vivat2.okis.ru

Добро пожаловать на наш сайт!

Меню

Олимп 7 класс

Локация Главная страница Карта сайта

Готовься к олимпиаде по математике

Этот базовый курс олимпиадной математики для учащихся 7 класса включает в себя темы: делимость, инварианты, площадь, подсчет вариантов, правила суммы и произведения, число перестановок, размещения, число сочетаний, разные задачи.

Олимпиадная математика — штука особенная, можно сказать, отдельная дисциплина. Ведь здесь на первое место выходят не аккуратность и умение считать, а нестандартные методы и подходы. Предлагаемые ниже материалы предназначены для учителей, а также для учащихся, которые желают стать настоящими чемпионами и не боятся нестандартных задач.

Делимость

1. Фея Фёкла вычислила число 100!=1·2·3·4·...·100. У полученного числа посчитала сумму цифр, у нового числа опять посчитала сумму цифр, и так далее, до тех пор, пока не получилось однозначное число. Какое однозначное число получила фея Фёкла? Ответ Указание 1 Указание 2

2. Помогите фее Февронье решить ребус: 3 × 1xy = z36 Ответ Указание

3. Теперь Февронья ищет такие нечётные числа a, b, c и d, что (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)=1. Удастся ли ей это сделать? Ответ Решение

4. Решите уравнение (2x + y)(5x + 3y) = 7. Найдите только целочисленные решения. Ответ Решение

5. Ковбой Джо зашел в бар и попросил бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов. После этого Джо вытащил револьвер и закричал: "Обсчитать хочешь?!" Бармен быстро назвал другую сумму. Как Джо догадался об обмане? Указание

6. Билл и Джек купили одинаковые револьверы. Билл платил только 3-долларовыми купюрами, а Джек -- 4-долларовыми. Общее количество банкнот, которое они отдали, не превосходит 13. Сколько стоит револьвер? Ответ Указание

7. У ковбоя Билла 180 коров. Сколькими способами он может разделить своё стадо на много одинаковых стад? Ответ Указание

8. Джо и Джек играют в такую игру: Джек называет три цифры, а Джо из них составляет однозначное, двузначное или трёхзначное число, делящееся на три. Если это ему удаётся, Джек отдает 12 долларов, а если нет, Джо отдаёт 1000 долларов. За кого бы вы играли в эту игру? Ответ Решение

Инварианты

Инвариант — это величина, которая не изменяется в результате некоторых действий. В качестве инварианта часто используют чётность, произведение или сумму данных чисел и тому подобные величины.

1. На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными? Решение

2. 100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке? Решение

3. Вера, Надя и Люба решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решенную задачу девочка, решившая ее первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причем одновременных решений не было. Может ли такое быть? Решение

4. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка? Решение

5. На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят на 2 или на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не может быть равно 54. Решение

6. На острове Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно перекрашиваются в третий цвет. Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют один цвет? Решение

Площади

Свойства площади:

Площадь целого равна сумме площадей частей.
Равные фигуры имеют равные площади.
Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $a b$ .

1. а) Докажите, что диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника.

б)Через середину боковой стороны

C D

трапеции

A B C D

проведена прямая, параллельная

A B

, пересекающая прямые

B C

A D

в точках

K

M

соответственно. Докажите, что площадь исходной трапеции равна площади четырёхугольника

A B K M

.

2. Дан прямоугольник

A B C D

а) Докажите, что $S_{A B C} = S_{A D C} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .
б) На $B C$ взята точка $K$ . Докажите, что $S_{A B C D} = 2 S_{A K D}$ .
в) На $B C$ взяты точки $K$ и $L$ . Докажите, что $S_{A K D} = S_{A L D}$ .
г) Будут ли верны эти результаты, если точки $K$ и $L$ взять на продолжении $B C$ ?
д) На прямой $B C$ взята точка $K$ , а на прямой $A D$ взята точка $L$ . Докажите, что $S_{A K D} = S_{B L C}$ .
е) Выведите из всего этого формулу площади треугольника. 3. Дана трапеция $A B C D$ с основаниями $B C$ и $A D$ . Доказать, что площади треугольников $A B D$ и $A C D$ равны. Подсказка 4. Два параллелограмма $A B C D$ и $A E F G$ расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что $S_{A B E} + S_{E H C} = S_{H F D} + S_{A G D}$ . Подсказка 5. Разрежьте одним прямолинейным разрезом на две части, равные по площади (такие части называются равновеликими):

