Лето – 2014 с математикой

1а.Сравните дроби 23/99, 2323/9999, 232323/999999. Ответ поясните.

Решение 1. Метод Ильи Макуцевича: если а – b = 0, то а = b.

Имеем: 23/99  –  2323/9999 = 0, 23/99  –  232323/999999 = 0. Следовательно, 23/99 =2323/9999 = 232323/999999.

Решение 2. Метод Анастасии Клебеко: если а/b = 1, то а = b.

Имеем:  23/99  :  2323/9999 = 1,  23/99  :  232323/999999 = 1. Следовательно, 23/99 =2323/9999 = 232323/999999.

Ответ: 23/99 =2323/9999 = 232323/999999.

2а.Тик-так. Через сколько минут после того, как часы показывали 9 часов, минутная стрелка догонит часовую?

Основная идея решения: длину пути, пройденного более быстрым телом (минутной стрелкой) до следующей встречи, определяют двумя способами: 1) как произведение скорости более быстрого тела (минутной стрелки) на время до встречи и 2) как сумму длины окружности и длины пути, пройденного более медленным телом (часовой стрелкой).

Решение. Пусть длина окружности равна 1. Скорость минутной стрелки 1/60 часть окружности в минуту, скорость часовой – 1/(60·12) = 1/720 часть окружности в минуту. Пусть через t мин стрелки совпадут. Тогда (1/60)t = (1/720)t + ¾  и t = 49 и 1/11 (мин).

Ответ: 49 и 1/11 (мин).

3а. Тук-тук.Поезд идет четверть минуты мимо  телеграфного столба и за 50 с проходит мост длиной 700 м. Вычислите среднюю скорость и длину поезда.

Основная идея решения: при прохождении поезда мимо стрелочника (будки стрелочника, столба и т. п.) расстояние принимают равным длине поезда l. Если же поезд проходит мост (тоннель, платформу) длиной а, то расстояние равно а + l, и  время прохождения моста считается от момента вхождения поезда на мост и до выхода с моста его последнего вагона.

Решение. Пусть l – длина поезда. Так как l м поезд проходит за 15 с, (l +700) м – за 50 с, то l/15=(l+700)/50. Откуда l = 300 м. Тогда скорость поезда 300:15 = 20(м/с).

Ответ: 300 м и 20 м/с.

3 б. Гусеница длиной 1 см может двигаться со скоростью 54 см/ч. За какое время она может преодолеть расстояние 1 м 25 см?

Решение. Так как длина гусеницы 1 см и она должна проползти расстояние  длиной 125 см, то всего ей надо проползти  125 + 1 = 126 (см). Известно, что скорость гусеницы 54 см/ч, следовательно, 126 см она проползет  за 126/54 = 63/27 = 7/3 = 2 и 1/3( ч), т. е. за 2 ч 20 мин.

Ответ: за 2 ч 20 мин.