Задача 3225 - 3231 проекта "Матема"

3225.(x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0.

(x^2−x+1)^2−10(x^2−x−12)−109=0.

Введем замену x^2−x+1=t; x^2−x−12=t−13.

t^2−10(t−13)−109=0; t^2−10t+21=0; t=7, t=3.

x^2−x+1=7; x^2−x+1=3.

x=3, x=−2, x=2, x=−1.

Сумма корней равна 2.

Ответ: 2.

3226.Пусть a=7k+2, тогда a^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4, остаток от деления a^2 на 7 равен 4.

Пусть a=7k+4, тогда a^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k+2)+2, остаток от деления a^2 на 7 равен 2.

Значит, остаток от деления в первом случае больше.

Ответ: 1.

3227. Пусть x км/ч - скорость первого пешехода, а y км/ч - скорость второго, причем x>0, y>0.

Тогда в первом случае первый пешеход находился в пути 2,5 часа, а второй - 2 часа.

 Значит, вместе они прошли 2,5x+2y, что составило 20 км, т.е. 2,5x+2y=20.

Во втором случае первый пешеход находился в пути 5/3 часа, а второй - 8/3 часа, 

а вместе они прошли 5/3x+8/3y, что составило 20 км, т.е. 5/3x+8//3y=20.

Решение системы уравнений: x=4, y=5.

Ответ:4.

3228.Пусть a - цифра сотен, b - цифра десятков, c - цифра единиц исходного трехзначного числа. 

Тогда это число равно 100a+10b+c, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 100c+10b+a.

По условию 100a+10b+c−(100c+10b+a)=495, a+b+c=17, a^2+b^2+c^2=109.

Решая систему трех уравнений, приходим к квадратному уравнению

D=1, c=10/3, c=3
Значение c=10/3 не удовлетворяет условию задачи, так как c - число натуральное. Подставляя c=3, находим a=8, b=6.

Ответ: 863.

3229.6−3b+4bx=4b+12x, (4b−12)x=7b−6.

Если b=3, то уравнение примет вид 0⋅x=150⋅x=15 и не будет иметь корней.

Если b≠3, то x=7b−64b−12.

По условию x=(7b−6)/(4b−12)<1. Тогда x=(3b+6)/(4b−12)<0. Получим −2<b<3.

Ответ: −2<b<3.

3230.Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC.

Пусть ∠BAC=∠1, ∠CAD=∠2, ∠ACB=∠3.

По условию ∠1=∠2, а ∠2=∠3 как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. 

Тогда треугольник ABC - равнобедренный и AB=BC.

По условиюAD=2BC. Пусть AB=x, тогда x+x+x+2x=90, отсюда x=90:5=18, AD=36.

Ответ: 36.

3231.1) Пусть M - точка пересечения отрезков PR и QS.

По условию PR⊥QS, по теореме Пифагора найдем

MR=QR^2−QM^2−−−−−−−−−−√=26^2−10^2−−−−−−−−√=24

2) Прямоугольные треугольники PMS и QMR подобны по двум углам (∠PSQ=∠PRQ=1/2⌣PQ)

Поэтому PM/QM=MS/MR=PS/QR.

PM/10=MS/24=13/26, PM=5, MS=12
PR=PM+MR=5+24=29, QS=QM+MS=10+12=22.

3) Для искомой площади S четырехугольника PQRS имеем S=1/2QS⋅PR=1/2⋅22⋅29=319.

Ответ: 319.