Дистанционная олимпиада продолжается (3-я неделя). / vivat2.okis.ru

Меню

Дистанционная олимпиада продолжается (3-я неделя).

29.09.2013

Задания недели 14.09.2013 – 20.09.2013 и их решения:

1.Для нумерации страниц в учебнике потребовалось 787 цифр. Какой номер имеет последняя пронумерованная страница, если первая пронумерованная страница имеет номер 3?

Решение.

Однозначных чисел (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) всего 7.

Двузначных чисел (10, 11, 12, …, 99) всего 90.

На нумерацию страниц однозначными и двузначными числами использовано 7 + 90·2 = 187 цифр.

Значит, на нумерацию трехзначными числами пошло 787 – 187 = 600 цифр, а чисел – 600: 3 = 200. Отсчитаем 200 трехзначных чисел: первое такое число 100, прибавим к нему еще 199 и получим последнее трехзначное число 299. Следовательно, последняя пронумерованная страница имеет номер 299.

Ответ: номер 299.

2. На лугу ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то получится 184, а если считать головы, то 53. Сколько на лугу ребят и сколько жеребят?

Решение.

Пусть все жеребята встанут на задние ноги, тогда все (ребята и жеребята) будут стоять на двух ногах и их будет 53·2 = 106. Тогда 184 – 106 = 78 – количество поднятых ног жеребятами и 78:2 = 39 – количество жеребят на лугу. Следовательно, 53 – 39 = 14(ребят).

Ответ: 14 ребят, 39 жеребят.

3. Гусеница ползла вверх по дереву. За день она успевала проползти 3 м, а за ночь опускалась на 2 м. На какой день она достигла высоты 7 м?

Решение.

За сутки (за день и ночь) гусеница поднималась на 3 – 2 = 1(м).

За 4 суток она поднимется на 1·4 = 4 (м).

На 5-й день она поднимется на 4 + 3 = 7 (м).

Ответ: на 5-й день.

4. Из 10 листиков бумаги некоторые разрезали на 4 части. Получили всего 31 листик. Сколько листиков бумаги разрезали?

Решение.

Если разрезать 1 листик на 4 части (останется 9 целых листиков), то получим 4 + 9 = 13 листиков.

Если любые из 2 имеющихся листиков разрезать на 4 части, то получится 4·2 + 8 = 16 листиков.

Если любые из 3 имеющихся листиков разрезать на 4 части, то получится

4·3 + 7 = 19 листиков.

31 листик получится, если любые из 7 имеющихся листиков разрезать на 4 части каждый (4·7 + 3 = 31).

Ответ: 7 листиков.

5. Собака преследует зайца, который находится впереди нее на 40 своих прыжков. Собака делает 7 прыжков за то время, за которое заяц делает 9 прыжков, но 3 прыжка собаки равны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца?

Решение. По условию 3 прыжка собаки равны 5 прыжкам зайца, следовательно, 21 прыжок собаки равен 35 прыжкам зайца. Заметим, что собака делает 7 прыжков за то время, за которое заяц делает 9 прыжков, значит, собака делает 21 прыжок за то время, за которое заяц делает 27 прыжков. Известно, что 21 прыжок собаки равен 35 прыжкам зайца, следовательно, собака, сделав 21 прыжок, приближается к зайцу на 8 заячьих прыжков. Сделав 105 прыжков, собака приблизится к зайцу на 40 заячьих прыжков, т. е. догонит зайца.

Другая запись решения

1 прыжок собаки обозначим 1с, 1 прыжок зайца – 1з.

7с – 9з, а 3с = 5з.

НОК(3;7) = 21

21с – 27з, а 21с = 35з

35з – 27з = 8з – на столько приблизилась собака.

8з·5 = 40з, когда 21с·5 = 105с.

Ответ: 105 прыжков собаки.

Задания недели 21.09.2013 – 27.09.2013 и их решения:

6. Из трех старых оловянных ложек и ножа получится 10 оловянных солдатиков; из ложки, двух вилок и двух ножей – 9; из двух вилок и ножа – 5 солдатиков. Сколько оловянных солдатиков получится из двух ложек, двух вилок и двух ножей?

