vivat2.okis.ru

Локация Главная страница Карта сайта

Математика - это здорово!

Задача 32.   Любимые олимпиадные задачи.

7 класс

1.Цифру 9, с которой начинается трёхзначное число, перенесли в конец числа. В результате чего получилось число на 216 меньше данного. Какое число было первоначально?

2.Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время длину этого участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?

3.Капитан Врунгель погнался за кенгуру. Кенгуру в минуту делает 70 прыжков, каждый прыжок — 10 м. Капитан Врунгель бежит со скоростью 10 м/с. Догонит ли капитан Врунгель кенгуру? Ответ обоснуй.

4.На отрезке AB, длина которого 6 см, отмечены 2 точки: M и K. Известно, что BM=2BK; AM=0,8AK. Найди длину отрезка MK.

Метод следов

Учащаяся 10 класса сделала заявление, что не понимает как строить сечения многогранников. Я намекнул, что для этого существует метод следов. И тут же услышал: «А что такое след?». Веселая история! Что делать? Предлагаю вспомнить, где приходилось встречаться с этим словом в повседневной жизни. Вот идешь ты по снегу, а сзади остаются твои следы – отпечатки подошв обуви. Криминалисты ищут на месте преступления отпечатки пальцев – следы  преступления. При пересечении многогранника секущей плоскостью найди следы, т. е.  отрезки, по которым она пересекает грани многогранника. Соедини их надлежащим образом и получи многоугольник, который и будет искомым сечением.

Задача 31. Любимая задача на сечение пирамиды.

 О - точка пересечения диагоналей основания АВСD пирамиды SABCD. На продолжении ребра SD за вершиной S отмечена точка Т так, что SD:ST=5:2, точка Р делит ребро АS в отношении 4:1, считая от вершины А. Постройте сечение пирамиды плоскостью ТОР.

Решение в ссылке 1

14 марта любители математики отмечают неофициальный праздник числа Пи. Его придумал американский физик Ларри Шоу в 1987 году.

Метод рационализации 

(или метод замены множителей 

или метод декомпозиции)

Я применяю этот метод при решении различных видов неравенств в 9 - 11 классах. Он позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд "стандартных задач". Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих авторов учебников по математике для средних школ, и многие учителя просто не знают о его существовании. Этот метод  позволит тебе перейти от неравенства, содержащего сложные логарифмические, показательные и т. п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Если по каким-то причинам тебе неудобно работать с каким-либо множителем, ты можешь заменить его на другой множитель, знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни. Это и определяет основную идею метода замены множителей. Речь идет о строго (!) монотонных функциях, т. е. о функциях либо строго убывающих, либо строго возрастающих. 

Большинство изучаемых в школе функций являются непрерывными, которые на многих промежутках области определения являются строго монотонными. Например, функция y=sinx на промежутке (−π/2,π/2) является строго возрастающей, поэтому множитель, представляющий собой разность sin(π/9)−sin(π/7), можно заменить на множитель, представляющий собой разность π/9−π/7. 

Функция y=a^t, как известно, строго убывает при 0<a<1 и строго возрастает при a>1. Поэтому, например, для a=10 имеем:  10^t1−10^t2↔t1−t2

(символ ↔ означает знакосовпадение).

Для произвольного основания, пользуясь основным логарифмическим тождеством, получаем, что a^t1−a^t2=(10 ^lg a)^t1−(10 ^lg a)^t2=10^ t1 lg a−10^ t2 lg a.

Откуда  a^t1−a^t2↔(t1−t2) lg a.   (1)

Функция y=lg x строго возрастающая, поэтому в ОДЗ

x1−x2↔lg x1−lg x2.

Если x1=a и x2=1, то получаем, что

a−1↔lg a−lg 1, то есть

lg a↔a−1.    (2)

Откуда соотношение (1) принимает вид

a^t1−a^t2↔(t1−t2)(a−1).    (2.1)

Таким образом, разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.

Для логарифмической функции y=logat, где а -основание логарифма, аналогично получаем, что logat1−logat2=lg t1/lg a−lg t2/lg a=(1/lg a)(lg t1−lg t2).

Отсюда следует, что logat1−logat2=(lg t1−lg t2)/lg a=(t1−t2)/(a−1),

то есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания и единицы:    logat1−logat2↔(t1−t2)/(a−1)    (3)

Утверждения (2.1) и (3) равносильны, поскольку показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.

Утверждения (2.1) и (3) позволяют  эффективно решать очень многие неравенства, например:

1. a^f−a^g⇔((f−g)(a−1)>0, a>0),
2. (a^f>b, b>0)⇔(f−logab)(a−1)>0,
3. logaf>logag⇔((f−g)(a−1)>0,f>0, g>0, a>1), и т. д.