а) правильный треугольник;
б) равнобедренный треугольник;
в) произвольный треугольник. 6. Установите, что больше: сумма площадей четырех закрашенных треугольников или площадь белой фигуры в центре? (Точки на сторонах прямоугольников — середины соответствующих сторон.) 7. Площади треугольников AOB и DOC равны. Докажите, что равны площади треугольников ABC и DCB. 8. Выразите X через S.

9. На картинке нарисованы четыре одинаковых квадрата. Середины квадратов отмечены точками. Площадь каждого квадрата равна 5. Найдите площади закрашенных фигур.

Подсчет вариантов
1. Какие двузначные коды можно составить из букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, если на первом месте может стоять гласная, а на втором — согласная? Решение
2. Сколько существует различных паролей, состоящих из четырех различных букв, если в пароле могут быть использованы только буквы А, Б, В, Г? Решение Продолжение решения

Правила суммы и произведения
1.К девочке в гости пришел мальчик, и она решила его чем-нибудь угостить. У себя в буфете она нашла семь печений и пять пирожных. Сколькими различными способами девочка может угостить мальчика, если она хочет дать ему лишь одно пирожное и одно печенье? Решение

2. Гостеприимная девочка еще порылась в буфете и обнаружила кроме семи печений и пяти пирожных еще и десять конфет. Сколько теперь есть у нее способов составить угощение для мальчика, если она хочет дать ему одну конфету, одно печенье и одно пирожное? Решение

3. Жадная девочка, отыскав в буфете семь печений, пять пирожных и десять конфет, решила дать мальчику только две какие-нибудь сладости (печенье с пирожным, пирожное с конфетой или конфету с печеньем). Сколько различных вариантов угощения может она составить? Решение

При решении таких задач самое главное — не запутаться, когда нам нужно перемножать количества вариантов, а когда складывать. Чтобы лучше себе это уяснить, сформулируем два основных комбинаторных правила. Правило произведения. Пусть объект можно выбрать способами, и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами. Тогда выбор пары можно осуществить способами. Например, в первом примере было два «объекта» — печенье и пирожное. Правило суммы. Пусть некоторый объект можно выбрать различными способами, а другой объект можно выбрать способами. Тогда существует способов выбрать либо объект , либо объект. В третьем примере такими «объектами» являются пары — (печенье и пирожное), (пирожное и конфета) и (конфета и печенье).

4. Монетку бросают десять раз. Сколько различных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться? Решение

При решении подобных задач получается ответ вида n^m, где n и m — некоторые натуральные числа. Такой ответ получается во всех задачах, в которых требуется посчитать количество способов, на каждое из мест поставить один из различных объектов. В таких задачах главное не перепутать, что в какую степень следует возводить!

5. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его помощника? Решение

Отметим, что при решении таких задач надо не забывать, что выбор первого объекта может сузить множество вариантов для выбора следующего объекта. Так, например, в пятом примере выбор старосты ограничивает число людей, претендующих на роль помощника, до 24 человек, то есть выборы старосты и помощника не являются независимыми, в отличие от первых разобранных примеров, где выбор пирожного никак не влиял на последующий выбор печенья.

Число перестановок

1. Девочке мама на завтрак дала конфету, пряник и булочку. Сколько различных порядков «поедания» этих сладостей есть у девочки? Решение

Перестановкой множества из n элементов называется любой упорядоченный набор всех элементов этого множества. Число перестановок множества из n элементов (обозначается p(n)) — это количество различных перестановок этого множества.

Если у нас лишь два элемента, то они могут быть расположены всего двумя способами: 12, 21

Для трех элементов существует шесть различных способов выписать их в строчку: 123, 213, 312, 132, 231, 321.

Для четырех элементов аналогично получаем 24 варианта перестановки:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Здесь в каждом столбце перестановки начинаются с одного и того же элемента, после которого идут всевозможные перестановки из трех оставшихся элементов (которых, как мы убедились ранее, шесть штук).

