vivat2.okis.ru

16.08.2013

4 класс. Олимпиада по математике «Гимназист – 2013».

1.Как, имея банку вместимостью 4 л и бидон – 9 л, набрать из реки точно 7 л воды?

Решение. Набираем в банку  4 л воды и переливаем из нее всю воду   в 9-литровый бидон. Затем еще раз набираем 4 л воды в банку и переливаем ее в 9-литровый бидон. В третий раз набираем в банку 4 л воды и переливаем из нее 1 л в 9-литрвый бидон. В банке остается 3 л воды. После этого всю воду из 9-литрового бидона выливаем в реку, в бидон переливаем 3 л воды из банки. Осталось еще раз набрать 4 л воды в банку и перелить ее в бидон. В бидоне после этого окажется ровно 7 л воды, что и требовалось по условию.

 2. Среди 9 одинаковых деталей 1 оказалась бракованной – легче других. Как найти ее не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах?

Решение. 1) Положим по 3 любые детали на обе чашки весов. Если весы в равновесии, то бракованная деталь среди трех  не взятых деталей. Иначе она будет на чашке среди трех более легких деталей. 2) Из тройки с более легкой деталью выберем любые 2 и положим по одной из них на чашечные весы. Если весы в равновесии, то бракованная деталь та, которая осталась. Иначе бракованная та, которая оказалась при взвешивании более легкой. Таким образом, для определения бракованной детали надо не более 2взвешиваний.

 3. В ящике лежат 10 одинаковых катушек с нитками различного цвета: 3 красных, 3 желтых, 3 синих и 1 белая. Сколько катушек надо взять, не заглядывая в ящик, чтобы среди них было не меньше 2 катушек с нитками одного цвета?

Решение. Если взять 2,  3 или 4  катушки, то они могут быть все разных цветов. Не меньше двух катушек с нитками одного цвета будет среди 5 катушек. Ответ: 5.

 4.Выписаны подряд числа от 1 до 99. Сколько раз при этом будет написана цифра 3?

Решение.3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Ответ: 20

 5.Расшифруйте ребус: УДАР + УДАР = ДРАКА, где разными цифрами обозначены разные цифры, а одинаковыми буквами – одинаковые цифры.

Решение. Д =1, так как сумма двух самых больших четырехзначных чисел 9999+9999  не превышает 19998. Тогда У1АР + У1АР = 1РАКА. А = 2 или 3, но Р + Р = А. Значит, А = 2.Теперь имеем У12Р + У12Р = 1Р2К2. Далее Р + Р дает 2, если Р = 1 или Р = 6.Но Р ≠1, так как Д = 1. Значит, Р = 6, К =5, а У = 3 или 8. Сумма пятизначная и У = 8. Ответ: 8126 + 8126 = 16252.

 6.Когда одну сторону прямоугольника, длина которой была 17 см, увеличили на 4 см, то его площадь увеличилась на 80 квадратных сантиметров. Какова была первоначальная площадь прямоугольника?

Решение. 1) 80 : 4 = 20 (см) – длина другой стороны. 2) 17 · 20 = 340 (см² ). Ответ: 340 см²

5 класс. Олимпиада по математике «Гимназист – 2013».

1.Для нумерации страниц в книге потребовалось 187 цифр. Сколько страниц в этой книге?

Решение. На первые 9 страниц надо 9 цифр. Остальные 178 цифр (187 – 9 = 178) потребовались на двузначные номера, т. е. 178 : 2 = 89 страниц книги. Значит, в книге 9 + 89 = 98 страниц. Ответ: 98 страниц.

2. Среди 12 щенков 8 ушастых и 9 кусачих, и других нет. Сколько среди этих щенков ушастых и кусачих одновременно?

Решение. 1) 12 – 8 = 4 (щенка) – не ушастые. 2) 12 – 9 = 3 (щенка) – не кусачие. 3) 4 + 3 = 7 (щенков) – только кусачие или только ушастые. 4) 12 – 7 = 5 (щенков) – и кусачие, и ушастые одновременно. Ответ: 5.

