vivat2.okis.ru

ЛокацияГлавная страница Карта сайта

Прототипы задания 15 профиля ЕГЭ - 2021

Тема заданий № 15 "Неравенства"

Типы заданий № 15: Рациональные неравенства здесь здесь здесь здесь здесь Неравенства, содержащие радикалы здесь Показательные неравенства здесь здесь Логарифмические неравенства здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь Неравенства с логарифмами по переменному основанию здесь здесь здесь здесь Неравенства с модулем здесь здесь Смешанные неравенства  здесь здесь здесь   здесь

За задание № 15 можно получить 2 балла. На решение дается около 15 минут. Уровень сложности: повышенный. Средний процент выполнения: в 2019 году 20,8%, в 2020 году 14,8%. Ответом к заданию 15 по математике должен быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). Требования ФИПИ к профильному уровню здесь

Что требуется в № 15? Решить одно из неравенств: тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое (в том числе с переменным основанием), с радикалом, смешанное, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы. Особенности. Здесь необходимо свести сложное неравенство к простейшему. Часто для этого используются замены показательных и тригонометрических функций (не забывайте про ограничения!). Также нужно знать метод интервалов и метод рационализации здесь для логарифмических, показательных неравенств и неравенств, содержащих модуль. Полезные советы. Метод решения логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции. Помните, что если у логарифма переменное основание, то нужно рассматривать два случая: а) основание лежит в диапазоне от 0 до 1 (функция убывает), б) основание больше единицы (функция возрастает). Если основание переменное, то можно избавиться от перебора случаев, перейдя к новому, постоянному основанию. В логарифмических неравенствах внимательно следите за областью допустимых значений, применяя формулы действий с логарифмами, она может как расширяться, так и сужаться. И если первую ситуацию легко исправить, то вторая приведет к потере решений, что недопустимо. Из практики видно, что 15 задание - это одно из тех заданий, которое пробуют решать почти все. Даже школьники, у которых вторая часть «не идёт». В 15 задании чаще предлагают решить «одиночное» неравенство. Тема «Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов» очень важна не только при решении № 15, но и для № 12 и ряда задач № 17.

Самые распространённые ошибки, которые допускают решающие № 15:

1. Умножают на знаменатель дроби который с переменной, т. е просто избавляются от него  (нельзя умножать/делить на выражение с Х, если вы при этом нигде не накладываете ограничений). Всегда приводим к общему знаменателю.

2. При делении/умножении на отрицательное число не меняют знак неравенства (а надо!);

3. Некоторые учащихся по недосмотру или по невнимательности неверно преобразовывают выражения. Например: 16 ˑ 2^х   иногда  записывают как 32^х. Это неверное преобразование. Выражение 16ˑ2^х  преобразовать в 32^х нельзя,  т. к. нельзя перемножать  число на основание степени.  Или log(2x) делят на 2 и получают ошибочно log(x). Ни в какие ворота такое преобразование не лезет.  log сам по себе не существует, так же как и cos, и sin. Этот символ указывает только на то, какую операцию надо произвести над 2х, прежде чем делить на 2.

4. Кто-то, перейдя от неравенства к уравнению, в конце решения уже забывает, что надо было решить неравенство, а не уравнение. В результате окончательный  ответ записывает неправильно.

5. В решении неравенств почти всегда есть замена переменных. Бывает, что вернуться обратно тоже забывают...  Какой вывод?  Учите теорию, ребята. Без неё правильное решение 15 задания не получится. И будьте внимательнее. Чтобы решить задание 15  нужно знать как решаются все вышеуказанные неравенства и метод замены множителей в показательных и логарифмических неравенствах. 

Рассмотрим Топ-3 задач-ветеранов №15, которые выпадали на настоящих ЕГЭ несколько раз: 1) условие здесь решение здесь 2) условие здесь решение   здесь здесь 3) условие здесь решение здесь

Сканы решений № 15 участниками ЕГЭ 2020: 1) поставили 2 балла из 2 здесь и здесь 2) 1 балл из 2 здесь 3) 0 баллов из 2 здесь и  здесь

Что же такого надо сделать участнику ЕГЭ, чтобы избежать баллов за № 15? Самое главное — отбросить знаменатель «ачотакова я ж крест-накрест». Игнорируйте разложение на линейные множители. Отметьте на одной оси нули основного неравенства и ОДЗ, хаотично расставьте знаки. Ну или нарисуйте две разные оси для числителя и знаменателя. Обязательно не забудьте вставить это "странное" x<±5. Только и всего! И за такие художества будет Вам точно 0 баллов!

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. Здесь могут помочь вынос, группировка, замена и теорема Безу. Теорема Безу - это подбор корня и деление многочленов в столбик, но многие эту тему не знают и думают, что не выпадет в ЕГЭ задача, где потребуется использовать теоремы Безу или Горнера, но на самом деле такие задачи выпадают часто и теорема Безу супер полезная и должна быть в арсенале решающих задачу № 15.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена  Р(х)  на  двучлен х-а равен Р(а).

Следствие. Если число а  является корнем многочлена Р(х) , то многочлен   Р(х) делится без остатка на двучлен х-а.

Значит,  надо найти хотя бы один корень многочлена а, потом разделить многочлен на х-а. В результате получим многочлен,  степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс. Если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом. Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Разложение Деление в столбик Примеры применения теоремы Безу в задании № 15 профильного ЕГЭ: Пример 1.    Пример 2.

Метод рационализации в ЕГЭ Опорные задачи Применение Применяй Пример 1 Решение 1 Пример 2 Решение 2 Пример 2 Пример 3 Решение 3

Задачи  с ответами для самостоятельного решения и  самопроверки,

предлагаемые авторами ЕГЭ на экзаменах прошлых лет, а также из открытого банка ФИПИ:

1. 2021 год. Демонстрационный вариант ЕГЭ. 

 Решение  здесь Критерии здесь

1.  2021 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь

2.  2021 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь

3.  2021 год. Вариант 11 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

4.  2021 год. Вариант 17 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь

5.  2021 год. Вариант 21 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

6.  2021 год. Вариант 27 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

7.  2021 год. Вариант 31 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь

8.  2020 год, основная волна, Санкт-Петербург

Решите неравенство  Решение здесь

9. ЕГЭ 2020 год, основная волна, Москва.

Решите неравенство  Решение здесь

10. ЕГЭ 2020 год, основная волна, Краснодар. 

Решите неравенство  Решение здесь

11.  2020 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь Критерии здесь

12. 2020 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь Критерии здесь

13.  2020 год. Вариант 11 ЕГЭ. Ященко условие  здесь Решение здесь Критерии здесь

14.  2020 год. Вариант 17 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь  Критерии здесь

15. 2020 год. Вариант 22 ЕГЭ. Ященко условие здесь  Решение  здесь Критерии здесь

16.  2020 год. Вариант 27 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь  Критерии здесь

17. 2020 год. Вариант 31 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение  здесь Критерии здесь

17.  2019 год, основная волна ЕГЭ, Москва. Решите неравенство log₆ (21– 7x)  log₆ (x²- 8x + 15) + log₆ (x + 3).  Решение здесь здесь

18. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Центр. Решите неравенство log₄(6-6x) < log₄(x²-5x+4) + log₄(x+ 3). Решение здесь + здесь

19. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Дальний восток. 

Решите неравенство здесь Решение здесь

20. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь

21. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

22. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

23. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

24. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

25. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь

26. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

27. ЕГЭ 2018 год, основная волна, условие здесь Решение здесь

28. 2018 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

29. 2018 год основная волна, условие  здесь Решение здесь здесь

30. 2018 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

31. 2018 год основная волна, условие здесь Решение здесь

32. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь здесь

33. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

34. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

35. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

36. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

37. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

38. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

39. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

40. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

41. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

42. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

43. 2017 год основная волна, условие здесь Решение здесь

44. Условие и решение следующей задачи изложено в виде конспекта здесь

45.  Решите неравенство:

Решение здесь  здесь здесь

46. Решение неравенства  здесь здесь

47. Решите неравенство:

Решение здесь здесь

48. Решите неравенство

Решение здесь здесь

49. Решите неравенство: 

Решение здесь здесь

50. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

51. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

52. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

53. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

54. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

55. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

56. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

57. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

58. 2016 год основная волна, условие здесь Решение здесь

59. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

60. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

61. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

62. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

63. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

64. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

65. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

66. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

67. 2015 год основная волна, условие здесь Решение здесь

68. 2014 год основная волна, условие здесь Решение здесь

69. 2014 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

70. 2014 год основная волна, условие здесь Решение здесь

71. 2014 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

72. 2014 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

73. 2014 год основная волна, условие здесь Решение здесь здесь

Чтобы продолжить подготовку к ЕГЭ 2021, перейдите по ссылкам на другие страницы сайта:

ЛокацияГлавная страница Карта сайта

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней. E-mail:  [email protected]

Фокусы из бумаги. 

Видео-памятка, как развлечь знакомых, имея под рукой лишь десяток листов бумаги стандартного формата A4. 

