Дистанционная олимпиада продолжается (5-я неделя).

    Двое по очереди ломают шоколадку 6*8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

Решение:
При правильной игре выигрывает первый. Опишем его стратегию. Первому надо первым ходом разделить шоколадку на две равные части, это он может сделать двумя способами. Затем какой бы ход ни сделал второй, первый может сделать "симметричный" ход, т.е. найти часть, равную той, которую делил второй и разделить её так же, как делил второй.

 Ответ: первый.

22. Игра с тремя кучками камней

    Имеется три кучки камней: в первой - 10, во второй - 15, в третьей - 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

Подсказка:
После каждого хода число кучек увеличивается на 1.

Решение:
После каждого хода число кучек увеличивается на 1, следовательно, в конце будет 10 + 15 + 20 = 45 кучек, т.е. будет сделано 42 хода, причем последний ход будет у второго. Итак, выигрывает второй. Интересно отметить, что его выигрыш не зависит от стратегии игроков.

Ответ: второй.

23. Игра с двумя кучками конфет

    В двух кучках лежат по 100 конфет. За ход можно взять любое количество конфет из одной кучки. Выигрывает взявший последнюю. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

Решение:
Какой бы ход ни сделал первый, у второго есть возможность взять то же число конфет из другой кучки, следовательно, последний ход будет у второго.
Ответ: второй.

24. Из стакана с молоком в стакан с чаем перелили ложку молока. После этого из стакана с чаем перелили обратно в стакан с молоком такую же ложку полученной смеси. Чего теперь больше: молока в стакане с чаем или чая в стакане с молоком? (Количество жидкости в стаканах могло быть разным, перемешивать могли не очень тщательно.)

Указание. Заметьте, что после переливаний количество жидкости в каждом стакане осталось таким же, каким оно было до переливаний.

Решение. Посмотрим на стакан с молоком. В нем жидкости столько же, сколько было изначально, но часть молока заменилась чаем. А куда же делось это молоко? Перешло в стакан с чаем! То есть сколько чая пришло в стакан с молоком, столько и молока этот чай вытеснил в стакан с чаем.

Ответ. Чая в стакане с молоком столько же, сколько молока в стакане с чаем.

25. Разделите фигуру на шесть равных частей:

Решение.