Задачи 306 - 315 проекта
24.06.2014
Условия и решения вариантов задач
310а. Математика путешествия. Тимофей ехал в поезде домой. Вдруг, на полпути к дому, ему захотелось спать. Когда Тимофей проснулся, то понял, что ему осталось ехать еще половину времени, которое он проспал. Какую часть от всего времени путешествия домой Тимофей проспал? (Скорость поезда постоянная в течение всего путешествия.)
Решение 1. Время, потраченное Тимофеем на первую половину пути, равно времени, потраченному на вторую половину пути. (Это следует из того, что скорость поезда постоянная в течение всего путешествия). Примем время, которое проспал Тимофей, за одну часть. Следовательно, время езды после пробуждения это – 1/2 частей. Всего 3/2 части. Эти 3/2 части составляют 1/2 часть времени всего путешествия (половину он уже проехал). Тогда получается, что 1 часть времени (т.е. время сна) равна 1/2 : 3/2 = 1/3 времени всего пути.
Решение 2. Примем за 1 часть время, которое осталось проехать Тимофею, после того, как он проснулся. Тогда на сон у него ушло 2 части времени, т.е. всего 2 + 1 = 3 части времени он потратил на вторую половину пути. На весь путь он потратил 3 части + 3 части = 6 частей. Следовательно, на сон у него ушло: 2 : 6 = 1/3 часть времени всего пути..
Ответ: 1/3 времени всего пути.
312а. В школе 735 учеников. Доказать, что хотя бы трое из них отмечают день рождения в один и тот же день.
Решение. Принцип Дирихле известен в несколько шутливой формулировке: «нельзя посадить пять кроликов в четыре клетки так, чтобы в каждой клетке было не более одного кролика». Доказательство очевидно: если в каждой клетке будет не более одного кролика, то в четырех клетках будет не более четырех кроликов, что противоречит условию.
Вернемся к нашей задаче. Пусть в каждый из дней года отмечают день рождения не более двоих учеников. Тогда в школе учатся не более 2·366 = 732 учеников (с учетом того, что год может быть високосным). Но это противоречит условию задачи. Следовательно, предположение оказалось неверным, следовательно, найдется день, в который отмечают день рождения, по крайней мере, трое учеников.
313а. Сколько существует натуральных чисел? Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:
а) делятся одновременно на 2 и на 3?
б) делятся на 2, но не делятся на 3?
в) делятся на 3, но не делятся на 2?
г) делятся на 3, или на 2 ( по крайней мере на одно из этих двух чисел)?
д) не делятся ни на 2, ни на 3?
Решение.
а) Чтобы определить среди первых 99-ти натуральных чисел количество тех, которые делятся и на 2, и на 3, т.е. делятся на 6, разделим 99 на 6. При этом неполное частное, которое равно 16, и представляет собой количество чисел, делящихся и на 2 и на 3.
б) Количество чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти равно неполному частному от деления 99 на 2, т. е. 49 . Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3. Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.
в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33. Из них16 делятся также и на 2. Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17.
г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, т. е. 49 + 17 = 66.
д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.
Создано на конструкторе сайтов Okis при поддержке Flexsmm - накрутка instagram