Фокус про Носорога
Загадай число от 1 до 10. Загадал?
Далее:умножь это число на 9. Умножил?
У тебя получилось двухзначное число.
Сложи первую цифру этого двухзначного числа со второй. Пример:если число 21, то надо сложить 2+1. .Далее:сложил?
Из результата вычти 4.
Теперь на эту цифру по алфавиту загадай букву.То есть если у тебя получилось 1, то это буква А; 2-буква Б; 3-В; 4-Г и т.д.
Теперь ты загадал и держишь в голове букву, на эту букву вспомни и загадай европейскую страну.
Далее:на 3-ью букву этой страны загадай крупное животное.Загадал?
Ответ смотри ниже...
Ответ: Носороги в Дании не водятся!!!Ха-ха-ха...
У тебя после всех математических рассчетов получается 9, потом 5.Это буква Д. На букву Д одна страна-Дания.
Далее: на 3-ю букву этой страны крупное животное только НОСОРОГ.
Остальное надо преподнести и
сыграть!Можно как будто я умею читать мысли и т.д.
Фокус “Феноменальная память”.
Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия – прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки – 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры – получим 15, будем складывать цифры, следующая – 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.
Фокус “Угадать задуманное число”.
Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число. Разгадка фокуса:
Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.
Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”.
 Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру – безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 – не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается?
Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, в – цифра десятков, с – цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.
Фокус “У кого какая карточка?”. Для проведения фокуса необходим ассистент.
На столе лежат три карточки с оценками: “3”, “4”, “5”. Три человека подходят к столу и каждый берет одну из карточек и показывает ее ассистенту “фокусника”. “Фокусник”, не глядя, должен угадать кто что взял. Ассистент говорит ему: “Угадывай” и “фокусник” называет у кого какая карточка.
Разгадка фокуса:
Рассмотрим возможные варианты. Карточки могут располагаться следующим образом: 3, 4, 5 4, 3, 5 5, 3, 4
3, 5, 4 4, 5, 3 5, 4, 3
Так как ассистент видит, какую карточку взял каждый человек, то он будет помогать “фокуснику”. Для этого нужно запомнить 6 сигналов. Пронумеруем шесть случаев:
Первый – 3, 4, 5
Второй – 3, 5, 4
Третий – 4, 3, 5
Четвертый – 4, 5, 3
Пятый – 5, 3, 4
Шестой – 5, 4, 3
Если случай первый, то ассистент говорит: “Готово!”
Если случай второй – то: “Так, готово!”
Если случай третий – то: “Угадывай!”
Если четвертый – то: “Так, угадывай!”
Если пятый – то: “Отгадывай!”
Если шестой – то: “Так, отгадывай!”.
Таким образом, если вариант начинается с цифры 3, то “Готово!”, если с цифры 4, то “Угадывай!”, если с цифры 5, то “Отгадывай!”, а карточки учащиеся берут по очереди.
Фокус “Любимая цифра”.
Любой из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45. Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.
Фокус “Угадать задуманное число, ничего не спрашивая”.
Фокусник предлагает учащимся следующие действия:
Первый ученик задумывает какое-нибудь двузначное число, второй – приписывает к нему справа и слева такое же число, третий – делит полученное шестизначное число на 7, четвертый – на 3, пятый – на 13, шестой – на 37 и передает свой ответ задумавшему, который видит, что к нему вернулось его число. Секрет фокуса: если к любому двузначному числу приписать справа и слева такое же число, то двузначное число при этом увеличится в 10101 раз. Число 10101 равно произведению чисел 3, 7, 13 и 37, поэтому после деления мы и получаем задуманное число.
Конкурс болельщиков – “Веселый счет”. От каждой команды приглашается представитель. На доске две таблицы, на которых в беспорядке отмечены числа от 1 до 25. По сигналу ведущего учащиеся должны найти на таблице все числа по порядку, кто это сделает быстрее, тот и выиграл.
Фокус “Число в конверте”
Фокусник пишет на бумажке число 1089, вкладывает бумажку в конверт и заклеивает его. Предлагает кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга больше, чем на 1. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он снова переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности двух первых. Когда он получит сумму, фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое у него и получилось.
Фокус “Угадывание дня, месяца и года рождения”
Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось”. Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна – номер месяца, а последние две цифры – число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.
Фокус “Угадать задуманный день недели”.
Пронумеруем все дни недели: понедельник – первый, вторник – второй и т. д. Пусть кто-нибудь задумает любой день недели. Фокусник предлагает ему следующие действия: умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, результат сообщить фокуснику. Из этого числа он вычитает 250 и число сотен будет номером задуманного дня. Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)*5)*10=650, 650 – 250=400.
Фокус “Угадать возраст”.
Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся умножить число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.
Голова как компьютер!
Вы просите кого-нибудь из зрителей написать в столбик два десятизначных числа (чем больше значение числа, тем эффектнее фокус), потом под ними пишите свое число, подводите черту и мгновенно пишите сумму записанных чисел (ответ).
Второй вариант этого фокуса: после того, как вы написали свое число, просите зрителя чтобы под вашим числом он написал еще десятизначное число, а затем опять пишите свое и мгновенно выдаете результат.
Секрет фокуса:
Когда вы пишите свое число, то выбираете его не произвольно – сумма каждой цифры этого числа должна составить с каждой цифрой числа зрителя 9. Таким образом у вас получаются не три разных десятизначных числа, а два из которых одно будет иметь все девятки. А значит вы мгновенно можете написать результат: надо просто переписать первое число зрителя и поставить передним единицу, а из последней цифры вычесть единицу!
 Пример:
  4563843274
  7498854231

 2501145768
14563843273