Решение.

Ложку обозначим л, нож – н, вилку – в, солдатик – с. Тогда

3л+1н=10с

1л+2в+2н=9с

2в+1н=5с

Если сложить отдельно левые части равенств и отдельно правые части равенств, то получим 4л + 4н +4в = 24с. Отсюда 2л+2в+2н = 12с.

Можно рассуждать и по другому:

1)10с+5с=15с из 3л+2в+2н

2)15с-9с=6с из 3л+2в+2н-1л-2в-2н=2л

3)6с:2=3с из 2л:2 =1л.

4) 9с+3с=12с из 1л+2в+2н+1л=2л+2в+2н.

Ответ:12 солдатиков.

7. Имеется 11 яблок. С помощью весов можно определить массу любых двух яблок. Как с помощью семи взвешиваний определить общую массу всех яблок?

Решение.

1) Взвесим 8 яблок по 2 штуки и запишем вес каждой пары. Это 4 взвешивания

2) Из оставшихся трех яблок одно пометим, а затем взвесим каждое непомеченное (из 2 оставшихся) с помеченным. Запишем результаты взвешиваний этих пар. Здесь мы выполнили еще 2 взвешивания.

3) Потом взвесим два непомеченных яблока и запишем результат взвешивания. Это уже седьмое взвешивание.

4) Сложим три пары яблок: вес двух непомеченных яблок, вес одного помеченного с непомеченным и вес другого помеченного с непомеченным. В результате в общей сумме масса каждого из трех будет присутствовать дважды, Затем разделим эту массу пополам и получится масса трех яблок(помеченного и двух непомеченных), которую сложив с массой 8 яблок получим окончательный ответ.

8. Какая цифра стоит в числе 345 673 456 734 567… на 100-м месте? На 2015-м месте?

Решение.

В данном случае повторяется одна и та же группа цифр 34567 . С 1-го места по 15-е место в данном числе и с 16-го по 30-е место, с 31-го места по 45-ое и т. д. повторяются все эти 15 цифр. Значит, на 10-м, на 25-м, на 40-м, на 55-м, на 70-м, на 85-м и на 100-м месте стоит цифра 7.

2015:15 =134(ост.5). Значит, на 5-м месте стоит цифра 7, на 20-м, на 35 и т. д., на 5+134·15 = 2015 стоит цифра 7.

Ответ:7.

9.У Антона и Саши – 17 наклеек, у Саши и Никиты – 18 наклеек, а у Антона и Никиты – 25 наклеек. Сколько наклеек у каждого мальчика?

Решение.

Обозначим количество наклеек у Антона А, у Саши С, у Никиты Н.

А+С=17

С+Н=18

А+Н=25

2А+2С+2Н=17+18+25, т. е. 2(А+С+Н)=60 – удвоенное количество наклеек у мальчиков. Значит, А+С+Н =60:2 =30(наклеек) у Антона, Саши и Никиты.

30 – 17 = 13(наклеек) у Никиты,

30 – 18 = 12 (наклеек) у Антона,

30 – 25 = 5 (наклеек) у Саши.

Ответ: у Антона 12 наклеек, у Саши 5 наклеек, у Никиты 13 наклеек.

10. Андрей задумал число. Он прибавил к нему 5, затем полученное число разделил на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Андрей?

Решение.

Решим задачу с конца, выполняя действия, обратные тем, что делал Андрей: (2·7+6):4·3 – 5= 20:4·3 – 5=15 – 5=10. Значит, Андрей задумал число 10.

Ответ:10.

Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка instagram

KISS

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233.Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234.27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235.Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236.Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237.В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238.По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.Решите уравнение $(x^{2} - x + 1)^{2} - 10 (x - 4) (x + 3) - 109 = 0$ . В ответе укажите сумму его корней.

3226.Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227.Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228.Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229.При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230.Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231.Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

3218.Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219.Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220. Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221.Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222.У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223.Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224.На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $331$ . Чему равен куб суммы этих чисел?

3212.При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213.В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214.Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215.На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216.В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217.Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?