№ 14 ЕГЭ профиль

Локация Главная страница Карта сайта 

Весомость заданий Шкала перевода баллов Продолжение шкалы перевода

Прототипы задания 14 профиля ЕГЭ - 2021

Тема заданий № 14  "Стереометрическая задача"

Типы заданий № 14: Расстояние между прямыми и плоскостями здесь здесь здесь здесь здесь Расстояние от точки до прямой и до плоскости здесь здесь здесь здесь здесь здесь  здесь Сечения многогранников здесь   здесь  здесь  здесь здесь здесь здесь Угол между плоскостями здесь здесь здесь       здесь  здесь  здесь Угол между прямой и плоскостью здесь здесь Угол меду скрещивающимися прямыми здесь Объемы многогранников здесь здесь здесь здесь Круглые тела: цилиндр, конус, шар здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь здесь

За  задание № 14  можно получить 2 балла. На решение дается около 20 минут.  Уровень сложности: повышенный. Средний процент выполнения: в 2019 году 5.6%, в 2020 году 2,5%. Ответом к заданию 14 по математике должен быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). Помните, что баллы можно получить даже за неполное решение задачи. Требования ФИПИ к профильному уровню здесь Справочные материалы здесь

ЕГЭ прошлых лет по математике профильного уровня показал, что наиболее трудными для участников экзамена были задания по геометрии.

При решении задачи 14 следует обратить внимание на следующие моменты:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа. При решении стереометрических задач требования к качеству чертежа, его наглядности возрастают по сравнению с задачами планиметрическими. Нельзя научиться решать содержательные стереометрические задачи, если не освоим азбуку построения пространственного чертежа. Сюда входят выбор оптимального положения пространственного тела , в частности, выбор ориентации – вверх или вниз, вправо или влево), выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом), умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи. Чистовой чертеж  строится под линейку, черной ручкой, на клетчатой бумаге (бланк на ЕГЭ будет в клеточку). 

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно. Если вам не понравился чертеж, то нарисуйте другой. Одного объемного чертежа может быть недостаточно. Возможно, понадобятся один или несколько выносных плоских чертежей.

3. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются "золотые" и "серебряные" прямоугольные треугольники: в прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в √2 раз больше катета; в треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в √3 раз больше меньшего.

4.   Угол между плоскостями помогает найти формула для площади прямоугольной проекции фигуры:

Sпроекции = Sфигуры * cos φ, где  φ – угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

5.  Расстояние от точки до плоскости помогает найти метод объемов: найдя объём тела и зная другую площадь основания, можно найти расстояние до этого основания. 

6.  Большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ не предусматривают использование метода координат. Но если вы станете решать  задачу координатным методом, то следует иметь в виду, что из-за простой арифметической ошибки  можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами. Чтобы решить задание 14 нужно знать планиметрию и стереометрию.

Задание № 14 проверяет:
-владение стереометрическими понятиями (высота пирамиды, перпендикулярность прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью и др.)
-владение планиметрическими понятиями (прямоугольный треугольник, определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника и др.)
-умение проводить дополнительные построения, правильно искать и рисовать угол между прямой и плоскостью;
-знание признаков перпендикулярности прямой и плоскости и умение их использовать при решении задачи;
-знание обратной теоремы Пифагора и умение ею воспользоваться в нужной ситуации;
-владение навыками нахождения угла по значению тригонометрической функции.
 Типичные ошибки, которые часто допускаются сдающими ЕГЭ в 14 задании:
1. Неверное применение признака перпендикулярности прямой и плоскости. Многие упрощают себе задачу и считают достаточным доказать перпендикулярность рассматриваемой прямой только одной прямой плоскости. А ведь по признаку: «Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости». В итоге доказательство в пункте а) считается неполным и оценивается 0 баллов.
2. Неверное определение искомого угла между прямой и плоскостью. Определение нужного угла всегда требует дополнительного построения (проекцию прямой на плоскость). Но многие искомый угол определяют интуитивно, без необходимых умозаключений, что, чаще всего, является ошибочным и сводит все решение пункта б) к 0 баллов.
3. Отсутствие теоретических ссылок и обоснований. Нужно обязательно указывать используемую для вывода теорию: определения, теоремы, признаки, свойства и т.д.
4. Еще раз обращаю внимание на качество рисунка в стереометрии: он должен быть понятен и вам, и эксперту. Это значительно упростит ваше видение построения и решения, а эксперту- проверку задания.

