Дистанционная олимпиада продолжается (4-я неделя).

Задания недели 28.09.2013 – 04.10.2013 и их решения:

11.Расстояние между двумя городами 320 км. Из этих городов одновременно выходят навстречу друг другу два поезда, причем скорость одного из них 45 км/ч, а другого – 35 км/ч. Одновременно с первым поездом вылетел почтовый голубь и со скоростью 50 км/ч полетел навстречу второму поезду, встретив его, он повернул назад и полетел навстречу первому и т. д. Какое расстояние пролетит голубь до момента встречи поездов?

Решение.

Каждый час поезда сближаются на 80 км. Встретились они через 4 ч. За это время голубь пролетел 200 км.

Ответ: 200 км.

12. О каждом из островитян А, В и С известно, что он либо Рыцарь (который всегда говорит правду), либо Лжец (который всегда лжет). Островитянин А говорит: «Мы все Лжецы». Островитянин В говорит: «Ровно один из нас Лжец». Можно ли определить, кто островитянин В – Рыцарь или Лжец? Можно ли определить, кто островитянин С – Рыцарь или Лжец?

Решение.
1) А говорит: «Мы все Лжецы». Если это правда, то, значит, и А – Лжец, а Лжецы не говорят правду. Таким образом, фраза «Мы все лжецы» не может быть правдой. Поэтому точно А – Лжец. Значит, его фраза «Мы все Лжецы» означает, что из А, В и С не все Лжецы, т. е. кто-то Рыцарь.

2) Следовательно, либо А – Рыцарь, либо С – Рыцарь (либо они оба Рыцари).

3) Если В – Рыцарь (т. е. его фраза «Ровно один из нас Лжец» правда), то Лжец один А, а С – также Рыцарь.

4) Если В – Лжец, то Лжецов двое (так как все трое не могут одновременно быть ни лжецами, ни рыцарями), следовательно, С может быть только Рыцарем, независимо от того, кто В(Лжец или Рыцарь).

5) Про В невозможно точно сказать, Рыцарь он или Лжец.

Ответ: кто островитянин В – Рыцарь или Лжец – определить невозможно, островитянин С – Рыцарь.

13. Как набрать из озера восемь литров воды, имея девятилитровое и пятилитровое ведра?

Решение.

Переливания можно записать и в виде пар чисел:

(0;0), (0;9), (5;4), (0;4), (4;0), (4;9), (5;8), где первое число в каждой паре – содержимое 5-литрового ведра, второе – 9-литрового.

Ответ: переливания:(0;0), (0;9), (5;4), (0;4), (4;0), (4;9), (5;8), где первое число в каждой паре – содержимое 5-литрового ведра, второе – 9-литрового.

14. В сенате заседают 100 сенаторов. Каждый из них либо продажен, либо честен. Известно, что:

1) по крайней мере один из сенаторов является честным;

2) из каждой произвольно выбранной пары сенаторов по крайней мере – один продажен.

Можно ли с помощью этих двух утверждений определить, сколько сенаторов в этом сенате честных, а сколько – продажных?

Решение.

Из факта 1) следует, что из 100 сенаторов есть 1, который честный.

Рассмотрим 99 пар сенаторов, в каждой из которых присутствует честный сенатор и один из других сенаторов (в каждой паре другой, не встречавшийся ранее). Так как в соответствии с фактом 2) в каждой произвольно выбранной паре сенаторов хотя бы один продажен, то в этих 99 парах все сенаторы, кроме одного честного, продажны. Следовательно, в сенате 99 продажных сенаторов и ровно 1 честный сенатор.

Ответ: да, среди 100 сенаторов 99 продажных и 1 честный.

15. Разделите фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было составить квадрат:



Ответ:

Задания недели 05.10.2013 – 12.10.2013:

16. Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки, отстоящие друг от друга  на расстоянии 1 м, окрашенные одинаково.

Решение. Рассмотрите равносторонний треугольник (сделайте рисунок) со стороной 1 м. Из трех его вершин две окрашены одинаково, расстояние между ними как раз и равно 1 м.

17. В ящике 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было 2 шара белого цвета?

Решение.

Может случиться так, что вначале мы вытянем 100 черных шаров, и лишь затем 2 белых.

Ответ: 102 шара.

18. Три подруги одеты в белое, зеленое и синее платья. Их туфли также белого, зеленого и синего цветов. Известно, что у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа – в зеленых туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

Решение.

Будем решать задачу, последовательно заполняя таблицу:

1) Так как у Наташи туфли были зеленого цвета (1), а у Вали не белого (2), то у Ани туфли белые (3), а у Вали синие (4).

2) Так как у Ани цвета платья и туфель совпадали, то у нее платье белое (5), а у Вали платье не синее (так как у нее цвета платья и туфель не совпадают) и не белое (как у Ани), следовательно, оно зеленое (6). У Наташи –  платье синее (7).

Ответ: у Ани туфли и платье белые; у Вали туфли синие, а платье зеленое; у Наташи туфли зеленые, а платье синее.

19.В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Как распределены эти жидкости по сосудам?

Решение.

Имеются следующие сведения:

1) вода и молоко не в бутылке;

2) сосуд с лимонадом находится между кувшином и сосудом с квасом, следовательно, лимонад не в кувшине и квас не в кувшине;

3) в банке – не лимонад и не вода;

4) стакан находится около банки и сосуда с молоком, следовательно, молоко не в стакане и не в банке.

Результаты запишем в таблицу:

5) из таблицы видно, что молоко может быть только в кувшине, и, следовательно, в кувшине не вода. Продолжим заполнение таблицы;

6) вода не в кувшине, значит, вода может быть только в стакане, следовательно, в стакане не лимонад и не квас, поэтому лимонад в бутылке, а квас в банке.

Ответ: молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

20. Разрежьте фигуру на четыре равные части и сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине:

Ответ: