Ловушки

Локация Главная страница Карта сайта

ЛОВУШКИ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Все задачи первой части с кратким ответом на ЕГЭ (профильный уровень) безошибочно решает лишь небольшая часть сдающих, а именно около 25 процентов. Еще меньше процент правильно решающих задания второй части ЕГЭ с развернутым ответом. Порой сразу после экзамена наступает прозрение –  осознаются глупые ошибки и хочется ударить от негодования по рядом стоящему дереву, но что толку. Драгоценные баллы уже бездарно потеряны... Даже подготовленные ребята, допускают «смешные» ошибки, или на несложном примере теряют неоправданно много времени. Почему? Как говорится, есть причины и нюансы.

В экзаменационные задания   включаются такие, которые на первый взгляд кажутся достаточно простыми и решаются стандартными приемами, но зачастую это впечатление обманчиво. «Видит око, да зуб неймет»:  как часто мы стремимся получить что-то легко и быстро, но не имеем возможности осуществить желаемое. В нашем случае речь идет о  так называемых задачах-"ловушках". При их решении необходимо уйти от стереотипов, быть предельно внимательными и, главное, иметь представление о том, как эти "ловушки" могут быть устранены. К задачам-"ловушкам" относим и те, которые решаются оригинальным методом, и в случае если он не найден, решение окажется громоздким и трудоемким. Если не знать подходов к решению таких задач, не понять их суть, то достаточно часто можно оказаться "в ловушке".  «Ловушка» может увести по нерациональному пути решения, подбрасывает ситуации, когда что-то не замечается, к примеру, какой-то крайний случай. Тогда абитуриент снисходительно о себе говорит: ошибся по невнимательности или перемудрил. Но по сути дела имеет место обычная математическая неграмотность. Надо просто больше вникать в математическую суть задач, думать о полноте решения и иметь привычку к самоконтролю.

В случае  тестов «ловушки» делятся на два вида. В список предлагаемых ответов могут включаться (и, как правило, включаются): 1) неверные ответы, возникающие в результате "типичных" ошибок в решении; 2) правдоподобные ответы, которые чаще других будут выбраны теми, кто пытается угадать ответ из предложенных вариантов. То и другое нужно отличать от ловушек в самих задачах. В их основе обычно лежит несоответствие буквального текста формулировки и ложного контекста, принимаемого по умолчанию.

Когда и в какие ловушки можно попасть на ЕГЭ и как их избежать? 

1. При вычислениях и алгебраических преобразованиях. В задачах на преобразования алгебраических выражений и на вычисления не так уж редки случаи, когда даже хороший ученик допускает ошибки, не потому что не знает, как осуществлять те или иные преобразования, а потому что не следит за равносильностью проводимых действий, не учитывает все условия, часто скрытые для неопытного глаза, заданные в постановке задачи, не знает рациональные способы ее решения. Вот картинки-напоминалки с правилами упрощения: 1 2 3 4  

 Сегодня ситуация такова, что профильную математику идут сдавать мотивированные учащиеся, преимущественно те, кому этот экзамен важен для поступления. И они готовятся как можно лучше написать экзамен, уделяют много времени подготовке, причем в большинстве случаев подготовка нацелена на решение сложной части - задач с развернутым ответом (13-19). При этом зачастую к заданиям 1-12 относятся с некоторой небрежностью, а зря. По статистике, из 12 так называемых простых задач школьник решает правильно 9-10. Причем вполне мог бы решить и все 12, если бы проверил себя и не "косячил" в вычислениях, не путал проценты и доли, не ошибался в сотых и тысячных, верно округлял, правильно делил столбиком, читал внимательно условие задачи (особенно это касается задач на вероятность). Помните, потерять баллы на заданиях 1-12 - легко, а вот восполнить их будет куда сложнее - придется правильно, развернуто и аргументированно решить как минимум на 1 задачу из 13-19 больше.

2. При использовании теоремы Виета. Например, то, что возведение в квадрат приводит к появлению посторонних корней, хороший выпускник обязан знать. Но вот ситуация: по ходу решения иррационального уравнения пришли к квадратному   уравнению, которое имеет два действительных корня, но один из них не удовлетворяет исходному  уравнению.  А требуется найти сумму корней исходного уравнения. Поэтому, да, в этом случае применение теоремы Виета для нахождения суммы корней квадратного уравнения - ловушка для лентяев. Корни нужно найти и проверить подстановкой. В этом случае проверка - часть решения. Пример. Или, опять используя теорему Виета, находят сумму квадратов корней квадратного уравнения, когда его дискриминант меньше нуля, т. е. уравнение вообще корней не имеет!

3. При определении знака выражения, содержащего степень. Какие из выражений: (-2)⁵ ; (-2)⁴ ; -2⁵ ; -2⁴ являются положительными? Ответ: (-2)⁴

Пример. Упростите: а) (а²)^1/2, б) (а^1/2)²

Неправильное решение Правильное решение Комментарий Профилактика

4. При выполнении арифметических действий в дробных и "трёхэтажных" выражениях. Как вычислить значения выражений: 7/(9/2) и (7/9)/2? Надо вспомнить правила деления числа на дробь и дроби на число.

5. При использовании формул сокращённого умножения. Нельзя путать полные квадраты суммы и разности с неполными квадратами. Нельзя путать разность квадратов с суммой квадратов (сумму квадратов на множители разложить нельзя)

6. При применении способов группировки для разложения многочлена на множители. Как не ошибиться со знаками при разложении многочлена на множители способом группировки? Например, многочленов   2xy + 4x² - y - 2x  и  2xy - 4x² - y + 2x? Надо знать, что  -у -2х = - ( у+2х ).

7. При решении задач на проценты. Легко промахнуться даже в таком профильном задании типа №1. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Многие  привыкли к типу заданий, где данная в условии величина есть именно та, которую нужно принять за 100 процентов и переходят к пропорции:

9570  рублей     -    100%

х    рублей        -    87 %

Отсюда находят х< 9570, чего быть не может, так как  9570- это зарплата после удержания налога, а зарплата без удержания налога должна быть больше, чем 9750. Значит, за 100% принято не то, что надо. Такой путь решения привел в тупик. 

№

В условиях задач на проценты можно выделить «главное» число, которое равно 100% и побочное число, которое больше или меньше этих 100%. Обычно, если что-то больше/меньше на N%, то это что-то является побочной цифрой и мы  прибавляем/вычитаем его процент относительно 100%. В № 1 зарплата без налога -это 100%  Правильное решение здесь или здесь

Как быстрее найти процент от числа?  4% от 75 обычным способом находится как произведение 0,04 х 75 = 3. Если же знать, что x% от y = y% от x, то 4% от 75 = 75% от 4 = (3/4)х4 =3. Во втором случае результат получается быстрее. Это помогает не всегда, так как, например,  для 21% от 27 и для 27% от 21 считать придется обычным способом в обоих случаях, хотя результат получится один и тот же. 

8. При тригонометрических вычислениях. Очень простой "ловушки" не избежать, если не знать синусы и косинусы табличных значений углов.  Их можно запомнить так:

Еще две простые ловушки при записи решений тригонометрических уравнений.

Пример 1. Преобразуйте выражение: sin²2x.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 2. Решите уравнение: sinx = 2.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 3. Решите уравнение: sinx = 1/3.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 4. Упростите: arccos(-1/2)

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

9. При использовании нестандартных методов решения. Легко окажетесь в "ловушке", если не знаете определенных методов решения, скажем, уравнений. Например,  вот как применяется метод монотонности при решении уравнений:

10. При обосновании в задачах 13-19. Сдающие ЕГЭ пишут крайне мало текста, не дают аргументированного обоснования задач.  На ЕГЭ по профильной математике в заданиях второй части надо знать не только формулы, но еще и  уметь доказывать требуемое. Нужно помнить, что каждый переход должен быть объяснен - по какой теореме это получилось, каким свойством логарифма вы пользовались, обосновывать выбор корня, принадлежащего указанному промежутку, неравенством и комментариями. Помните, что одно найденное подбором решение не гарантирует отсутствие других по умолчанию, этот вывод обязательно нуждается в разъяснении. Не бойтесь написать много слов - лучше подробно обосновать даже то, что кажется простым, чем потерять 2-3 первичных балла из-за недостаточной аргументации. Традиционно (и на ЕГЭ, и на олимпиадах) полный перебор должен содержать ВСЕ варианты, пропущен один из сотни – сразу ноль. Если вы изображаете из себя компьютер, то и требования к вам, как к компьютеру :)

