vivat2.okis.ru

Локация Главная страница Карта сайта 

Прототипы задания 16 профиля ЕГЭ - 2021

Тема заданий № 16 "Планиметрическая задача"

Типы заданий № 16: Многоугольники и их свойства здесь здесь здесь здесь Окружности и системы окружностей здесь здесь Окружности и треугольники здесь здесь   здесь  здесь здесь здесь здесь Окружности и четырехугольники здесь

За это задание ты можешь получить 3 балла. На решение дается около 25 минут.  Уровень сложности: повышенный. Средний процент выполнения: в 2019 году 2.7%, в 2020 году 3,8%.  Ответом к заданию 16  должен быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). Требования ФИПИ к профильному уровню здесь Справочные материалы здесь

Геометрия окружности здесь здесь здесь Вписанный и центральный углы здесь здесь Вписанная окружность треугольника здесь  здесь Описанная окружность треугольника здесь здесь  Вписанный четырехугольник  здесь Описанный четырехугольник здесь Вневписанная окружность треугольника здесь

Геометрия четырехугольников  Четырехугольники здесь Параллелограмм здесь здесь здесь Площадь параллелограмма здесь Площадь ромба  здесь Трапеция здесь  здесь здесь Площадь трапеции здесь

Отношения здесь здесь здесь здесь здесь здесь

Критерии оценки решения задания № 16:
3 балла   Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и обоснованно получен верный ответ в пункте Б.

2 балла    Обоснованно получен верный ответ в пункте Б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта А, и при обоснованном решении пункта Б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

1 балл    Имеется верное доказательство утверждения пункта А.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта Б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте Б с использованием утверждения пункта А, при этом пункт А не выполнен.

0 баллов    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Некоторые старшеклассники считают, что могут обойтись без знания планиметрии на ЕГЭ, и, занимаясь только алгеброй, могут сдать ЕГЭ на высокие баллы и поступить в выбранный вуз. Правы ли они?  На самом деле на ЕГЭ  может встретиться сложное неравенство (задание 15) и тем более — сложная «экономическая» задача. Недобор баллов  за эти задачи и баллов, которые можно было получить за планиметрическую задачу, не позволит получить желаемое количество баллов для поступления. Следует учесть и то, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии  могут быть и  проще, чем по алгебре. Приведем пример задания, которое можно решить разными способами. Тип задания № 16 "Окружности и четырехугольники. Окружность, описанная вокруг четырехугольника". ЕГЭ 2016 (Ященко) и ЕГЭ  2018 (досрочная волна): В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: АВ = 3, ВС = СD= 5, АD= 8, АС = 7.

а) Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

б) Найдите ВD. При решении использованы методы геометрии: теорема Птолемея здесь, теорема косинусов здесь Решение 1) а) здесь  б)здесь 2) б)здесь 3)б) здесь 4)аб здесь 

Надо знать определения, формулы и теоремы, свойства геометрических фигур. Знаете ли вы ключевые задачи и избранные  методы и приемы? Можно повторить здесь  здесь здесь  здесь  здесь Да, это первый этап освоения планиметрии. Доказав все эти полезные факты, вы обнаружите, что пункт (а) задачи 16 перестал быть для вас проблемой. Учите материальную часть! Лучшая тренировка на начальном этапе — решать задания № 3 и № 6 из первой части ЕГЭ  и повторить  теорию к № 26 из ОГЭ здесь

Геометрия, конечно, это не алгебра, и готовых алгоритмов здесь намного меньше. Но, когда вы отлично знаете  теоремы, формулы, свойства геометрических фигур, то вам легко будет вспомнить требуемое при решении задачи ЕГЭ. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. B каких формулах он встречается? — Вспоминаете: в формулах для площади правильного треугольника и правильного многоугольника.

Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. A это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б). 

Докажем факт,который  часто встречается в задачах № 16 ЕГЭ: пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD –  в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны. Доказательство.Пусть угол ВАD равен α. Четырехугольник АВСD вписан в окружность, поэтому угол ВСD равен 180° - α. Угол ВСМ – смежный с углом ВСD, и значит, ∠ВСМ= ∠BAD = α, треугольники ВМС и DMA подобны по двум углам, чтд.

Как провалить решение задачи 16?  Отвратительный чертеж – и дело в шляпе (см. задачу №14).

Задачи с ответами для самостоятельного решения и  самопроверки,

предлагаемые авторами ЕГЭ на экзаменах прошлых лет, а также из открытого банка ФИПИ:

1. 2021 год. Демонстрационный вариант ЕГЭ. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. 

Решение здесь или б) здесь Критерии здесь

1.  2021 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь

2.  2021 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко , условие здесь  Решение здесь

3.  2021 год. Вариант 11 Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

4.  2021 год. Вариант 17 Ященко, условие здесь  Решение здесь

5. 2021 год. Вариант 21 Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

6.  2021 год. Вариант 27 Ященко, условие здесь  Решение здесь

7. 2021 год. Вариант 31 Ященко, условие здесь  Решение здесь

8. 2020 год, основная волна ЕГЭ, Санкт-Петербург. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём  AC₁ : C₁B = 8 : 3, BA₁ : A₁C = 1 : 2, CB₁ : B₁A = 3 : 1. Отрезки BB₁ и CC₁ пересекаются в точке D.

а) Докажите, что ADA₁B₁ — параллелограмм.

б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 28, BC = 18.

Решение здесь здесь здесь здесь Теорема Менелая здесь

9. 2020 год, основная волна ЕГЭ, Москва. Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.

а) Докажите, что AE параллельно BD.

б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15. Решение здесь

10. 2020 год, основная волна ЕГЭ, Краснодар. 

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.

а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.

