе – число исходов, удовлетворяющих условию. Чаще всего задача сводится именно к вычислению числа исходов (примеры 1-2 ниже). Иногда к сложению или умножению вероятностей отдельных событий (примеры 3-6), и очень редко к нескольким действиям (примеры 7-8).

Знать определения и правила надо. Но при решении задач на вероятность важнее иметь хороший практический навык. Это позволит на экзамене не углубляться в простом задании в сложные математические законы и сэкономить время и собственные нервы. На самом деле трудных задач в четвертом задании ЕГЭ нет вообще.

Потерять  балл на задаче № 4 сложно, но можно. Высасывайте проблемы из пальца, ищите скрытый подтекст во фразах типа «бегун из Канады будет стартовать четвертым» и 0 баллов Вам обеспечено.

Задачи с ответами для самостоятельного решения и  самопроверки,

предлагаемые авторами ЕГЭ на экзаменах прошлых лет, а также из открытого банка ФИПИ: 

1. 2021 год. Демонстрационный вариант ЕГЭ. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.  Решение здесь

ИЛИ

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?  Решение здесь

ИЛИ

Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?  Решение здесь

1. 2020 год. Основная волна ЕГЭ. Москва. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что турист Б., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? Решение здесь или здесь

2. 2020 год. Досрочная волна ЕГЭ. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8°С, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8° или выше. Решение здесь

3. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Центр. В соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 6 спортсменов из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Словении и 8 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Словении. Решение здесь

4. 2018 год. Основная волна ЕГЭ. На конференцию приехали 3 ученых из России, 5 ученых из Швеции и 2 ученых из Италии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из России.
Решение здесь

5. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. На олимпиаду по математике пришло 500 школьников. Их разместили в четырёх аудиториях: в трёх аудиториях по 150 человек, в четвертой – 50 человек.Найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник будет писать олимпиаду в маленькой аудитории. Решение здесь

6. 2016 год. Основная волна ЕГЭ. Юг. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 30 докладов: в первые два дня по 9 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртыми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение здесь или здесь

Классическое определение вероятности здесь

1.  Для призов участникам технического конкурса в магазине приобрели 30 раскрасок, из которых 10 с танками, 11 с самолетами, а остальные с космическими кораблями. Призы определяются жеребьевкой. Дима хочет получить раскраску с космическими кораблями. Какова вероятность, что его желание исполнится? Решение здесь

2. В упаковке лежат блокноты с цветными обложками: 12 с красной, 7 с синей, 9 с черной, 8 с желтой и 14 с белой. Из упаковки вынимают 1 блокнот. Найдите вероятность того, что обложка этого блокнота желтая. Решение здесь

3. В киоске продаются уцененные авторучки. Вероятность неисправности авторучки составляет 0,09. Найдите вероятность того, что приобретенная наугад авторучка исправна. Решение здесь 

4. Два кубика бросают одновременно. Найти вероятность выбросить 9 очков. Решение здесь 

Эту задачу можно решить с помощью таблицы здесь, где в верхней строке указано число на перовом кубике, в левом столбце – число на втором, а в ячейках – их сумма. (Такую таблицу можно за минуту набросать на черновике)

Из таблицы видно, что из 36 возможных исходов, 9 очков выпадает в 4-х случаях. Т.е. вероятность составляет 4/36=1/9=0,11      Ответ: 0,11.

5.  Дима хорошо подготовился к олимпиаде по физике. С вероятностью 0,98 он станет призером и с вероятностью 0,84 – победителем олимпиады. С какой вероятностью Дима станет призером, но не станет победителем олимпиады по физике? Решение здесь 

6. В дежурном отряде 7 мальчиков и 14 девочек. Дежурство распределяется по жребию. На центральные ворота лагеря нужны двое дежурных. Найти вероятность, что дежурить на воротах будут двое мальчиков. Решение здесь 

7. В сквере имеется сеть дорожек, ведущих к смотровым площадкам здесь. Водопад можно наблюдать с площадок F и G. Турист отправляется из точки А. На каждой развилке он выбирает произвольное направление (кроме направления назад). С какой вероятностью турист сможет увидеть водопад?

