Дистанционная олимпиада продолжается (4-я неделя). / vivat2.okis.ru

Меню

Дистанционная олимпиада продолжается (4-я неделя).

04.10.2013

Задания недели 28.09.2013 – 04.10.2013 и их решения:

11.Расстояние между двумя городами 320 км. Из этих городов одновременно выходят навстречу друг другу два поезда, причем скорость одного из них 45 км/ч, а другого – 35 км/ч. Одновременно с первым поездом вылетел почтовый голубь и со скоростью 50 км/ч полетел навстречу второму поезду, встретив его, он повернул назад и полетел навстречу первому и т. д. Какое расстояние пролетит голубь до момента встречи поездов?

Решение.

Каждый час поезда сближаются на 80 км. Встретились они через 4 ч. За это время голубь пролетел 200 км.

Ответ: 200 км.

12. О каждом из островитян А, В и С известно, что он либо Рыцарь (который всегда говорит правду), либо Лжец (который всегда лжет). Островитянин А говорит: «Мы все Лжецы». Островитянин В говорит: «Ровно один из нас Лжец». Можно ли определить, кто островитянин В – Рыцарь или Лжец? Можно ли определить, кто островитянин С – Рыцарь или Лжец?

Решение.
1) А говорит: «Мы все Лжецы». Если это правда, то, значит, и А – Лжец, а Лжецы не говорят правду. Таким образом, фраза «Мы все лжецы» не может быть правдой. Поэтому точно А – Лжец. Значит, его фраза «Мы все Лжецы» означает, что из А, В и С не все Лжецы, т. е. кто-то Рыцарь.

2) Следовательно, либо А – Рыцарь, либо С – Рыцарь (либо они оба Рыцари).

3) Если В – Рыцарь (т. е. его фраза «Ровно один из нас Лжец» правда), то Лжец один А, а С – также Рыцарь.

4) Если В – Лжец, то Лжецов двое (так как все трое не могут одновременно быть ни лжецами, ни рыцарями), следовательно, С может быть только Рыцарем, независимо от того, кто В(Лжец или Рыцарь).

5) Про В невозможно точно сказать, Рыцарь он или Лжец.

Ответ: кто островитянин В – Рыцарь или Лжец – определить невозможно, островитянин С – Рыцарь.

13. Как набрать из озера восемь литров воды, имея девятилитровое и пятилитровое ведра?

Решение.

Переливания можно записать и в виде пар чисел:

(0;0), (0;9), (5;4), (0;4), (4;0), (4;9), (5;8), где первое число в каждой паре – содержимое 5-литрового ведра, второе – 9-литрового.

Ответ: переливания:(0;0), (0;9), (5;4), (0;4), (4;0), (4;9), (5;8), где первое число в каждой паре – содержимое 5-литрового ведра, второе – 9-литрового.

14. В сенате заседают 100 сенаторов. Каждый из них либо продажен, либо честен. Известно, что:

1) по крайней мере один из сенаторов является честным;

2) из каждой произвольно выбранной пары сенаторов по крайней мере – один продажен.

Можно ли с помощью этих двух утверждений определить, сколько сенаторов в этом сенате честных, а сколько – продажных?

Решение.

Из факта 1) следует, что из 100 сенаторов есть 1, который честный.

Рассмотрим 99 пар сенаторов, в каждой из которых присутствует честный сенатор и один из других сенаторов (в каждой паре другой, не встречавшийся ранее). Так как в соответствии с фактом 2) в каждой произвольно выбранной паре сенаторов хотя бы один продажен, то в этих 99 парах все сенаторы, кроме одного честного, продажны. Следовательно, в сенате 99 продажных сенаторов и ровно 1 честный сенатор.

Ответ: да, среди 100 сенаторов 99 продажных и 1 честный.

15. Разделите фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было составить квадрат:

Ответ:

Задания недели 05.10.2013 – 12.10.2013:

16. Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки, отстоящие друг от друга на расстоянии 1 м, окрашенные одинаково.

Решение. Рассмотрите равносторонний треугольник (сделайте рисунок) со стороной 1 м. Из трех его вершин две окрашены одинаково, расстояние между ними как раз и равно 1 м.

17. В ящике 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара белого цвета?

Решение.

Может случиться так, что вначале мы вытянем 100 черных шаров, и лишь затем 2 белых.

Ответ: 102 шара.

18. Три подруги одеты в белое, зеленое и синее платья. Их туфли также белого, зеленого и синего цветов. Известно, что у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа – в зеленых туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

Решение.

Будем решать задачу, последовательно заполняя таблицу:

Имена девочек

Цвет туфель

Цвет платья

белый

зеленый

синий

белый

зеленый

синий

Аня

Валя

Наташа

Да (3)

Нет(2)

Да (1)

Да (4)

Да (5)

Да (6)

Да (7)

1) Так как у Наташи туфли были зеленого цвета (1), а у Вали не белого (2), то у Ани туфли белые (3), а у Вали синие (4).

2) Так как у Ани цвета платья и туфель совпадали, то у нее платье белое (5), а у Вали платье не синее (так как у нее цвета платья и туфель не совпадают) и не белое (как у Ани), следовательно, оно зеленое (6). У Наташи – платье синее (7).

Ответ: у Ани туфли и платье белые; у Вали туфли синие, а платье зеленое; у Наташи туфли зеленые, а платье синее.

19.В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Как распределены эти жидкости по сосудам?

Решение.

Имеются следующие сведения:

1) вода и молоко не в бутылке;

2) сосуд с лимонадом находится между кувшином и сосудом с квасом, следовательно, лимонад не в кувшине и квас не в кувшине;

3) в банке – не лимонад и не вода;

4) стакан находится около банки и сосуда с молоком, следовательно, молоко не в стакане и не в банке.