Если мы теперь запишем все перестановки из пяти элементов, то это будет табличка из пяти столбцов по 24 строчки в каждом, то есть всего 5•24 = 120 перестановок.

Сколько же всего существует перестановок из различных элементов?

Давайте считать: на первое место можно поставить любой из n элементов, на второе место — лишь (n-1) элемент (любой, кроме того, который уже стоит на первом месте), на третье —(n-2) , …, на предпоследнее — один из двух оставшихся, и на последнее место можно поставить только последний элемент.

В итоге p(n) = n•(n-1)•(n-2)•...•2•1 = n!

Для числа перестановок n элементов есть обозначение: n! (читаем: «эн факториал»). Факториал равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4.

Функция n! возрастает очень быстро. Так, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, ..., 10! = 3 628 800. Факториалы возникают в комбинаторике очень часто. Поэтому принято считать, что если ответ выражен через факториалы, то всё сделано.

Размещения

Следующее важное понятие комбинаторики — размещение. Давайте рассмотрим такую ситуацию: в классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, его заместителя и помощника заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Очевидно, сначала 25 способами можно выбрать любого ученика в старосты. Затем из 24 оставшихся — заместителя старосты, а после этого любой из 23 оставшихся может оказаться помощником заместителя. По правилу произведения, всего имеем A₂₅³=25·24·23 вариантов.

Вообще, через A_n^k (читаем: «а из эн по ка») обозначают число способов выбрать из данных n элементов сначала первый элемент, потом второй, третий,..., k-й. Вычисляют его по формуле

A_n^k = n (n – 1) ... (n – k + 1).

Заметьте: в правой части ровно k множителей, и последний из них равен n – k + 1, а вовсе не n – k, как могло показаться на первый взгляд. Формулу можно записать и через факториалы:

A_n^k = n!/(n-k)!.

Числа сочетаний

Представьте себе, что в классе из 25 человек нужно выбрать не старосту, его заместителя и помощника его заместителя, а тройку начальников, которые, обладая равными правами, будут управлять и судить класс, не выясняя, кто из троих главный, кто менее главный, а кто так себе. Тогда способов будет не A₂₅³, а в 6 раз меньше. (Подумайте об этом хорошенько! Здесь 6 = 3! — количество способов ранжировать трёх начальников, то есть количество всех перестановок на множестве из 3 элементов.)

Вообще, очень важные для комбинаторики и теории вероятностей числа сочетаний C_n^k (читаем: «число сочетаний из эн по ка» или «це из эн по ка») можно вычислить по формуле C_n^k=A_n^k/k!=n!/(k!(n-k)!).

1. В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт и марку? Ответ

2. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Ответ Решение

3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова КОНВЕРТ? Ответ Решение

4. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и чёрную ладьи так, чтобы они не били друг друга? Решение

5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного короля, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция? Ответ Решение

6. Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком. Сколько осмысленных предложений можно составить, вычёркивая некоторые слова этого предложения? (Во все предложения обязательно должны входить подлежащее Игорь и сказуемое мчался.) Ответ Решение

7. Начальник транспортного цеха пригласил несколько человек на совещание. Каждый участник совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовали в совещании, если было всего 78 рукопожатий? Ответ

8. В поход ходили 80% учеников класса, а на экскурсии было 60% класса, причём каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там? Ответ Указание

9. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией? Ответ Указание

10. На дискотеке 80% времени был выключен свет, 90% времени играла музыка и 50% времени шёл дождь. Какую наименьшую долю времени всё это обязано было происходить одновременно? Ответ Указание

11. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Сколько человек заведомо знают все три языка? Наводящий вопрос

12. Каких натуральных чисел от 1 до 1993 больше: тех, которые кратны 8, но не кратны 9, или тех, которые кратны 9, но не кратны 8? Ответ Решение

13. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра? Ответ Указание Решение

14. Сколько семизначных чисел не содержат цифры 2? Ответ Указание

15. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь к театральной кассе? Ответ Указание

16. Сколько существует 9-значных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания (то есть каждая следующая меньше предыдущей)? Ответ Решение

17. Сколько существует трёхзначных чисел, в запись которых входит ровно одна цифра 5? Ответ Решение

Индукция

Пусть требуется доказать утверждение типа: „Для каждого натурального n верно, что...”. Это всё равно, что доказать бесконечную цепочку утверждений „Для n = 1 верно, что...”, „Для n = 2 верно, что...”, ......, „Для n = 3799 верно, что...” и так далее.