11. При решении геометрических задач. Так, легко попасть в ловушку со средней линией треугольника. Известно, что средняя линия треугольника отсекает площадь, равную четвертой части исходного треугольника (коэффициент подобия отсекаемого треугольников и данного равен 1/2, а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия, т. е. 1/4). Однако при быстром прочтении может показаться, что средняя линия отсекает половину общей площади или треть – дзинь! – и балла за задание как не бывало. В геометрических задачах "ловушками" могут быть такие исходные данные, которые требуют дополнительного исследования при построении чертежа, или данные с альтернативным решением. Чтобы не попасть в "ловушку", надо также все геометрические факты, которые "видны" из чертежа, строго обосновывать. Две ловушки в стереометрии 

Пример. Отрезок длиной 30 см разделили на две части в отношении 3:2. Найдите длины получившихся частей.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

12. При решении текстовых задач. Некоторые текстовые задачи на экзамене формулируются так, чтобы "ввести в заблуждение" абитуриентов, обладающих нетвердыми знаниями. Например,  задача "Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?"  решается так

13. При решении неравенств. Здесь самые распространенные следующие 6 "ловушек": 

1) Умножают на знаменатель дроби, который с переменной, т. е. просто избавляются от него  (нельзя умножать/делить на выражение с Х, если вы при этом нигде не накладываете ограничений). Всегда надо приводить к общему знаменателю.

2) При делении/умножении на отрицательное число не меняют знак неравенства (а надо!);

3) Некоторые учащихся по недосмотру или по невнимательности неверно преобразовывают выражения. Например: 16 ˑ 2^х   иногда  записывают как 32^х. Это неверное преобразование. Выражение 16ˑ2^х  преобразовать в 32^х нельзя,  т. к. нельзя перемножать  число на основание степени.  Или log(2x) делят на 2 и получают ошибочно log(x). Ни в какие ворота такое преобразование не лезет.  log сам по себе не существует, так же как и cos, и sin. Этот символ указывает только на то, какую операцию надо произвести над 2х, прежде чем делить на 2.

4) Кто-то, перейдя от неравенства к уравнению, в конце решения уже забывает, что надо было решить неравенство, а не уравнение. В результате окончательный  ответ записывает неправильно.

5) В решении неравенств почти всегда есть замена переменных. Бывает, что вернуться обратно тоже забывают... 

6) Встречается и это "странное" x<±5. За такие художества 0 баллов обеспечен!

Пример 1. Решите неравенство: х²< 9.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 2. Решите неравенство: (2-x)(x-3) > 0.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

И   с уравнениями тоже происходят казусы.

Пример 1. Решите уравнение: 5x + x² – 6 = 0.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 2. Решите уравнение: x⁴ – 5x² + 4 = 0.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 3. Решите уравнение: (х-2)(х-3)^1/2=0.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 4. Решите уравнение: (х + 2)^1/2 = х.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

14. При решении уравнений и неравенств с параметром.  В принципе, практически все такие задачи можно отнести к задачам - "ловушкам". Это связано в первую очередь  с тем, что в подобных задачах технический и логический ход решения зависит от значений параметров, которые не заданы конкретно.

15. При решении логарифмических, показательных  уравнений, неравенств и систем. В ловушки здесь можно угодить  из-за появления посторонних решений или из-за потери корней. Напомним несколько фактов, которыми не следует пренебрегать при решении таких задач. 

1) Логарифм определен только если основание и выражение под знаком логарифма положительны и , кроме того, основание не равно 1.

2) При использовании формул преобразования логарифмов "справа налево" получаем уравнение-следствие (т. е. могут появиться посторонние корни). Чтобы не потерять корни при применении этих формул "слева направо" лучше "справа" взять логарифмы от модулей выражений. Например, логарифм произведения выражений равен сумме логарифмов модулей этих выражений.

3) Некоторые школьники нетвердо знают формулы преобразования логарифмов и правила действий со степенями и пытаются использовать несуществующие тождества типа логарифм суммы равен произведению логарифмов и т. п.

Пример 1. Преобразуйте выражение: lg²2x.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

Пример 2. Преобразуйте выражение: lgx².

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

4) При решении простейших показательных и логарифмических неравенств забывают менять знак на противоположный, если основание логарифма (степени) меньше 1.

Пример 1. Решите неравенство: (1/3)^х > (1/3)².