Результаты запишем в таблицу:

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	Нет (из 1)	Нет (из 4)	Да (из 5)	Нет (из 4)
Лимонад	Да (из 6)	Нет (из 6)	Нет (из 2)	Нет (из 3)
Квас		Нет (из 6)	Нет (из 2)	Да (из 6)
Вода	Нет (из 1)	Да (из 6)	Нет (из 5)	Нет (из 3)

5) из таблицы видно, что молоко может быть только в кувшине, и, следовательно, в кувшине не вода. Продолжим заполнение таблицы;

6) вода не в кувшине, значит, вода может быть только в стакане, следовательно, в стакане не лимонад и не квас, поэтому лимонад в бутылке, а квас в банке.

Ответ: молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

20. Разрежьте фигуру на четыре равные части и сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине:

Ответ:

Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка instagram

KISS

Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple,stupid!» (Не усложняй, чудило!)

Задачи 3232 - 3238 проекта "Матема"

3232. На ветке сидят 3 птицы. Все, кроме двух, вороны, все, кроме двух, воробьи, все, кроме двух,голуби. Сколько ворон, воробьёв и голубей сидят на ветке?

3233.Катя составила из цифр 1, 2, 3, 4, 5 самое большое трёхзначное и самое маленькое двузначное числа (при этом цифры в числах не повторяются), а потом записала их разность.Какое число записала Катя?

3234.27 октября 2016года у Маши родился братик Ваня. Сегодня ему исполнился 1 месяц. Какой сегоднядень недели, если 27 октября был четверг, а в октябре 31 день?

3235.Катя позвала подруг в гости. Таня решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдут Оля и Марина. Оля решила, что пойдёт в гости к Кате, если пойдёт Марина. Марина решила, что пойдёт в гости к Кате, если не пойдёт Оля и пойдёт Таня. Кто из девочек пойдёт в гости к Кате?

3236.Петух Петя в течение недели с 4 до 8 утра каждые полчаса по 3 раза кричал «кукареку». Сколько всего раз Петя крикнул «кукареку» за неделю?

3237.В классе 24 ученика. Половина из них девочки. Треть всех учеников пойдут сегодня вечером в кино. Известно, что 5 из них – мальчики, а остальные – девочки. Сколько девочек не пойдут сегодня в кино?

3238.По стеблю цветка ползёт гусеница. Она начала движение в понедельник в 10 часов утра. В четверг в это же время она оказалась на высоте 42 см от земли. На какой высоте окажется гусеница в воскресенье в 10 часов утра, если известно, что во вторые сутки она поднималась вдвое быстрее, чем в первые, в третьи – вдвое быстрее, чем во вторые, и так далее.

Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.Решите уравнение $(x^{2} - x + 1)^{2} - 10 (x - 4) (x + 3) - 109 = 0$ . В ответе укажите сумму его корней.

3226.Число aa при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4.

3227.Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

3228.Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

3229.При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

3230.Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

3231.Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Задачи 3218 - 3 224 проекта "Матема"

3218.Через 52 месяца Майе исполнится ровно 7 лет. Сколько лет и сколько месяцев сейчас Майе?

3219.Пилот Саша получил задание перевезти 19 пассажиров с аэродрома Дракино на аэродром Конаково. Он запустил вертолёт на аэродроме Дракино и готов начать перевозку. Сколько посадок придётся сделать вертолёту, чтобы справиться с задачей, если всего он вмещает 5 человек, включая пилота?

3220. Маша собиралась с родителями на море. Она достала свой чемодан и поняла, что забыла код. Она помнит, что код состоит из цифр 2, 5 и 6 и что они не повторяются, но не может вспомнить их порядок.Каково максимальное количество времени, которое понадобится Маше, чтобы подобрать код,если на проверку одного кода у неё уходит 10 секунд?

3221.Аня шила платки.Сначала она разрезала ткань на 27 одинаковых квадратов, затем решила одну треть квадратов разрезать ещё на 4 части, чтобы получились носовые платочки. Из другой трети квадратов Аня сшила платки побольше, а последнюю треть квадратов она решила разрезать на 2 части и сделать шарфики. Сколько платков (носовых платков и платков побольше) и сколько шарфиков сшила Аня?

3222.У царя Додона есть роскошный сад прямоугольной формы. Злой колдун за одну ночь уменьшил сад царя Додона в 9 раз. Царь в отчаянии! А можешь ли ты сказать царю, как изменились длины сторон его сада?

3223.Встретились два кота. Кот Вася говорит: «Я за 5 недель наловлю 10 килограммов рыбы». А кот Филя отвечает: «А я наловлю столько же рыбы за 2 недели».За сколько дней они вместе наловят 10 килограммов рыбы?

3224.На школьном празднике Маша, Катя и Таня раздавали ученикам билеты в театр. Маша раздала половину всех билетов и ещё 2, Катя – половину оставшихся билетов, а Таня раздала ребятам последние 9 билетов. Сколько всего билетов раздавали ученикам на празднике?

Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна $331$ . Чему равен куб суммы этих чисел?

3212.При каком значении параметра a уравнение |x2−2x−3|=a имеет три корня?

3213.В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру. Полученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исходного трёхзначного. Найдите это трёхзначное число.

3214.Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.

3215.На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.

3216.В коробке 6 красных, 7 зелёных, 8 синих и 9 жёлтых карандашей. В темноте из коробки берут карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них обязательно было 3 красных и 2 зелёных карандаша?

3217.Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?