Задача 3211 - 3217 проекта "Матема"

3211. (x+1)^3−x^3=331
x^3+3x^2+3x+1−x^3=331
3x^2+3x+1=331
3x^2+3x=330
x^2+x−110=0
По теореме Виета находим корни: 10 и −11.

По условию: x - натуральное число.

x=10;x+1=11
(10+11)^3=9261
Ответ: 9261.

3212.

Решить задачу графически.

Построить график функции: y=|x2−2x−3|.

При a=0 и a>4 два корня;

при a=4 три корня;

при 0<a<4 четыре корня;

при a<0a<0 нет корней.

Ответ: 4.

3213.Пусть это трёхзначное число: 100a+10b+c.

100a+10b+c=6(10a+c)
100a+10b+c=60a+6c
40a+10b−5c=0
8a+2b−c=0
c=8a+2b
c=8; a=1; b=0
Трёхзначное число: 108.

Ответ: 108.

3214.Пусть на x (руб.) - была снижена стоимость билета; y — число посетителей до снижения стоимости.

Старый сбор 1200y, новый сбор (1200−x)⋅1,5y.

По условию задачи:

1,25⋅1200y=(1200−x)⋅1,5y
1,25⋅1200=1800−1,5x
x=200
Ответ: 200

3215.

1 способ

Если часовая стрелка до того, как обе стрелки совпадут, успеет пройти x минутных делений, то минутная стрелка за то же время пройдёт (50+x) минутных делений.

За одно и то же время часовая стрелка проходит 1/12 того, что проходит минутная, значит:

x=(50+x)/12

x=50/11 мин = 4  и  6/11 мин

50+x=54 и 6/11 мин.

С точностью до целых: 55 минут.

Ответ: 55.

2 способ

Понятно, что стрелки совпадут не позже, чем через два часа.

Пусть m - прошедшее время в минутах, h - в часах.

Угол минутной стрелки m⋅360/60, в градусах.

Угол часовой стрелки h⋅360/12+10⋅360/12, в градусах. Второе слагаемое учитывает то, что в начальный момент часовая стрелка стоит на 10 часах.

Переходим к минутам и приравниваем углы:

m⋅360/60=m/60⋅360/12+10⋅360/12

С точностью до целых: m=55 минут.

Ответ: 55.

3216.В условии задачи есть слово "обязательно", надо рассмотреть самый плохой вариант.

В наихудшем случае сначала будут взяты все синие, жёлтые и зелёные карандаши, затем достаточно взять 3 карандаша, это будут 3 красных.

Среди карандашей обязательно будут 3 красных и 2 зелёных.

8+9+7+3=27
Ответ: 27.

3217.Автобусы в посёлок приходят каждые 6+6:1,5=10 минут, значит, 6 автобусов за час.

Ответ: 6.