В содержании контрольно-измерительных материалов ЕГЭ 2021 года по сравнению с 2020 годом ничего не изменилось. Сохранилась также система оценивания этих заданий. Эта система основывается на следующих принципах:
1. Возможны различные способы решения задачи и записи развернутого решения. Главное – оно должно быть математически грамотным и оформлено так, чтобы проверяющий мог Вас правильно понять.
2. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях. Изложение решения не стоит делать слишком подробным и тяжеловесным.

Например, необязательно писать "Так как в параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, то имеем AB = CD" и, тем более, доказывать это равенство. Достаточно такой строки "ABCD - параллелограмм, следовательно AB = CD". Можно даже написать просто "AB = CD", но только, если выше Вы много рассуждали о заданной фигуре и доказали, что она является параллелограммом. Однако, если ни в условии задачи, ни в предыдущей части решения ничего не было сказано о четырёхугольнике ABCD, то вдруг возникшее утверждение "AB = CD" будет считаться необоснованным. Помните, за необоснованность решения снижают баллы, а за слишком длинное описание решения не снижают, но на это уходит время, которое можно было бы использовать для решения других задач.

Как умудриться остаться без баллов за задачу 14? Сделайте рисунок как можно меньше и кривее. Желательно чтобы высота сливалась с ребром, сечение невозможно было разглядеть под лупой. Да к тому же формулы для координатного метода Вами так и не были выучены. И провал гарантирован. 

Задачи  с ответами для самостоятельного решения и  самопроверки,

предлагаемые авторами ЕГЭ на экзаменах прошлых лет, а также из открытого банка ФИПИ: 

1. 2021 год. Демонстрационный вариант ЕГЭ. Критерии здесь  Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA₁ и A₁C₁ соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB₁. Решение здесь

ИЛИ

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC. Решение здесь

1.  2021 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

2.  2021 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко, условие  здесь Решение здесь

3.  2021 год. Вариант 11 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь

4.  2021 год. Вариант 17 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь здесь

5.  2021 год. Вариант 21 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь

6. 2021 год. Вариант 27 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь

7.  2021 год. Вариант 31 ЕГЭ. Ященко, условие здесь  Решение здесь

8. 2020 год, основная волна ЕГЭ , Санкт-Петербург. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды BCKM. Решение здесь здесь

9.  2020 год, основная волна ЕГЭ, Москва. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.

a) Докажите, что MK = KD.

б) Найдите объем пирамиды MCDK. Решение здесь

10.  2020 год, основная волна ЕГЭ, Краснодар. Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро  Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б) Найдите площадь сечения α. Решение здесь

11.  2020 год. Вариант 1 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь Критерии здесь

12.  2020 год. Вариант 7 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь Критерии здесь

13.  2020 год. Вариант 11 ЕГЭ. Ященко условие  здесь Решение здесь  Критерии здесь

14.  2020 год. Вариант 17 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь  Критерии здесь

15.  2020 год. Вариант 22 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь  Критерии здесь

16.  2020 год. Вариант 27 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение  здесь Критерии здесь

17.  2020 год. Вариант 32 ЕГЭ. Ященко условие здесь Решение здесь здесь Критерии здесь

18. 2019 год. Основная волна ЕГЭ. Центр. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K — делит сторону SC в отношении 1:2, считая от вершины S, точка N — делит сторону SB в отношении 1:2, считая от вершины S. Через точки N и K параллельно SA проведена плоскость

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью  параллельно прямой BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости  если известно, что   Решение здесь + здесь

19. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь

20. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

21. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь здесь

22. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

23. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

24. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

25. 2019 год. Вариант ЕГЭ. Условие здесь Решение здесь Критерии здесь

26. 2018 год. Основная волна ЕГЭ. В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки A и B. На окружности верхнего основания отмечены точки B1 и C1 так, что BB1 является образующей цилиндра, перпендикулярной основаниям, а AC1 пересекает ось цилиндра.