Метод математической индукции состоит в том, чтобы доказать первое из этих утверждений (называемое базой индукции), а затем доказать шаг (или переход): „Если верно утверждение № n, то верно утверждение № (n + 1)”. Если верны база индукции и шаг индукции, то все утверждения верны.

Основная схема индукции: Пусть доминошки выставлены на ребро друг за другом. Нам необходимо доказать следующий факт: „Если толкнуть 1-ю доминошку, то для любого сколь угодно большого N доминошка с номером N когда-нибудь упадёт”.Для доказательства понадобится установить верность 2-х утверждений:
1) База: мы можем толкнуть первую доминошку и она упадёт.
2) Переход: если падает доминошка с номером k, то она толкает доминошку с номером (k + 1).

1. Докажите тождество: 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² для любого натурального n. Решение

2.Известно, что x + ¹/_x — целое число. Докажите, что при любом целом n число xⁿ + ¹/_xⁿ — также целое. Решение

3.Докажите неравенство 2ⁿ > n для произвольного натурального n. Решение

4.Найдите все натуральные n, при которых 2n не больше, чем n². Ответ Решение

5.В прямоугольнике размера 3×n стоят фишки трех цветов, по n штук каждого цвета. Докажите, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в любом столбце были фишки всех цветов. Решение

6.Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета так, что любые две граничащие (то есть имеющие общую сторону) части будут раскрашены в разные цвета. Решение

7.Докажите, что 1· 1! + 2 · 2! + ... + n · n! = (n + 1)! − 1 для всех натуральных n (здесь n! = 1·2·3·...·n). Решение

8.Для произвольного натурального n и вещественного x > -1 докажите неравенство Бернулли: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. Решение

9.Любую ли сумму из целого числа рублей, большего семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей? Почему? Ответ Решение

10.Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти. Для этого он провел такие рассуждения: «Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). Пусть уже доказано, что в любом табуне из (n - 1) лошади все лошади одной масти. Значит, в нашем табуне все лошади с номерами от 1 до (n - 1) одинаковой масти. По тем же соображениям лошади с номерами от 2 до n одинаковой масти. Но лошади с номерами от 2 до (n - 1) не могут менять свою масть в зависимости от того, как они сгруппированы, — это ведь лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти». Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая? Ответ Ответ

Разрезания на клетчатом листе бумаги

При решении задач такого типа полезно применять следующие соображения:

-Площадь. Если требуется разбить фигуру на несколько равных частей, стоит сначала найти площадь разрезаемой фигуры, а потом — каждой из частей. Сходным образом, если исходную фигуру нужно разбить на несколько фигур заданного вида, стоит предварительно посчитать, сколько их должно быть. Такие же соображения могут помочь и при решении других задач на разрезание. Для иллюстрации этой идеи автор этих строк добавил в список задачу 13, которой не было среди задач, предлагавшихся на занятии.

-Симметрия. Свойствам симметрии следует уделять внимание, например, в случае, когда требуется разрезать одну фигуру на части и из них собрать другую фигуру.
1.Разрежьте квадрат 5×5 с дыркой (см. рисунок) на две равные части двумя способами. Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, отличаются по форме или размеру от частей, полученных при другом способе (то есть их нельзя совместить наложением).
Ответ

2.Разделите квадрат 4×4 на две равные части четырьмя различными способами так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Ответ

3. Разрежьте флаг с 6 полосами на две части так, что бы из них можно было сложить флаг с 8 полосами.

Ответ

4. Разрежьте флаг А на четыре части так, чтобы из них можно было сложить флаг Б.

Ответ

5.Разрежьте фигуру на 4 равные части.

Ответ

6.Из двух — один. Разрежьте квадрат с дыркой двумя прямыми на 4 части так, чтобы из них и еще одного обычного квадрата 5×5 можно было сложить новый квадрат.

Ответ Решение

7.Три фигуры. Для каждой из изображенных на рисунке фигур придумайте способ разрезать ее на две части, из которых можно сложить квадрат.