 3. У Змея Горыныча три головы и три хвоста. Иван-царевич одним ударом меча может срубить ему либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Срубит голову – новая вырастет, срубит хвост – два новых вырастут, срубит два хвоста – голова вырастет, срубит две головы – ничего не вырастет. За какое наименьшее число ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?

Решение. Имеются 3 головы и 3 хвоста. 1) Срубаются 2 головы (останется голова и три хвоста). 2) Срубаются 2 хвоста (станет 2 головы и хвост) . 3) Срубаются еще 2 головы (остается 1 хвост). 4) Срубается хвост (станет 2 хвоста). 5) Срубается еще хвост (станет три хвоста). 6) Срубаются 2 хвоста (станет одна голова и хвост) . 7) Срубается снова хвост (будет 1 голова и 2 хвоста). 8) Срубаются 2 хвоста (станет 2 головы). 9) Срубаются 2 последние головы и у Змея не останется ни голов, ни хвостов.  Ответ: 9 ударов.

 4. В одном классе учатся три мальчика: Белов, Чернов и Рыжов. Как-то Чернов сказал Белову: «Один из нас белый, другой – черный, третий – рыжий, но ни у кого из нас цвет волос не совпадает с фамилией». В ответ Белов заметил: «Но я не рыжий». Какой цвет волос у каждого из этих мальчиков?

Решение. Белов – не белый и не рыжий, следовательно, у Белова цвет волос  черный. Рыжов – не рыжий и не черный, следовательно, цвет его волос  белый. Тогда у Чернова волосы рыжие. Ответ: Белов черный, Рыжов белый, Чернов рыжий.

 5. Расстояние от дома Саши до школы 2 км 500 м. По дороге в школу он прошел 1 км за 1/5 ч и у него на оставшийся путь есть еще 20 мин. Успеет ли Саша прийти в школу, если будет идти с той же скоростью?

Решение. Саша проходит 1 км за 12 мин, а 500 м за 6 мин. Значит, на 1 км 500 м ему понадобится 18 мин, а у него на это есть 20 мин, т. е. Саша в школу успеет прийти. Ответ: успеет.

 6. Начертите прямоугольник, периметр которого 20 см, а длина 6 см. Какова его площадь?

Решение. 1) 20: 2 = 10 – сумма длины и ширины; 2) 10 – 6 = 4 – ширина; 3) 6·4 = 24 см². Ответ: 24 см².

 6 класс. Олимпиада по математике «Гимназист – 2013».

1.Часы отбивают каждый час столько ударов, сколько они показывают часов, а каждые полчаса – один удар. Сколько ударов сделают они с часу дня до 12 часов ночи включительно?

Решение. (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+11=89. Ответ: 89.

 2. Поставьте скобки так, чтобы равенство было верным: 9664 : 32 – 2·195 –  37·5 = 3000.

Решение. (9664 : 32 – 2)·(195 –  37·5) = 3000.

 3.Сколько четырехугольников в пятиугольной звезде?

Решение. Внутри звезды есть пятиугольник. Дополним его одним из внешних треугольников. Получим один из пяти четырехугольников. В каждом таком четырехугольнике одна из вершин совпадает с одной из вершин звезды. Если каждый из полученных выпуклых четырехугольников дополнить двумя треугольниками, у каждого из которых по вершине звезды, то получим еще 5 невыпуклых четырехугольника. Ответ: 10.

 

4.Начертите на листе бумаги квадрат из девяти клеток, в средней его  клетке поставьте цифру 5, а цифры 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9  расставьте в его остальных клетках так, чтобы после этого суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были равны.

Решение. Например, так: в первой строке сверху 2, 9, 4, во второй строке 7, 5, 3, в третьей строке 6, 1, 8.