 а) Докажите, что прямые AB и B1C1 перпендикулярны.

 б) Найдите расстояние между прямыми AC1 и BB1, если AB=12, B1C1=9, BB1=8. Решение здесь здесь

27. 2018 год. Вариант ЕГЭ. СтатГрад. Москва. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину B и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру. 

а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен 60∘. 

б) Найдите площадь сечения пирамиды. Решение здесь здесь здесь

28. 2018 год. Досрочная волна ЕГЭ. На ребре AA1 правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 отмечена точка K, причем известно, что AK:KA1=1:3. Через точки K и B проведена плоскость α параллельно прямой AC, которая пересекает ребро DD1 в точке M.   

а) Докажите, что точка M – середина ребра DD1. 

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB=5, AA1=4. Решение здесь здесь здесь

29. 2018 год. Резервная волна ЕГЭ. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 2. Точка M – середина ребра AA1.  

 а) Докажите, что MB и B1C взаимно перпендикулярны. 

б) Найдите расстояние между прямыми MB и B1C. Решение здесь здесь здесь здесь

30. 2018 год.Вариант ЕГЭ. СтатГрад. Москва. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M. 

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения. Решение здесь здесь здесь

31. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Дана четырехугольная пирамида PABCD, в основании которой лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и CDA равна 90∘. Грани PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания. K – точка пересечения прямых AB и CD. 

а) Докажите, что грани PAB и PCD перпендикулярны. 

б) Найдите объем пирамиды PBCK, если известно, что AB=BC=CD=2, а высота пирамиды PABCD равна 12.

Решение здесь здесь здесь

32. 2017 год. Досрочная волна ЕГЭ. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Через прямую BD1 параллельно прямой AC проведена плоскость π, причем сечение параллелепипеда плоскостью π представляет собой ромб.   

а) Докажите, что ABCD – квадрат.  

б) Найдите угол между плоскостью π и плоскостью BCC1, если AD=4 и AA1=6. Решение здесь здесь здесь
33. 2017 год. Официальный пробный ЕГЭ. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS – точка F так, что SF=BE=4. 

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB. 

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
Решение здесь здесь здесь

34. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. Дан куб ABCDA1B1C1D1, длина диагонали которого равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P=4.   

а) Докажите, что многогранник DBPC1 – правильный тетраэдр.   

б) Найдите длину отрезка AP. Решение здесь здесь здесь здесь здесь

35. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем квадрат AB =18, BC = 6. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. 

а) Докажите, что P – середина отрезка BQ. 

б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=9. Решение здесь здесь здесь
36. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причем AM:MB=CN:NB=4:1. Точки P и Q – середины ребер DA и DC соответственно. 

а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости. 

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды ABCD.
Решение здесь здесь здесь здесь Ответ здесь
37. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, причем ∠C=90∘. Известно, что прямая A1C перпендикулярна прямой AB1. 

а) Докажите, что AA1=AC. 

б) Найдите расстояние между прямыми A1C и AB1, если известно, что AC=7, BC=8.
Решение здесь здесь здесь

38. 2017 год. Основная волна ЕГЭ. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, причем ∠C=90∘. Диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны соответственно 26 и 10, AB=25. 

а) Докажите, что △BA1C1 – прямоугольный. 

б) Найдите объем пирамиды AA1C1B. Решение здесь здесь

39. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. Дана треугольная пирамида PABC, причем высота пирамиды, опущенная из точки P, падает в точку C. Известно, что PA перпендикулярно BC. 

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. 

б) Найдите объем пирамиды PABC, если известно, что PB=15, AB=13, cos⁡∠PBA=48/65. Решение здесь здесь
40. 2017 год. Резервная волна ЕГЭ. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки K,M,N соответственно, причем KA=AM=NC=2. 

а) Докажите, что плоскость KNM перпендикулярна ребру SD. 

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости KNM. Решение здесь здесь

Чтобы продолжить подготовку к ЕГЭ 2021, перейдите по ссылкам на другие страницы сайта:

Локация Главная страница Карта сайта

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней. E-mail:  kot_vi@mail.ru