Проект

Здесь ты найдешь  условия и решения вариантов  задач 3-7 "Проекта "Лето - 2014 с математикой".Изучи их и тогда ты сможешь правильно решить любую задачу нашего Проекта. 

4а. Из 10 одна. В стозначном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры на нечетных местах. В полученном пятидесятизначном числе снова вычеркнули все цифры на нечетных местах. Такое вычеркивание продолжалось до тех пор, пока не осталась одна цифра. Какова она?

Решение. 1-й шаг – остается 50 четных цифр: 2468024680… 2-й шаг – остаются цифры 4826048260482604826048260. 3-й шаг – остаются цифры 864208642086. 4-й шаг – 628406. 5-й шаг – 246. 6-й шаг – 4.

Ответ: 4.

5а. Комбинаторика. Сколько имеется всего трехзначных чисел, в запись которых входит один раз цифра 5?

Решение. 1) Если в трехзначных числах первая цифра 5, то вторую и третью цифру можно выбрать девятью способами. Таких чисел 9·9 = 81. 2) Если цифра 5 стоит на втором месте, то первую цифру можно выбрать восемью способами (0 не подходит), а третью – девятью. Таких чисел 8·9 = 72. 3) Если цифра 5 стоит на третьем месте, то первую цифру можно выбрать восемью способами (0 не подходит), а вторую – девятью. Таких чисел тоже 8·9=72.

Имеем: 81 + 72 + 72 = 225 искомых чисел.

Ответ: 225

6а. Чет-нечет. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «-»  так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

 Решение. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 пять нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9. При сложении или вычитании нечетного количества нечетных чисел получается число нечетное. При сложении или вычитании четного и нечетного числа получается число нечетное. Следовательно, и значение всего выражения  в любом случае – число нечетное. Поэтому четное число 0 получить нельзя.

Ответ: нет.

7а.Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая –  половину остатка и еще пол-яйца, а третья –  последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

Решение. 1) половина яиц и еще пол-яйца достались первой покупательнице.

2) половина остатка и еще пол-яйца досталось второй покупательнице.

3) последние 10 яиц достались третьей покупательнице.

Значит, 10 яиц и пол-яйца составляют половину остатка, а весь остаток – это 21 яйцо. Следовательно, 21 яйцо и пол-яйца  - это половина всех яиц крестьянки. Таким образом, крестьянка принесла на рынок 43 яйца.

Ответ: 43.

7 б. Мама дала своим детям конфеты. Дочери - половину всех конфет и ещё одну конфету. Сыну - половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет дала мама детям?   

Решение: Половина остатка, полученного сыном, и последние  пять конфет- это те десять конфет , которые остались у матери после того, как она поделилась с дочерью. Добавим к этим конфетам ещё одну конфету, отданную дочери, получим 11 конфет, которые составляют половину всех конфет, имевшихся первоначально у матери.

Ответ: 22 конфеты.

7в. Кочаны капусты  Дачница принесла на базар кочаны капусты и продала их трем покупательницам. Первая взяла половину всех кочанов и еще полкочана. Вторая купила половину оставшихся кочанов и еще полкочана. Третья покупательница взяла последний кочан. Сколько кочанов капусты вынесла на базар дачница?

Решение.

Когда вторая покупательница взяла половину оставшихся кочанов и еще полкочана, у дачницы остался только один кочан. Значит, полтора кочана составляют половину того количества, которое осталось после первой продажи. Ясно, что полностью это количество равно трем. Если к этому числу прибавить полкочана, то получится половина всех кочанов, которые были у дачницы. Нетрудно теперь догадаться, что она принесла на базар семь кочанов капусты.

Ответ: 7 кочанов капусты.