Неправильно  Правильно или Правильно Комментарий Профилактика

Пример 2. Решите неравенство: log_0,7x > log_0,72.

Неправильно Правильно Комментарий Профилактика

5) При замене переменных в показательных уравнениях и неравенствах не учитывают ограничений на новые переменные.

Важно помнить, что экзамен – это проверка не только знаний школьника, но и его психической устойчивости. И, как ни странно, внимательности. Именно эти два аспекта часто подводят даже самых «подкованных» в предмете старшеклассников. Впрочем, вооружен тот, кто предупрежден. Ниже вы найдете еще  пять  коварных ловушек на ЕГЭ, подстерегающих Вас. Избежать их (при определенном усилии) в состоянии каждый.

 16. При перенесении ответов в бланки ЕГЭ. Кажется, что главное в выполнении любого задания – знать правильный ответ. На самом деле, самое важное – корректное перенесение ответов в бланк. На экзамене дается всего один бланк для ответов на первую часть, поэтому невероятно важно не только ознакомиться с правилами заполнения бланков до экзамена, но и несколько раз проверить заполненное на самом экзамене: все ли ответы записаны корректно, не закрался ли пробел между словами (их в бланке ответов №1 нигде не должно быть), все ли цифры вписаны верно. Если в экзамене по математике сказано, что ответы на задания 1-12 надо написать в бланке номер 1, так их и надо писать в бланке №1. Как бы подробно, правильно и красиво вы не излагали решение задач 1-12 в бланке № 2, это никому не нужно - номера 1-12 проверяются автоматически, и если ответа в бланке №1 нет, то и баллы за него не дадут.

17. При распределении времени на ЕГЭ. Иногда выпускники просто не успевают выполнить работу качественно из-за некорректной расстановки приоритетов на экзамене. Поэтому важно писать пробные экзамены: это дает Вам представление о том, как долго Вы выполняете ту или иную часть работы, хватает ли Вам времени в целом. Перед экзаменом необходимо чётко определить для себя, какое количество минут должно быть потрачено на разные части работы. Лучше всего исходить из правила: 20-30 минут на проверку работы, а из остального времени отводить в два раза больше минут на задания с развернутым ответом, чем на задания с кратким. 

18. При неправильном прочтении условия заданий. В каждом экзамене ЕГЭ (и ОГЭ) есть задания, успех выполнения которых зависит от правильного прочтения условий заданий.  В заданиях по математике  важно обращать внимание на единицы измерения и точность округления. Где-то в ответ может быть выписано всего 2-3 цифры, а где-то – любое количество. Все эти тонкости важно выявить еще в процессе подготовки к экзамену,  ведь на самом экзамене бдительность терять опасно.

19. При незнании формата заданий и критериев их оценивания на ЕГЭ. Как будет оцениваться Ваша работа? Сколько баллов можно получить за каждое задание или за его часть?  Чтобы не задаваться такими вопросами на экзамене, необходимо сделать две вещи: ознакомиться с форматами заданий и критериями их оценивания  (а лучше выучить), а также внимательно, как и в прошлом пункте, читать каждое задание.

20. При неумении сократить негативные последствия неуверенности на ЕГЭ до минимума.  Неуверенность в себе – очень сильная вещь. Если неуверенность свойственна Вам, побороть ее до конца, конечно же, не удастся, но более чем реально сократить ее негативные последствия до минимума. Самое главное перед экзаменом – запастись мыслью «Я готов!». Кому-то для этого нужно сто раз прорешать задачи по стереометрии, кому-то что-то еще. Важна и поддержка старших товарищей, тех, кто уже сдал ЕГЭ и сделал это успешно. И тогда поступление в 2021 году станет значительно менее болезненным этапом жизни как для Вас, так и для Ваших родителей.

Конечно, попасть или не попасть в ловушку - это дело сугубо индивидуальное. Если один сдающий ЕГЭ попадает в какую-то ловушку, то это совсем не обязательно, что его   ловушка  является ловушкой для кого-то другого и наоборот. Поэтому все ловушки перечислить невозможно. Здесь мы выделили 20 пунктов. Лучшее средство от ловушек - это Ваша прекрасная подготовка к ЕГЭ.

Поделитесь  со своими друзьями в социальных сетях ссылкой на сайт vivat2.okis.ru