Математические забавы
20.10.2013
Баше — математическая игра, в которой два игрока из кучки, содержащей первоначально N предметов, по очереди берут не менее одного и не более М предметов. Проигравшим считается тот, кому нечего брать.
Классическая игра подразумевает N=15 и взятие не менее 1 и не более 3 предметов за раз. Оптимальная стратегия для первого игрока в этом случае заключается во взятии 3 предметов первым ходом и дополнении ходов противника до 4 в последующих ходах.
В обобщённой игре Баше (можно брать от 1 до M предметов) оптимальную стратегию можно выразить так: "Бери столько предметов, чтобы после твоего хода количество предметов было кратно (M+1)".
Можно также рассмотреть вариант игры Баше на мизер: проигравшим считается тот, кто возьмет последний предмет.
Названа в честь французского поэта и математика Баше де Мезирьяка, который предложил её в своей книге «Занимательные и приятные числовые задачи», вышедшей в 1612 г.; а туда она попала из сочинения Леонарда Пизано (1202 г.).
Задача о мудрецах
Три мудреца не могли решить, кто из них самый мудрый. Помог им случайный прохожий. Он достал из мешка пять колпаков, три белых и два черных, и сказал, что мудрейшим будет объявлен тот, кто первым отгадает, какого цвета на нем колпак. Затем посадил спорщиков друг против друга, завязал им глаза, надел по колпаку и разрешил снять повязки.
Долго думали мудрецы, наконец один из них воскликнул: «На мне белый колпак!»
Как он решил задачу? Традиционный ответ на эту старинную задачу таков. Мудрец рассуждал: «Я вижу перед собой два белых колпака. Допустим, на мне черный колпак. Тогда любой из моих соперников должен рассуждать: «Передо мной черный и белый колпаки. Если на мне также черный, то сопернику в белом колпаке уже не стоит никакого труда решить задачу». Но никто из них все еще не догадывается о цвете своего колпака. Следовательно, на мне белый колпак». Если же принять во внимание варианты с начальным «допустим, на мне белый колпак», ход рассуждений существенно удлиняется.
Ответ оказался правильным, но для нас сейчас важно, что мудрейший из мудрецов долго думал. А все потому, что не был знаком с современными методами системного анализа и эвристическими приемами решения задач.
Системный подход требует учета всех обстоятельств, сопровождающих решение задачи.
Мудрец рассуждал только за своих соперников, тогда как участников игры было четверо, включая прохожего. За него также следовало порассуждать и, как мы увидим, этот вариант быстрее всего вел к цели.
Эвристические методы не гарантируют правильного ответа, но позволяют экономить время, потребное на решение задачи, при достаточно большой вероятности получения результата, близкого к оптимальному.
Современный мудрец мог бы рассуждать так: «Судья должен быть человеком беспристрастным. Тогда он постарается поставить нас в равные условия. Но это возможно сделать только одним способом: надеть на нас по белому колпаку. Допустим, однако, что он не таков. Но не настолько же глуп, чтобы надеть два черных колпака, подсказав третьему очевидный ответ. Отбросим этот вариант как маловероятный. Вариант использования одного черного колпака оценим вероятностью в одну вторую. А вероятность того, что именно на меня он надет, равняется одной трети. Следовательно, с вероятностью не менее пяти шестых на мне должен быть белый колпак».
Причем этот анализ мог быть проведен и с завязанными глазами. Правда, оставалась вероятность ошибиться. Но не было ли ее и при традиционном ответе? Ведь рассуждения древнего мудреца справедливы при условии, что у его соперников определенный уровень рассудочных способностей. А поскольку далеко не всегда человек, прослывший или выдающий себя за мудреца, является таковым на самом деле, вероятность ошибки сохраняется и в этом случае.
А. Коновалов, г. Ижевск, профессор
«Техника – Молодежи», №12, 1990 г.
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка instagram