 5. Оля и Варя чистили картофель. Оля очищала в минуту 2 картофелины, а Варя – 3. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работала каждая девочка, если Варя проработала на 25 мин больше, чем Оля?

Решение. За 25 мин  Варя очистила 25·3 = 75(картофелин). Работая вместе девочки очистили 400 – 75 = 325 (картофелин). За 1 мин они очищали 2 + 3 = 5 (картофелин). Значит, работали они вместе 325 : 5 = 65 (мин). Оля работала 65 мин, а Варя 65 + 25 = 90 (мин). Ответ: Оля работала 65 мин, а Варя 90 мин.

 6. Можно ли нарисовать на листе бумаги 7 окружностей так, чтобы каждая из них имела со всеми остальными только одну общую точку?

Решение. 2 окружности могут касаться в одной точке внешним образом, а остальные  5 окружностей могут касаться друг друга в той же точке, что и две первые окружности, но только  внутренним образом. Ответ: можно.

 7 класс. Олимпиада по математике «Гимназист – 2013».

1.Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хоть одна пятерка?

Решение. 15, 25, 35, 45, 50,51,52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95. Ответ: 18.

 2. Как разрезать квадрат на 4 части, чтобы из них можно было сложить 2 равных квадрата?

Решение. Разрезав квадрат по диагоналям, получим 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, из каждой пары которых можно сложить равные квадраты.

 3. Корабль отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 ч. Назовите день и час  возвращения корабля в порт.

Решение. 100 = 24·4 + 4. Значит, корабль вернется через 4 дня и 4 часа, т. е. в пятницу в 16 часов. Ответ: в пятницу в 16 часов.

 4. Имеется 10 гирек: 4 гирьки массой 1 г, 3 гирьки массой 2 г, 2 гирьки массой 3 г и 1 гирька массой 4 г. А) Можно ли разложить эти гирьки на 4 кучки так, чтобы общая масса каждой кучки была одна и та же? Б) Можно ли разложить эти гирьки на 3 кучки так, чтобы общая масса каждой кучки была одна и та же?

Решение. А) Общая масса гирек 20 г. Масса каждой из 4 кучек равна 20:5 = 5 (г). Разложить можно, например, так: 1) 3+2, 2) 3+2, 3) 1+4, 4) 2+1+1+1. Б) Так как 20 не делится на 3, то на три кучки разложить нельзя. Ответ: А) можно, Б) нельзя.

 5. Перед вами верное равенство: 35 + 10 – 45 = 42 +12 – 54. Запишем его в следующем виде: 5·7 + 5·2 – 5·9 = 6·7 +  6·2 – 6·9.  Применив распределительный закон умножения, получим 5·(7 + 2 – 9)  = 6·(7 +  2 – 9).  Разделим обе части равенства на одно и то же выражение (7 +  2 – 9), получим 5 = 6. Где ошибка в нашем «доказательстве»?

Решение. Ошибка состоит в том, что левую и правую части равенства разделили на 0, так как   7 +  2 – 9 = 0. А на 0 делить нельзя.

 6. Поставьте десять точек и проведите через них пять отрезков так, чтобы на каждом отрезке было по четыре точки.

Решение. Достаточно построить звезду, не отрывая карандаш от бумаги. Тогда  точки вершины звезды и  точки пересечения отрезков дадут требуемые 10 точек. 5 отрезков – это отрезки, соединяющие вершины звезды.

8 класс. Олимпиада по математике «Гимназист – 2013».

1.Сколько имеется двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?

Решение. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89. Ответ: 36.

 2. Сложите 6 треугольников из 12 спичек так, чтобы стороны любого из них были равны длине одной спички.

Решение. Сложим из 6 спичек шестиугольник и разделим его шестью спичками на 6 равных треугольников. Получим требуемое.

 3. В записи 4 4 4 4 4 4 4 4 поставьте между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 500.

Решение. 444 + 44 + 4 + 4 + 4 = 500.

 4. В ковре 4х4 м² моль проела 15 дырок. Докажите, что из него