  Решение здесь 

8. К зачету надо выучить 10 вопросов. Саша выучил 2, а остальные только прочитал. Если Саше попадется выученный билет, то он сдаст зачет с вероятностью 0,9. Если Саше попадется вопрос, который он только прочитал, то вероятность сдать зачет 0,3. Вопросы на зачете распределяются случайным образом. Найти вероятность того, что Саша сдаст зачет. Решение здесь 

9. В классе 21 ученик, среди них две отличницы — Настя и Лена. Класс случайным образом разбивают на 7 равных групп. Найдите вероятность того, что Настя и Лена окажутся в одной группе. Ответ: здесь

10. Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной? Ответ: здесь

11. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая — 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая — 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: здесь

12.  В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до сотых. Ответ: здесь

13. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Ответ: здесь

14. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Ответ: здесь

15. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Ответ: здесь

16. При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным. Ответ: здесь

17. В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 4 из Финляндии, 7 из Дании, 9 из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Швеции. Ответ: здесь

18. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов: первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: здесь

19. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса? Ответ: здесь

20. На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России. Ответ: здесь

21. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России. Ответ: здесь

22. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме "Ботаника". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Ботаника". Ответ: здесь

23. В сборнике билетов по математике всего 2525 билетов, в 1010 из них встречается вопрос по теме "Неравенства". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме "Неравенства". Ответ: здесь

24. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: здесь

25.  Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Ответ: здесь

26. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Ответ: здесь

27. На клавиатуре телефона 1010 цифр, от 00 до 99. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной? Ответ: здесь

28. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? Ответ: здесь

29.  В группе туристов 55 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? Ответ: здесь

30. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда "Физик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Физик" выиграет жребий ровно два раза. Ответ: здесь

31. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию  A= сумма очков равна 5? Ответ: здесь

32. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка). Ответ: здесь

33.  На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран, в том числе группы из Дании, Швеции и Норвегии. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать позже групп из Швеции и Норвегии? Ответ округлите до сотых. Ответ: здесь

34. В некотором городе из 50005000 появившихся на свет младенцев 25122512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Ответ: здесь

35. На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Ответ: здесь

36. На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Ответ: здесь

37. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Ответ: здесь

38. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Ответ: здесь

39. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: здесь

40. В кармане у Миши было четыре конфеты — "Грильяж", "Белочка", "Коровка" и "Ласточка", а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета "Грильяж". Ответ: здесь

41.  Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1. Ответ: здесь

42. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом. Ответ: здесь

43. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Ответ: здесь

44. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0.045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события "гарантийный ремонт" от его вероятности в этом городе? Ответ: здесь

45. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Ответ: здесь

Теоремы о вероятностях событий здесь

46. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0.520.52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0.30.3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ: здесь

47. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме "Вписанная окружность", равна 0.2. Вероятность того, что это вопрос по теме "Параллелограмм", равна 0.15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: здесь

48. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0.8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ: здесь

49. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0.05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Ответ: здесь

50. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0.3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Ответ: здесь

51. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0.97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0.89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ: здесь

52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0.9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0.2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Ответ: здесь

53. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0.3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0.12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Ответ: здесь

54. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0.4, а при каждом последующем — 0.6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0.95? Ответ: здесь

55. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0.4. Ответ: здесь

56. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0.01 мм, равна 0.965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66.99 мм, или больше, чем 67.01 мм. Ответ: здесь

57. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36.8∘ С, равна 0.81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36.8∘ С или выше. Ответ: здесь

58. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0.67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0.74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Ответ: здесь

59. Чтобы поступить в институт на специальность "Лингвистика", абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность "Коммерция", нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0.6, по русскому языку — 0.8, по иностранному языку — 0.7 и по обществознанию — 0.5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: здесь

60. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0.3 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно. Ответ: здесь

61. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0.8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0.9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Ответ: здесь

62. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда "Статор" по очереди играет с командами "Ротор", "Мотор" и "Стартер". Найдите вероятность того, что "Статор" будет начинать только первую и последнюю игры. Ответ: здесь

63. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0.8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: здесь

64. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стёкол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: здесь

65. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0.06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Ответ: здесь

66. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0.02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0.99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0.01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Ответ: здесь

67. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке "Вход". Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

     Ответ: здесь

Советы по решению прототипов  задания № 4.

