Математические парадоксы

Парадокс 1. 4=5
Итак, я хочу подвергнуть Вашему сомнению самый известный пример из нами любимой таблицы умножения: 2х2=4.

Сейчас я докажу, что 4, это не 4, а 5, т.е. 4=5.
Для доказательства 2х2=5 введем следующие обозначения:
Пусть А=4, В=5, С=1
Тогда, С=В-А.
Домножим обе части выражения на В-А:
С(В-А)=(В-А)(В-А) или С(В-А)=(В-А)2 
Раскроем скобки (для правой части используем формулу сокращенного умножения - квадрат разности):
СВ-СА=А2-2АВ+В2
Перенесем А2 из левой части в правую:
СВ-СА-А2=В2-2АВ
Прибавим к левой и правой частям выражения АВ:
СВ-СА-А2+АВ=В2-2АВ+АВ
СВ-СА-А2+АВ=В2-АВ
Перенесем СВ из левой части выражения в правую:
АВ-СА-А2=В2-АВ-СВ
Вынесем за скобку в левой части переменную А, в правой части переменную В:
А(В-С-А)=В(В-А-С)
или
А(В-С-А)=В(В-С-А)
Поделим обе части выражения на скобку (В-С-А):
Следовательно, А=В, а значит 4=5, следовательно 2х2=5.
На первый взгляд - все правильно. Но мы же все знаем, что 2х2=4. Почему возник этот математический парадокс? В решении есть ошибка? Если да, то Вы можете ее найти?
Решение.
В конце:(B-C-A)=(5-1-4)=0
т.е 4*0=5*0-верно
 Однако получается, мы разделили выражение на ноль, А НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

Парадокс 2. Утопить или повесить?
Эта головоломка известна довольно широко. Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным, преступника утопят. Если же оно будет ложным, преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

Решение. Преступник должен сказать: "Я буду повешен".

Парадокс 3. (Парадокс цирюльника).
Приведу еще один хорошо известный парадокс. В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя? Если цирюльник бреет самого себя, то тем самым он нарушает правило, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правило, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

Решение. Ничего: существование такого цирюльника логически невозможно.

Парадокс 4. Что вы на это скажете?
Один из островов рыцарей и лжецов малонаселен: на нем живут только два туземца A и B. Они высказали следующие утверждения:
A: B - лжец.
B: A - рыцарь.
Кто такой A: рыцарь или лжец? A что можно сказать о B?

Решение.
Описанная ситуация невозможна.
Если бы A был рыцарем, то B в действительности был бы рыцарем. Следовательно, A в действительности не рыцарь. Если бы A был лжецом, то B в действительности был бы не лжецом, а рыцарем. Значит, его утверждение было бы истинным, и A был бы рыцарем. Следовательно, A не может быть ни рыцарем, ни лжецом, так как и в том и в другом случае мы приходим к противоречию.

Парадокс 5. (Парадокс лжеца)
По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит?

Решение.
 Эпименид — легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. По преданию, Эпименид проспал 57 лет. Приписываемое ему утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду. При таком предположении утверждение "Все критяне лжецы" не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом и, следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но приписываемое Эпимениду утверждение не может быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и, следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно.