Задачи 3087 - 3090 проекта "Матема"

3087.Пусть производительность первой бригады - x, второй - y, третьей - z, четвертой - t. Найти 1/(z+t).

По условию: {y+z+t=4x,x+z+t=3y,x+y=1/11.

Найдем z+t - производительность третьей и четвертой бригад:

4x−y=3y−x; 5x=4y; x=(4/5)y. Подставим в третье уравнение:

4/5y+y=1/11, y=5/99, x=4/99.

z+t=4⋅4/99−5/99, z+t=1/9.

Тогда третьей и четвертой бригадам понадобится 1:1/9=9 (дней).

Ответ: 9.

3088. (c+7)/(c−4)=(c−4+11)/(c−4)=1+11/(c−4), поэтому исходное число будет целым, если 11 кратно c−4,

11 - простое число, значит, его делителями будут −11; −1; 1; 11.

Решим четыре уравнения: c−4=−11; c−4=−1; c−4=1; c−4=11.

Получим: c=−7; c=3; c=5; c=15. Всего четыре числа.

Ответ: 4.

3089.∠BCA=∠CAD как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD.

Треугольник ABC - равнобедренный, AB=BC=15.

h=BM=AB⋅sin∠A=15⋅sin∠A.

SABCD=((BC+AD)/2)⋅h=(25+15)/2⋅15sin∠A=300sin∠A

Рассмотрим △ABD:

cos∠A=AB/AD=15/25=3/5.

sin^2∠A=1−cos^2∠A=16/25.

SABCD=300⋅4/5−240.

Ответ: 240.

3090.Так как четырехугольник вписан в окружность, то AC⋅MB=MA⋅BC+MC⋅AB (по теореме Птолемея).

Так как AB=AC=BC, то

AC⋅MB=MA⋅AC+MC⋅AC

.

MB=MA+MC.

Следовательно, MC=MB−MA=10−2=8.

Ответ: 8.