Дистанционная олимпиада 19-26.10.2013

26.Принцип Дирихле гласит: «Пусть в n клетках сидит не менее чем n + 1 кроликов. Тогда найдется клетка, в которой сидит не менее двух кроликов». Попробуйте применить этот принцип к следующей задаче:

«Шесть школьников съели семь конфет.

а) Докажите, что один из них съел не менее двух конфет.

б) Верно ли, что кто-то съел ровно две конфеты?»

Решение.

а) Пусть конфеты – это «кролики», а школьники – это «клетки». Так как 7 > 6, то по принципу Дирихле найдется школьник, который съел не менее 2 конфет.

б) Так как все конфеты мог съесть и один школьник (или один школьник мог съесть 3 конфеты, а второй – 4). В обоих случаях принцип Дирихле выполняется: найдется школьник, который съел не менее двух конфет (во втором случае даже 2). А вот утверждать, что кто-то наверняка съел ровно две конфеты, нельзя. Как видим, то, что проходит для «не менее двух конфет», не проходит для «ровно две конфеты».

27. В городе более 400 тыс. жителей. У каждого на голове меньше 200 тыс. волос. Докажите, что найдутся три человека с одинаковым числом волос на голове.

Доказательство.

Рассмотрим «наихудший» вариант, когда в городе 400 001 житель, т. е. наименьшее их число, большее 400 тыс. Примем людей за «кроликов». За «клетки» примем возможные варианты количества волос на голове. Этих вариантов всего 200 000: 0, 1, 2, 3, …, 199 998, 199 999. Разложим 400 001 «кролика»  в 200 000 «клеток»: 400 001 : 200 000 = 2(остаток 1) По принципу Дирихле, найдется «клетка», в которой не меньше, чем три «кролика», т. е. найдется 3 человека с одинаковым числом волос на голове.

28. Расшифруйте ребус:

М:А = Т·Е = М·А = Т + И = К – А,

если известно, что разным буквам соответствуют разные однозначные числа, одинаковым – одинаковые. Сколько решений имеет задача?

Решение.

8:1 = 2·4 = 8·1 = 2 + 6 = 9 – 1;

6:1 = 2·3 = 6·1 = 2 + 4 = 7 – 1.

29. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языков, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Решение.

1)100 – 10 = 90 (чел.) – знали немецкий или французский языки;

2) 90 – 75 = 15 (чел.) – не знали немецкого языка;

3) 90 – 83 = 7 (чел.) – не знали французского языка;

4) 90 – (15 + 7) = 68 (чел.) – знали и французский и немецкий языки.

Ответ: 68 туристов знали и французский и немецкий языки.

30. Как разрезать прямоугольник, длина которого 9 см, а ширина 6 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат? А если длина прямоугольника 16 см, а его ширина 9 см?

Решение.