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить  замену |f|-|g| на (f-g)(f+g). Листай ссылки: 0 1 

Метод рационализации в показательных неравенствах 1 2

Метод рационализации в логарифмических неравенствах 1 2

Наиболее часто используемые замены (без учета ОДЗ).

а) Замена знакопостоянных множителей: 2 

б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем: 3  

в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими выражениями: 4

Задача 30.   Любимые олимпиадные задачи.

6 класс

1.Расшифруй запись примера на сложение, где одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры:

АБВГ + АБДГ = ВДГАГ

2.Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

3.Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

4.Часы показывают 1 час дня. Найди ближайший момент времени, когда часовая и минутная стрелки совпадут.

5.Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву луга за 96 дней?

6.Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4 ровно один раз, можно составить много различных пятизначных чисел. Все эти числа расставили в возрастающем порядке. Какое число стоит на 75-ом месте?

7.Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, почти-квадратом. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?

Простой способ вычисления процентов в уме.
А ты знаешь, что X процентов от Y равны Y процентов от X? Например, если тебе необходимо вычислить 4% от 75 в уме, просто „переверни“ формулу и узнай 75% (т.е. 3/4) от четырех. Ответ: 4% от 75 = 75% от 4 = 3.

А теперь найди 18% от 50. Звучит довольно сложно, но вместо этого находи 50% (т.е. половину) от числа 18 и  получишь 9. Ответ: 9. 

Запомни: Х% от Y = Y% от Х

Впрочем, эта формула помогает далеко не всегда. Есть и «неудобные» числа: 21% от 27 или 19% от 89. В этом случае стандартный подход: переводи проценты в десятичную или обыкновенную дробь и умножай на число, от которого находишь проценты. 

В частности, 21% от 27 = 0,21х27 = 5,67 или 27% от 21 = 0,27х21 = 5,67 (надо устно умножить 21 на 27 и в полученном произведении отделить запятой две цифры справа налево).

Возводи в квадрат числа до 100 в уме

В школе знаменитого педагога 19 века С. А. Рачинского учащиеся умели возводить в квадрат натуральные числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме. Оказывается, освоить возведение в квадрат таких чисел может любой, даже не слишком продвинутый в математике ученик. Ну, например, сколько будет 96 в квадрате?

Сначала остановлюсь на правиле, позволяющем возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на пятерку: 15 в квадрате, 25 в квадрате, 35 в квадрате, 45 в квадрате, …, 95 в квадрате. Правило такое: количество десятков возводимого в квадрат числа (например, количество десятков числа 95 равно 9) умножить на число, которое на единицу больше (то есть на 10 в случае 95) и приписать 25. Ответ: 9025. Почему так получается, ученик, знакомый с формулами сокращенного умножения без труда поймет: если дано двузначное число, у которого цифра десятков а и цифра единиц 5, то это двузначное число 10а+5 возведем в квадрат и получим 100а(а+1)+25.

Если ты возьмешь таблицу квадратов, имеющуюся в учебниках 7-го, 8-го, 9-го классов, то среди чисел, перечисленных в ней, есть так называемые «опорные» числа: во-первых, 10, 20, 30, 40, ….90 и, во-вторых, 15, 25, 35… 95. Это те числа, возвести которые в квадрат очень просто.

Теперь бери число 96 и возводи его в квадрат. Для этого возведи в квадрат 95 и прибавь 95 + 96 и получишь ответ.   95 в квадрате 9025. Дополнения до 100 чисел 95 и 96 – это 5 и 4, поэтому  95+96= 100 + 100 – (5 + 4) = 200 – (5+4). Пишем результат: 9025+200-(5+4)= 9216. Аналогичным способом при соответствующей тренировке (а чтобы тренировка не была скучной, позови на помощь друга, пусть он пишет двузначное число, а ты — итог возведения этого числа в квадрат, затем меняйтесь местами) можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета перед одноклассниками.

Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, упрощаю объяснение принципа возведения в квадрат. Как это все-таки делается? Берем 4 в квадрате. Это будет 16. Берем 5 в квадрате. Это будет 25. Берем 6 в квадрате. Это будет 36. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа 5 в квадрате получается прибавлением к предыдущему квадрату 4 суммы  чисел 4 и 5. Итак, 5 в квадрате = 4 в квадрате + (4+5), т.е. 16+9=25. Или 7 в квадрате = 36  + (6+7) = 49. Продвинутые, наверно, заметили, что и здесь работает формула квадрата суммы: если первое число а, второе число а+1, то (а+1)^2=a^2+2a+1=a^2+(a+a+1).