Ответ Решение

8.Разрежьте «мальтийский крест» (см. рисунок) на 6 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Ответ Решение

9.Из трех — один. Дано три квадрата: 2×2, 6×6 и 9×9. Разрежьте самый большой квадрат на три части так, чтобы из полученных пяти фигур можно было сложить один квадрат. Ответ Решение

10.«Лесенка». Превратите «лесенку» в квадрат, разрезав ее на три части.

Ответ

11*.Зубчатый квадрат. Превратите зубчатый квадрат в обыкновенный, разрезав его на 5 частей.

Ответ

12*.Разрежьте «мальтийский крест» (см. задачу 8) на 5 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Ответ Решение

13**.Незнайка разрезал изображенную на рисунке фигуру на трехклеточные и четырехклеточные уголки (такие, как на рисунке). Сколько каких уголков могло получиться у Незнайки? Рассмотрите все возможные случаи!

Ответ Решение

Средневековая логика
Кто говорит правду?
Основной метод решения таких задач — перебор возможных случаев. В большинстве из них мы придем к противоречию, а остальные случаи будут возможны. Причем обязательно надо рассматривать все случаи, даже если уже найден один из возможных или, наоборот, все кроме одного оказались невозможны. Ведь бывает, что возможно несколько случаев, а бывает, что ни одного.

1. Сидят леди Джейн и леди Нинэт. «Я — Джейн» — сказала первая. «Я — Нинэт», — сказала вторая. Хотя бы одна из них врет. Кто Джейн, а кто — Нинэт? Ответ Решение

2. Леди Кэт сказала: «Я самая прекрасная. Мэри не самая прекрасная». Джейн сказала: «Кэт не самая прекрасная. Я самая прекрасная». А Мэри просто сказала: «Я самая прекрасная». Белый рыцарь предположил, что все утверждения прекраснейшей из девушек истинны, а все утверждения остальных дам ложны. Исходя из этого, определите прекраснейшую из дам. Ответ Решение

3.После битвы с драконом трех рыцарей спросили об исходе битвы. Вот что они ответили. Белый рыцарь: «Дракона убил Черный рыцарь». Красный рыцарь: «Дракона убил Белый рыцарь». Черный рыцарь: «Дракона убил я». Кто убил дракона, если только один из рыцарей сказал правду? Ответ Решение

4. Красный рыцарь поймал вора Джона с женским кошельком. Джон признался, что встретил на улице леди Джейн, леди Лину и леди Катерину и украл кошелек у одной из них. Вечером в замок Красного рыцаря прибыл гонец и сказал: «Мою госпожу ограбили». «Кого ограбили?» —спросил рыцарь. «Леди Катерину», — сказал гонец. Кому рыцарь должен вернуть кошелек, если ему известно, что гонец леди Джейн всегда говорит правду, гонец леди Лины всегда лжет, а гонец леди Катерины через раз говорит то правду, то ложь? Ответ Решение

5.Четверо рыцарей обсуждали количество камней драгоценных камней в короне короля. Сэр Джон сказал: «Это число 9». Сэр Эндрю сказал: «Это простое число». Леди Нинэт: «Это четное число». А леди Джейн сказала, что это число 15. Назовите это число, если правду сказала только одна леди и только один рыцарь. Ответ Решение

6.Один из пяти рыцарей победил на турнире. И они рассказывают о турнире леди Марии. Сэр Ланселот сказал: «Это Сэр Гавейн или Сэр Джон». Сэр Гавейн сказал: «Победил не я и не Сэр Джероми». Сэр Джон сказал: «Вы оба шутите!». Сэр Эрик сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой нет». Сэр Джероми сказал: «Нет, Сэр Эрик, ты неправ». Про троих рыцарей (но неизвестно, про кого именно) леди Мария знает, что они никогда не лгут. Кто победил на турнире? Ответ Решение

Все писать в таблицу

Для решения задач этого типа удобно составить таблицу таким образом: по строкам выписать, например, персонажей задачи, а по столбцам — признаки, которыми они обладают. На пересечении столбца и строки ставится плюс, если персонаж обладает указанным признаком, и минус в противном случае. Причем из условия задач следует, что каждым признаком обладает ровно один персонаж. Для нас это означает, что в каждом столбце и каждой строке должен быть ровно один плюс. Значит, как только на пересечении какой-то строки и какого-то столбца появляется плюс, остальные ячейки этого столбца и этой строки заполняются минусами. Наоборот, если все клетки столбца или строки, кроме одной, уже заняты минусами, то в оставшуюся свободную клетку можно смело писать плюс.

