Ивьевский межшкольный факультатив.Задание 1 дистанционной олимпиады 02-09.11.2013

41. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно? Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи включительно?

42. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке единицу.

 43. Отец имел 4 полные, 10 полупустых и 7 пустых бочек. Может ли он разделить их между тремя сыновьями так, чтобы они получили по одинаковому количеству полных, полупустых и пустых бочек?

44. Из 22 спичек сложите прямоугольник наибольшей площади. Чему равны стороны искомого прямоугольника?

45. Разрежьте фигуру на рисунке по линиям клеток на четыре равные фигуры:

36. Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует взять, чтобы среди них всегда нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?

Решение.

Разобьем множество натуральных чисел на 5 классов: к первому классу отнесем все числа (5, 10, 15,…), которые при делении на 5 дают остаток, равный 0, ко второму классу(6, 11, 16,…) – остаток, равный 1, к третьему классу(7, 12, 17,…) – остаток, равный 2, к четвертому классу (8, 13, 18,…) – остаток, равный 3, к пятому классу (9, 14, 19,…) – остаток, равный 4. Очевидно, что разность двух чисел, принадлежащих к одному классу, делится на 5, а разность двух чисел, принадлежащих к разным классам, на 5 не делится. Если же взять шестое число, то среди них обязательно найдутся два числа, принадлежащие одному и тому же классу, и разность этих чисел делится на 5.

Итак, наименьшее количество натуральных чисел, которое следует взять, равно 6.

Ответ: 6.

37. Девять чисел записаны в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. Складывая числа первой строки, ученик получил сумму 818, числа второй строки дали в сумме, по его подсчетам 819, а третьей строки – 917. Проделав те же вычисления для столбцов, ученик получил суммы 185, 722 и 648. Правильны ли его вычисления?

Решение.

Если бы вычисления ученика были бы правильны, то суммы чисел в столбцах и строках были бы равны. Но 818 + 919 + 917 ≠ 185 + 722 + 648. Значит, ученик ошибся.

Ответ: нет.

38. Можно ли число 45 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 45?

Решение.

Да, можно. Например, 45 = 15 + 3 + 1 + 1 + … + 1 = 15·3·1·1·…·1, где единиц 27.

Ответ: можно.

39. В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число.

Решение.

Выпишем все такие двузначные числа: 12, 24, 36, 48. Найдем сумму каждого из них с числом 36.

12 + 36 = 48, 24 + 36 = 60, 36 + 36 = 72, 48 + 36 = 84.

Условию задачи удовлетворяет только 48.

Ответ: 48.

40. Разделите фигуру на две такие равные фигуры, чтобы из них было можно сложить квадрат:

Решение.

41. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно? Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи включительно?

Решение.

Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно, множителей 5 будет меньше, чем множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 1000 - всего их насчитывается 1000:5 = 200. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 1000, всего их 1000:25 = 40. Три множителя содержат 1000:125 = 8 чисел, а четыре - только одно число 625. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество: 200 + 40 + 8 + 1 = 249.

В случае 100! имеем: 100 : 5+ 100 : 25 = 20 + 4 = 24.

Ответ: 24; 249.

42. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке единицу.

Решение.

Вычисляем сумму: 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + … + 81 + 85 + 89 + 93 + 97 = (13 + 97)·22:2 = 110·22:2 = 1210, так как суммы пар чисел равноотстоящих от концов ряда равны 110, а всех чисел 22 (во втором десятке 2, в третьем – 3, в четвертом – 2, в пятом – 3, в шестом – 2, в седьмом – 3, в восьмом – 2, в девятом – 3, в десятом – 2).

Ответ: 1210.

43. Отец имел 4 полные, 10 полупустых и 7 пустых бочек. Может ли он разделить их между тремя сыновьями так, чтобы они получили по одинаковому количеству полных, полупустых и пустых бочек?

Решение.

Да. Например, каждый сын может получить 1 полную, 4 полупустые и 2 пустые бочки. Для этого, конечно, придется сначала перелить содержимое одной полной бочки по половине в две пустые бочки. Тогда станет полных 3, полупустых 12 и пустых 6 бочек. Теперь уже все бочки делятся на три и требуемый условием задачи раздел бочек возможен.

Ответ: да, может.

44. Из 20 спичек сложите прямоугольник наибольшей площади. Чему равны стороны искомого прямоугольника?

Решение.

На две смежные стороны прямоугольника уйдет 22 : 2 = 11 спичек. Значит, эти стороны могут быть такими: 1 и 10, 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7, 5 и 6, а площади соответствующих прямоугольников – 10, 18, 24, 28, 30. Следовательно, у искомого прямоугольника стороны 5 и 6.

Ответ: 5 и 6.

45. Разрежьте фигуру на рисунке по линиям клеток на четыре равные фигуры:

Решение.