Вот еще 2 способа возвести в квадрат 96:

1) 96^2=(90+6)^2=90^2+2x90x6+6^2=8100+1080+12=9216;

2) 96^2=(96+4)(96-4)+4^2=100x92+16=9216.

Листайте ссылки: 1 2  3 4  5  6  7  8

Стефан Банах: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии».

С математическими определениями связано  много образов. Вспомните, что «биссектриса—это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». Медиана - это такая обезьяна, которая прыгает на сторону и делит её поровну. А вот алгебраическая сумма — это поезд, ее члены — пассажиры, а знаки — их багаж. И нельзя пассажиру без багажа перемещаться. Лучше понимать, что такое посторонние и потерянные корни уравнения помогает следующая аналогия. Идете вы в лес с друзьями гулять, глядите — собачка к вам присоединилась, бежит и бежит рядом. Не мешает, но не ваша. Одним словом — посторонняя. А вот если вы в лес пошли, и там кого-то из приятелей потеряли — это катастрофа. Нужно весь лес на уши поднять, чтобы его найти.

Задача 29.   Любимая задача № 16 ЕГЭ

Две окружности с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом. Из точки O1 проведена касательная O1K ко второй окружности (K - точка касания), а из точки O2 проведена касательная O2L к первой окружности (L - точка касания), точки K и L лежат по разные стороны от прямой O1O2.

а) Докажите, что ∠O1KL=∠O1O2L.

б) Найдите радиус меньшей окружности, если дополнительно известно, что он в 4 раза меньше радиуса большей окружности, а площадь четырёхугольника O1KO2L равна 54+9√6.  

Решение в ссылках: 1  2  Ответ: 3.

Мнение Никиты Шамгунова, создателя проекта по ускорению баз данных MemSQL: «В России нужно быть упорнее, чтобы добиваться результатов. А в США за математиками очереди стоят». 

Онлайн-олимпиада «Я люблю математику»  для 1—4 классов 

Сложим выражения:

Задача 28.   Серия  моих задач "Где эта улица, где этот дом".

1.Сумма номеров домов, которые стоят по одну сторону одного городского квартала, равна 135, по одну сторону другого квартала – 235, причем некоторые дома этих кварталов имеют одинаковые номера. Укажите эти номера. В ответ запишите произведение найденных чисел. ("Математика в школе")

Решение.Поскольку обе суммы номеров домов нечетные, то в каждом из кварталов есть нечетное количество домов, и все они имеют нечетные номера. Если k – номер среднего дома в одном квартале, а n – количество домов в этом квартале, то сумма всех номеров домов квартала равна kn, так как сумма любых двух номеров, которые одинаково удалены от  k –номера среднего дома, равна  2k. Поэтому для второго квартала kn = 235=1·235 = 5·47. Так что в этом квартале есть 5 домов, а средний дом имеет номер 47, т. е во второй квартал входят дома с номерами 43, 45, 47, 49 и 51. Номера 49 и 51 не могут быть общими для двух кварталов, поскольку сумма номеров любых двух соседних с ними домов меньше 135, а любых трех – больше 135. Поэтому общими номерами являются 43, 45 и 47. Ответ: 90945. (Проект Diofant.ru)

2. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы – 117. Найдите номера домов этих кварталов. В ответ запишите сумму найденных чисел. ("Математика в школе")

Решение. Рассуждаем так же, как в предыдущей задаче. Получаем, что номер среднего дома первого квартала – 11 либо 33, либо 99, а второго квартала – 13 либо 39, либо 117. Поскольку кварталы соседние, то номера домов – 31, 33, 35, 37, 39 и 41. Ответ: 216. (Проект Diofant.ru)

3. Школа находится на одной улице с моим домом. Однажды, идя в школу, я начал считать на этой стороне улицы сумму номеров домов, мимо которых я проходил. Когда сумма номеров стала равной 99, перешел через перекресток. После этого я начал считать вновь и насчитал сумму 117. Затем перешел еще через перекресток. И в следующем квартале считал сумму номеров домов. Там она была равной 235, включая и номер дома школы, которая стоит последней в этом квартале. В доме с каким номером живу я? Какой номер дома имеет школа? В ответ запишите сумму номеров моего дома и номера дома, который имеет школа. ("Квант")

Решение.Так как в суммах получились нечетные числа, то человек шел по нечетной стороне улицы, и каждый раз суммировал нечетное количество номеров домов. При этом нетрудно найти номер среднего дома в каждой группе – он равен соответствующей сумме, поделенной на количество домов в группе. Число 235 раскладывается на множители двумя способами: 235 = 5·45 и 235 = 1·235. Отсюда следует, что в этом квартале или 5 домов и средний дом имеет номер 47, или один дом, который имеет номер 235. Но из условия видно, что ни один из соседних домов не может иметь номер 233 или 237, ибо в последнем квартале 5 домов с номерами 43, 45, 47, 49, 51. Если 117 = 3·39, то в этом квартале находятся дома с номерами 37, 39, 41, а в первом квартале –  31, 33, 35. Таким образом, человек живет в доме  № 31, а школа находится в доме № 51.

Ответ: 82. (Проект Diofant.ru)

Когда номер твоей квартиры 314...))

7 ВОЛШЕБНЫХ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ в ссылке  1

Как тебе могут пригодиться формулы сокращенного умножения?! Хороший вопрос... Вот тебе пример из жизни. У тебя есть квадратная комната 103 м х 103 м (хорошая комната, правда?) и тебе нужно застелить ее плитками 1м х 1м. Сколько нужно плиток? Продавец - твой друг - говорит, что тебе нужно "около 12000 плиток". Проверять его расчеты тебе неудобно, но ты можешь посчитать в уме! С помощью формул сокращенного умножения. Просто представь 103, как сумму 100 и 3 и возведи ее в квадрат по формуле квадрата суммы: 10000 + 600 + 9 = 10609. В общем понятно сколько плиток надо на самом деле? С помощью формул сокращенного умножения можно легко в уме находить квадраты больших чисел. На экзамене можно проверить БЫСТРО свои расчеты в сложных примерах, а так же приводить многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых). Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач! А время - это... сдашь ты экзамен или нет, поступишь ты на бюджет или тебе придется платить за учебу… 
«Что, формулы сокращенного умножения? Это же так легко!»- скажет кто-то. Да? Тогда почему многие из вас регулярно не замечают их в примерах? Или видят, но применяют неправильно? Мне уже порядком надоело исправлять у своих учеников ошибку, в которой у них (a+b)^2 дает a^2 + b^2... Ну, не так это работает, не по правилу! "Глупые ошибки?" – конечно, но баллы на экзаменах забирают с завидной регулярностью. Давайте не допускать таких обидных ошибок! Листайте ссылки, на них разобраны примеры их применения (и простые, и посложнее)

1 2  3  4  5  6  7  8

Мартовский комментарий об учебе ученицы 6 класса

1)Ученица на начало занятий имела весьма поверхностные знания по математике, хотя и посещала гимназию. Хотела решать самые сложные задачи, но это у нее не получалось.

2)Были выявлены следующие проблемы: слабая база по изученным математическим темам в 5-6 классах, многие темы пройдены и благополучно забыты, решение более сложных задач самой ученицей весьма проблематично. Сама ученица говорила, что не знает как решать уравнения,находить неизвестный член пропорции, действия с десятичными дробями выполняла с многочисленными ошибками, испытывала затруднения с процентами.

3)За время занятий ученица научилась уверенно решать уравнения, лучше стала считать, работать с рациональными числами, решать задачи на движение.

4)Что еще нужно освоить по предмету для достижения поставленной цели - улучшить знания: не упустить очень важный этап в учебе - повторить и систематизировать весь курс математики 6 класса, постоянно решать примеры и задачи самостоятельно, выполнять домашние работы под контролем родителей и учителя.

Спираль Феодора с 16 треугольниками

Спираль Феодора ( спираль квадратного корня) - это спираль, состоящая из серии смежных прямоугольных треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника с длиной сторон, равных единице. Спираль была впервые построена греческим математиком Феодором Киренским. В каждом последующем прямоугольном треугольнике гипотенуза равна квадратному корню из соответствующего последующего натурального числа. Феодор Киренский известен как учитель Платона, живший в V веке до нашей эры на территории Ливии. Платон упомянул Феодора в своем диалоге «Теэтет». Феодор доказал, что все квадратные корни неквадратных целых чисел от 3 до 17 являются иррациональными числами. Платон не приписывает Феодору доказательства иррациональности квадратного корня из 2, потому что она была хорошо известна до него. В 1958 году Эрих Тойфель доказал, что никакие две гипотенузы треугольников, из которых строится спираль (её бесконечный вариант), не будут лежать на одном луче. Кроме того, если стороны единичной длины продолжить до прямой, они никогда не пройдут ни через одну из других вершин спирали.
https://jain108academy.com/

...ЕЩЕ...