Бывает, что каждый персонаж обладает не одним, а двумя и более признаками. В этом случае возможны разные подходы. Один из них заключается в том, чтобы составить большую таблицу, включив в нее все признаки, и постепенно ее заполнять. Скорее всего, для этого придется пройтись по всем условиям задачи несколько раз, все время делая новые выводы с учетом уже полученных. Таким способом решены, например, задачи №9 и №11.

Одна из самых известных задач такого рода — загадка Эйнштейна, каждый персонаж которой обладает аж пятью признаками. Существует несколько вариантов условия этой задачи; один из них можно найти, например, на сайте ru.wikipedia.org. Там же приведено и решение, но прежде чем его читать, попробуйте ее решить самостоятельно!
7.Встретились три рыцаря: Красный, Белый и Черный. У них были белый, красный и черный щиты. Рыцарь с белым щитом сказал Черному рыцарю: «Интересно, что цвет щита на каждого из нас не соответствует имени». Какой цвет щита у каждого? Ответ Решение

8.Черный, Красный и Белый рыцари каждое утро прогуливаются по королевским владениям. Один из них ездит верхом, другой — на колеснице, а третий прогуливается пешком. Однажды утром Белый рыцарь встретил своего друга, прогуливающегося на лошади. Когда мимо них проезжала колесница, третий рыцарь (ехавший на колеснице) крикнул: «Господин Черный рыцарь, Вас в замке ожедает прекрасная дама!». Кто из рыцарей на чем любит прогуливаться утром? Ответ Решение

9. На турнире присутствовали три сестры короля: леди Мэри, леди Катерина и леди Нинэт. Они были в белом, красном и золотом платьях. Та, что была в белом не любит лошадей и меньше всех ростом. Нинэт и Мэри каждое воскресенье катаются верхом, причем Нинэт ростом выше той, что была в красном. Скажите, как была одета каждая из дам. Ответ Решение

10.В свите королевы 5 фрейлин: леди Мэри, леди Нинэт, леди Аннет, леди Катерина и леди Джейн. У каждой из них есть домашнее животное: кошка, собака, горностай, соловей и кролик. Королева помнит, что:

Леди Нинэт и Леди Катерина не любят кошек.
Леди Мэри и Леди Катерина думают завести себе собаку.
Леди Нинэт и Леди Джейн имеют покои на одном этаже с владелицей горностая.
Леди Аннет иногда прогуливается по утрам вместе с Леди Нинэт или с владелицей кролика.
Леди Мэри и Леди Нинэт в свободное время любят сплетничать с владелицей соловья.
Леди Катерина, леди Аннет и владелица кролика любят вышивать.
Владелица горностая вышиванием не увлекается.

Королева поняла, у какой из ее фрейлин какой любимец. А вы поняли? Ответ Решение

11.Вчера леди Джейн, леди Мэри, леди Лилиан, леди Аннет, сэр Эрик, сэр Чарльз, сэр Джон, сэр Гавейн развлекались. Причем каждый из рыцарей пригласил с собой даму. Известно, что:

Сэр Джон был на балу.
Сэр Гавейн провёл всё время с леди Лилиан.
Сэр Эрик так и не увиделся с леди Аннет.
Леди Мэри побывала в замке короля Лира.
Леди Аннет каталась на лошади.
Кто-то из них посетил театр.

Кто с кем был и где? Ответ Решение

Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка друзей вк

KISS

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233.Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234.27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235.Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236.Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237.В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238.По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.Решите уравнение $(x^{2} - x + 1)^{2} - 10 (x - 4) (x + 3) - 109 = 0$ . В ответе укажите сумму его корней.

3226.Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227.Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228.Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229.При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230.Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231.Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

3218.Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219.Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220. Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221.Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222.У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223.Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224.На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $331$ . Чему равен куб суммы этих чисел?

3212.При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213.В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214.Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215.На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216.В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217.Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?

К началу