Сложнее всего определить, когда вероятности двух событий надо перемножать, а когда складывать. Попадаются задачи, когда надо сделать и то, и другое. Если вы нашли вероятности отдельных событий, но не можете определиться, что с ними делать дальше – доверьтесь интуиции.

Если вы понимаете что вероятность двух событий больше, чем вероятность каждого в отдельности – складывайте. (Например, вероятность выбросить решку на одной из двух монет очевидно больше, чем выбросить решку на одной монете.)

Если вероятность двух событий меньше, чем каждого в отдельности – перемножайте. (Например, вероятность выбросить решку на обеих монетах меньше, чем вероятность выбросить решку на одной из них.)

Понятно, что интуиция – подход ненаучный. Но на ЕГЭ в задании с кратким ответом лучше дать какой-нибудь ответ, чем не дать никакого.

Однако не забывайте, что профильный ЕГЭ по математике является не только выпускным, но и вступительным испытанием. Большинство школьных задач на вероятность можно решить путем логических рассуждений. Это создает иллюзию легкости теории вероятности и математической статистики. Но на самом деле это одна из самых передовых и востребованных областей математики, и в ВУЗе вы ощутите её сложность в полной мере.

Итак, еще раз

В чем разница между сложением и умножением вероятностей? 

Проведём аналогию с логикой.

✔️ Если присутствует слово и (одновременно, оба), то мы умножаем. В этом случае Происходит несколько событий 

✔️ Если присутствует слово или, то мы складываем. В этом случае происходит одно событие

Зависимые или независимые?

Это значит изменится или не изменится вероятность одного события от того, произойдёт или нет другое событие. Например, выбор карт из колоды - это зависимые события. Бросания монеты несколько раз независимые события 

Совместные или несовместные.

Может или не может какое-то событие происходить одновременно с другим. Например, выпадение масти черви и короля вполне возможно, значит события совместные. А выпадение черви и пики при условии что карта одна, нет, не совместно 

Чтобы продолжить подготовку к ЕГЭ 2021, перейдите по ссылкам на другие страницы сайта:

Локация Главная страница Карта сайта

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней. E-mail:  [email protected]

На уроке математики в дальнем ауле присутствует комиссия из Москвы. Учитель говорит, что для сложения дробей нужно сложить их числители и результат записать в числитель, потом сложить знаменатели и результат записать в знаменатель.
Комиссия тихо съезжает под парты, едва сдерживая смех, а на перемене объясняет учителю, как надо складывать дроби. Учитель говорит: «Это мы сейчас же исправим, у меня как раз следующий урок в том же классе».
«Дети, — начинает учитель, — тут приехала комиссия из Москвы, так в Москве теперь дроби складывают по-другому …»
(Рассказал Фирсов В.В.)
Исследования психологов показывают, что в массовой аудитории не все слушатели точно понимают лектора. Если лектор сказал: «Это белое, а не черное», то после лекции около 10 процентов слушателей считают, что лектор сказал обратное: «Это черное, а не белое».
Давным-давно мой старый знакомый Кравцов К.Г. обучал в школе рабочей молодежи (ШРМ) солдат из Средней Азии. Они не имели достаточного образования для службы даже в строительном батальоне, поэтому руководство части определило их в ШРМ. Как-то Константин Георгиевич попросил солдатика, стоящего у доски, написать «два в квадрате». И тот написал цифру 2 внутри квадрата.
Я рассказал эту историю своим шестиклассникам, а на другой день вспомнил про нее, и попросил ученика, стоящего у доски, написать «два в кубе». Он написал цифру 2 внутри куба.
Вторая аналогичная история произошла в январе 2003 года. Прежде, чем показать учащимся 8 А класса доказательство теоремы о свойстве биссектрисы, я рассказал им «доказательство», принадлежащее американской школьнице. Его привел в одной из своих книг Дж. Пойа. До рассказа я предупредил, а после рассказа повторил еще раз, что «доказательство» неверное, и ребята объяснили мне, почему оно неверно.
Американская школьница «доказала» теорему так: в равенстве AD:DB = AC:CB, записанном в виде равенства дробей, она сократила буквы D и C, получив, как она считала, равные дроби.
Мы посмеялись, а на следующем уроке мой ученик вполне серьезно повторил «доказательство» американской школьницы с одной лишь разницей: вместо буквы D у него была буква L.
После урока я спросил, внимательно ли он слушал мое объяснение на прошлом уроке. Да, — ответил он, — но я понял, что у девочки было более простое доказательство.
А ведь психологи предупреждали!
(Рассказал Шевкин А.В.)
Как-то раз на устном экзамене по геометрии в 8 классе ученица не могла ответить ни на один вопрос по билету. Чтобы она поняла, что хотя бы на один вопрос ей удалось ответить, И.К. Варшавский спросил:
— Скажи, пожалуйста, а сколько углов у треугольника?
— Три, — ответила ученица.
Назавтра нам передали, что мама этой ученицы жаловалась:
— На экзамене так заваливали, так заваливали... Моя Лена еле-еле на тройку ответила.
Когда-то в учебнике А.В. Погорелова имелась такая формулировка: «Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой ровно один перпендикуляр». В изложении ученика она выглядела так: «Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой перпендикуляр — если ровно, то один».
Ученик класса с углубленным изучением математики доказывает признак параллельности прямых: «Пусть а||c и b||c. Докажем, что а||b. Предположим противное, что прямая а не параллельна прямой с ...»
(Школа № 679, 2003 г.)
В школе проводилось анонимное анкетирование учащихся 11 класса. На один из вопросов анкеты учащийся класса с углубленным изучением математики ответил так: «Я математик, буду поступать в МГТУ им. Баумана, поэтому мне легче все объяснить на числах: 60 % учителей школы мне нравятся, а 70 % — нет».
(Школа № 679, 2003 г.)
Объясняю я ребятам в десятом классе смысл понятия «плоскость». Пытаюсь донести, что это понятие интуитивное, его нельзя точно определить. А некоторые все спрашивают: «Ну как бы все-таки его определить?» И тут один парень нашелся: «Понимаете, плоское, это такое, какие шутки у нашего Саши!»
(Прислала Постникова Е.С.)
Моя бабушка закончила МАИ, хотя способностей к алгебре, геометрии, физике и др., у нее никаких. Как-то раз я попросила у нее болтик, на что она ответила: «А это что? А, ну да, это же такой гвоздик с резьбой!»
(Прислала no_games)
Ученик завершает решение неравенства у доски и спрашивает учительницу: «А ось волосатую рисовать?»
— Что это у тебя написано: «на Х лежащие»?
— Это я сократил «накрест лежащие»...
(Рассказала Шкарова А.В.)
Случай с реального вступительного экзамена (в кружки при Адыгейском ГУ). Задание записано в виде дроби (здесь дроби не набираются).
(a8 + a5):(a5 + a2) = a13 : a10 = a3.
К счастью, проверка была вовсе не по ответам.
(Прислал В.З. Шарич, СУНЦ МГУ, сент. 2010)
Не считай себя самым умным... 
В высшей математической школе (Ленинграда) на лекции ученый (Капица) рассказывал (доказывал) студентам-физикам изучаемый материал. В конце лекции ученый задал вопрос:
Всем понятно?
Студенты в один голос ответили:
Да-да, все понятно!
Ученый удивился и говорит:
Странно, а вот академики ...., ...., ..... спорят по этому вопросу, им до сих пор не понятно!
(из жизни)
(прислала Копаницкая И.И.)