Задачи 22-26 проекта
Варианты условий задач с решениями
15а. Проверим продавца. Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 3,45 рубля, коробку творога стоимостью 3,6 рубля, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбил чек на 29,6 рубля, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счет неверен?
Решение. Стоимость товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (для товаров первых двух видов кратна трем цена, для остальных - количество купленных товаров). Если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Число 29,6 на 3 не делится; следовательно, расчет неверен.
15 б. Ковбой Джо зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов (в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?
Ответ. 1180 не делится на 3.
16а. Животные и числа Собака — 3, лошадь — 5, свинья — 3, кошка — 3, петух — 8, корова — 2, утка — ?
Решение.
Собака — 3 - гав, лошадь — 5 - игого, свинья — 3 - хрю, кошка — 3 - мяу, петух — 8 - кукареку, корова — 2 - му, утка — ? – кря – 3
Ответ: 3.
17а. В Южной Америке есть круглое озеро, в центре которого каждый год появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и через 30 дней он, наконец, покрывает все озеро, лепестки осыпаются, семена опускаются на дно. А вот через сколько дней площадь цветка составляет половину площади озера?
Решение. Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое. Значит, если через 30 дней покрыто все озеро, то день назад озеро было покрыто наполовину. Поэтому через 29 дней площадь цветка составляет половину площади озера.
Ответ: через 29 дней.
18а. Пете не хватает на мороженое 19-ти копеек, а Васе — одной. Если они сложат свои деньги вместе, то на мороженое все равно не хватит. Сколько копеек стоит мороженое?
Решение 1. Если бы у Пети была хотя бы 1 копейка, то вместе с Васей им бы хватило денег на морженое. Следовательно, у Пети денег нет. Значит, сколько Пете на мороженое не хватает, столько стоит мороженое.
Ответ: мороженное стоит 19 копеек.
Решение 2. Пусть цена мороженого х, тогда у Пети х-19 копеек, а у Васи х-1.
По условию х-19 + х-1 < x, x < 20.
С другой стороны, x-19>=0 и х-1>=0,т. е. x>=19
Итак, 19=
Ответ: мороженное стоит 19 копеек.
19а. Улитка за 6 минут залезает с постоянной скоростью вверх по столбику на 30 см, а следующие 4 минуты она отдыхает и сползает под собственной тяжестью на 15 см. Высота столбика 1 метр, а наверху лежит конфета. Через сколько минут улитка её достанет?
Решение. Через 6 мин улитка будет на высоте 30 см, через 10мин - 15 см, через 16 мин - 45 мин, через 20 мин - 30 см, через 26 мин - 60 см, через 30 мин-45 см, через 36 мин - 75 см, через 40 мин - 60 см, через 46 - 90 см, через 50 мин - 75 см, через 55 мин - 100см.
Ответ: через 55 мин.
20а. Среди трех одинаковых по размеру монет одна фальшивая (легче остальных, равных по массе). Какое наименьшее количество взвешиваний на весах без гирь необходимо для того, чтобы выявить фальшивую монету?
Решение. Для того, чтобы выявить фальшивую монету, достаточно одного взвешивания. Обозначим монеты: А, В и С. Если поместить монеты А и В на чашки весов, то возможны три случая:
если монета А окажется легче монеты В, то она и является фальшивой;
если монета В окажется легче монеты А, то она и является фальшивой;
если весы будут находится в равновесии, то фальшивой является отложенная нами монета С.
Нам удалось обойтись одним взвешиванием благодаря тому, что мы знали, легче фальшивая монета настоящей или тяжелее.
21а. Количество цифр. Вася написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал Вася?
Решение.
Первые девять однозначных чисел написаны девятью цифрами. Двузначные числа от 10 до 99 требуют по две цифры. А так как этих чисел 99 - 9 = 90, то на их написание ушло 180 цифр. На трехзначные числа (а их 999 - 99 = 900) ушло 3 х 900 = 2700 цифр. И на число 1000 потрачено четыре цифры. Общее число написанных Васей цифр равно: 9 + 2 · 90 + 3 · 900 + 4 = 2893 цифры.
Ответ: 2893.
21 б. Сколько страниц? При издании книги потребовалось 2775 цифр, для того чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в книге?
Решение. Из первых девяти страниц каждая нумеруется одной цифрой. Нумерация следующих 90 страниц требует 180 цифр, по две цифры на каждую страницу. Чтобы пронумеровать дальше 900 страниц, надо 2700 цифр. Значит, если бы книга содержала 999 страниц, то для ее нумерации потребовалось бы 2889 цифр (9 + 180 + 2700). На самом деле употребили 2775 цифр. Отсюда можно сделать вывод, что в книге больше 100 страниц, но меньше 999. Вычтя из 2775 то количество цифр, которое потребовалось для нумерации первых 99 страниц, то есть 189, получим 2586. Такое число цифр оказалось необходимым, чтобы пронумеровать страницы книги, начиная от 100. Разделив 2586 на 3, узнаем, что таких страниц было 862. Значит, книга содержит (862 + 99) =961 страницу.
Ответ: 961 страница.
22а. Сколько нужно провести матчей по олимпийской системе (проигравший вылетает), чтобы из 30 футбольных команд определить победителя?
Решение 1. В первом круге будет сыграно 15 матчей, во втором - 7(одна команда не играет), в третьем - 4, в четвертом - 2, в финале 1. Всего 29 игр.
Решение 2. В каждом матче проигравший "вылетает". Должно "вылететь" 29 команд, значит нужно 29 матчей.
Ответ: 29 матчей.
24а. Сто учеников, у каждого из которых на майке был номер, встали по окружности в такой последовательности своих номеров: 1, 2, 3, 4,…, 100. По команде стали выходить так: с номером 1 на майке остается, с номером 2 выходит, с номером 3 остается, с номером 4 выходит и т. д. через одного по окружности до тех пор, пока не останется один ученик. Какой номер на майке у этого ученика?
Решение. После выхода пятидесяти учеников нетрудно себе представить, с какими номерами ученики остались:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.
Так как во второй раз выходят 25 учеников, то можно установить, то можно установить, в какой последовательности располагаются оставшиеся номера:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97.
Дальше выйдут 12 учеников и останутся номера: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97.
После этого остаются номера: 9, 25, 41, 57, 73, 89.
Далее остаются: 9, 41, 73.
После этого: 9 и73. Последним остается номер 73.
Ответ: 73.
25 а. Рассмотрим пять равенств, сложенных из спичек: IV – I + V = II, X = I – IX, IV – V = I, X + X = I и XXV + XXV = I. Все эти равенства — неверные. Переложите в каждом из них по одной спичке, чтобы все они стали верными.
Решение. IV = I + V – II, X – I = IX, VI – V = I, XI – X = I и XXVI – XXV = I.
25 б. Из спичек сложили неверное равенство XVI + II = XV. Переложите в этом равенстве одну спичку так, чтобы получить верное равенство.
Решение. XVII – II = XV.
26 а. Решите ребус ААн = АННА.
Ответ: 113 = 1331