б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML. Решение здесь

11. 2020 год. Основная волна. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

12. 2020 год. Основная волна. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение  здесь  Критерии здесь

13. 2020 год. Основная волна. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение  здесь  Критерии здесь

14. 2020 год. Основная волна. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение  здесь  Критерии здесь

15. 2020 год. Основная волна. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение  здесь  Критерии здесь

16. 2020 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение  здесь  Критерии здесь

17.  2020 год. Вариант 1 Ященко условие здесь  Решение здесь Критерии  здесь

17.  2020 год. Вариант 7 Ященко условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

18.  2020 год. Вариант 11 Ященко условие здесь Решение  здесь здесь Критерии здесь

19.  2020 год. Вариант 17 Ященко условие здесь Решение здесь здесь здесь Критерии  здесь

20.  2020 год. Вариант 22 Ященко условие здесь  Решение здесь здесь здесь Критерии здесь здесь

21.  2020 год. Вариант 27 Ященко условие здесь Решение здесь здесь Критерии здесь

22.  2020 год. Вариант 32 Ященко условие здесь Решение  здесь  Критерии здесь

23. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Центр. Тип задания: окружности и четырехугольники. Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите KN, если   а радиус окружности равен 12. 

Решение здесь  При решении использованы методы геометрии: свойства ортоцентра. Замечание. Пункт а) это известный факт о том, что при изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности. Можно увидеть в задаче стандартную конструкцию: радиус описанной окружности и высоту, проведенные из одной вершины треугольника. Эти отрезки переходят друг в друга при симметрии относительно биссектрисы треугольника, исходящей из той же вершины. Поскольку при такой симметрии стороны угла также переходят в друг друга, угол КВС переходит в угол ABN. Отсюда и следует равенство хорд AN и СК. Прямые, проходящие через вершину угла и симметричные относительно биссектрисы этого угла, называются изогональными. Материалы по данной теме можно взять, например, в статье Д. Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники» здесь

24. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Дальний восток. Условие здесь Решение здесь    Замечание. Напомним лемму о трезубце (также называемой леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника,связанная со свойствами вписанной, вневписанной и  описанной окружности треугольника). Пусть P – центр вписанной окружности треугольника АВС, Q – центр его вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.Тогда точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью равноудалена от точек B, C, Р, Q. 

   Доказательство здесь

25. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

26. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

27. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

28. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

29. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

30.2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

31. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь  Решение здесь Критерии здесь

32. 2018 год. Основная волна ЕГЭ. Окружность проходит через вершины A,B и D параллелограмма ABCD. Эта окружность пересекает BC в точке E, а CD в точке K. 

а) Докажите, что отрезки AE и AK равны. 

б) Найдите AD, если известно, что EC=48, DK=20, а косинус угла BAD равен 0,4.
Решение здесь здесь здесь

33. 2018 год. Вариант ЕГЭ. СтатГрад. Москва. Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке K.

 а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BKC. 

б) Найдите расстояние от точки K до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно. Решение здесь здесь здесь

34. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Сумма оснований трапеции равна 13, диагонали равны 5 и 12. 

а) Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. 

б) Найдите высоту трапеции. Решение здесь  здесь

35. 2017 год. Досрочная волна ЕГЭ. В треугольнике ABC угол C равен 45∘, угол A равен 60∘. Точки A1, B1, C1 – середины сторон BC, AC, AB соответственно. AK – высота.   

а) Докажите, что точки A1,B1,C1,K лежат на одной окружности.  Решение здесь

б) Найдите A1K, если квадрат BC=12. Решение  здесь
36. 2017 год. Официальный пробный ЕГЭ.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2. 

а) Докажите, что ∠BAC=30∘. Решение здесь

б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке Q. Найдите KQ, если квадрат BC=12. 

Решение здесь здесь

37. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. Точка M – середина гипотенузы AB треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к AB пересекает катет BC в точке N.   

а) Докажите, что ∠CAN=∠CMN.  Решение здесь

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если tg∠BAC=4/3.
Решение здесь
38. 2017 год. Основная волна ЕГЭ.  Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На ее стороне AB взята точка K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. 

а) Докажите, что CO=OK. Решение здесь

б) Найдите отношение оснований трапеции BC:AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/64 площади всей трапеции ABCD. Решение здесь
39. 2017 год. Основная волна ЕГЭ.  Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причем точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно. 

а) Докажите, что треугольники BCD и O1AO2 подобны. Решение здесь 

б) Найдите AD, если ∠DAE=∠BAC, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой окружности и AB=3. 

Решение здесь здесь

40. 2017 год. Основная волна ЕГЭ.  Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от точки A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P. 

а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны. Решение здесь

б) Известно, что квадрат sin⁡∠AOC=15/16, прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите QK:KA. Решение здесь

41. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно. 

а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 взаимно перпендикулярны. Решение здесь

б) Найдите площадь четырехугольника MO1NO2, если известно, что AC=20, BC=15. Решение здесь здесь
42. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. В трапецию ABCD с большим основанием AD вписана окружность, которая касается боковых сторон AB и CD в точках N и M соответственно, причем AN:NB=8:1, DM:MC=2:1. 

а) Докажите, что AD=4BC. Решение здесь здесь

б) Найдите MN, если известно, что квадрат радиуса данной окружности равен 6. Решение здесь
43. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром в O. 

а) Докажите, что sin⁡∠AOD=sin⁡∠BOC. Решение здесь

б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD=90∘, а основания равны 5 и 7. Решение здесь здесь

Чтобы продолжить подготовку к ЕГЭ 2021, перейдите по ссылкам на другие страницы сайта:

Локация Главная страница Карта сайта

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней. E-mail:  [email protected]