Задачи 32-44 проекта
Условия варианта задач с их решениями
33а. Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда идут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Решение. В момент встречи они будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона. Более того, и от Нью-Йорка тоже!
Ответ: оба поезда будут на одинаковом расстоянии от Бостона.
33б. Из Москвы в Петербург, расстояние между которыми приблизительно равно 650 км, вышел поезд со скоростью 70 км/час. В то же время из Петербурга в Москву вышел поезд со скоростью 120 км/час. Какой из этих поездов будет находиться ближе к Москве, когда они встретятся?
Решение. Может показаться, что эту задачу надо каким-либо образом решать, причем математическим путем, делая какие-либо расчеты или составляя уравнение. Ее условие рассчитано на то, чтобы ввести человека как раз в такое заблуждение. На самом же деле в полном смысле слова решать в этой задаче ничего не надо. Ведь когда поезда встретятся (здесь надо обратить внимание именно на слово «встретятся»), расстояние от каждого из них до Москвы будет одинаковым, как и до Петербурга, т.е. ближе к Москве в момент встречи не будет находиться ни один из указанных поездов.
Ответ: ни один из указанных поездов.
34а. Каждую минуту от бревна длины 6 аршин отпиливают 1 аршин. За сколько минут распилят все бревно?
Решение. Бревно в 2 аршина распиливается 1 разрезом за 1 мин, бревно в 3 аршина – 2 разрезами за 2 мин, бревно в 4 аршина – 3 разрезами за 3 мин, бревно в 5 аршин – 4 разрезами за 4 мин, бревно в 6 аршин – 5 разрезами за 5 мин. Последний кусок разрезать не надо.
Ответ: за 5 мин.
34б. Сколько распилов надо сделать, чтобы распилить 60 трехметровых бревен на полуметровые поленья?
Решение. Одно трехметровое бревно распиливается на полуметровые поленья 5 распилами, а 60 таких же бревен – 60·5 = 300 распилами.
Ответ: 300 распилов.
35а. В шестиэтажном доме (не считая цокольного этажа) с этажа на этаж идут лестницы одинаковой длины. Во сколько раз подъем с первого этажа на шестой длиннее, чем подъем с первого этажа на третий?
Решение. Лестниц от первого этажа до третьего 2, а от первого этажа до шестого - 5. Значит, подъем с 1-го этажа на 6-й длиннее, чем подъем с 1-го этажа на 3-й в 5:2 = 2,5 раза. Ответ: в два с половиной раза.
36а. Сколько концов у трех спичек? У семи спичек? У пяти с половиной спичек?
Решение. У одной спички имеется 2 конца, у трех – 6, у семи – 14, у пяти с половиной – 12.
Ответ: 6, 14, 12.
37 а. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.
Решение. Число делится на 72, если оно делится на 9 и на 8 одновременно. На 8 делятся те числа, три последние цифры которых составляют трехзначное число, которое делится на 8. При делении 100 на 8 получаем остаток 4. Значит, искомое число делится на 8, если справа оно оканчивается 4. На 9 делятся те числа, сумма цифр которого делится на 9. Искомое число будет делиться на 9, если первая его цифра 4.
Ответ: 4104.
38а. Маша собирается съесть яблоко, сливу и мандарин, но пока не решила, в какой последовательности. Сколькими способами Маша может выбрать эту последовательность?
Решение. Обозначаем буквами: Я – яблоко, С – слива, М – мандарин. Тогда, например, СМЯ – это вариант, когда Маша съест сливу, потом – мандарин, потом – яблоко. Выпишем варианты в алфавитном порядке: МСЯ, МЯС, СМЯ, СЯМ, ЯМС, ЯСМ. Получилось 6 вариантов.
Ответ: 6-ю способами.
39а. С помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 запишите самое большое и самое малое шестизначные числа, если каждую цифру можно использовать произвольное число раз (даже ни одного).
Решение. Чтобы шестизначное число было наибольшим, надо чтобы в его разрядах стояли наибольшие цифры. Поэтому наибольшим будет 888 888. Аналогично, наименьшим будет 200 000.
Ответ: 888 888, 200 000.
40а. Семь рыбаков съедят 7 осетров за 7 дней. За сколько дней 100 рыбаков съедят 100 осетров?
Решение. Каждый из 7 рыбаков съест по 1 осетру за 7 дней. Каждому из 100 рыбаков тоже достанется по одному осетру. Значит, 100 рыбаков съедят 100 осетров тоже за 7 дней.
Ответ: за 7 дней.
41а. Рассказывают, что черепаха Тортилла отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказывал А.Н.Толстой, а вынесла три коробочки: красную, синюю и зеленую. На красной коробочке было написано «Здесь золотой ключик», на синей — «Зеленая коробочка пуста», а на зеленой — «Здесь сидит гадюка». Тортилла прочла надписи и сказала: «Действительно, в одной из коробок лежит золотой ключик, в другой — гадюка, а третья пуста, но все надписи неверны». Где лежит золотой ключик?
Решение.
Ключик находится в зеленой коробочке. Действительно, из надписи на синей коробочке следует, что в ней что- то лежит, а из надписи на самой зеленой коробочке следует, что в ней лежит не гадюка. А так как, по словам Тортиллы, лежать в коробочке может лишь гадюка или золотой ключик, то там находится золотой ключик.
Ответ: в зеленой.
41б. На всех трех железных банках с печеньем перепутаны этикетки: «Овсяное печенье», «Песочное печенье» и «Шоколадное печенье». Банки закрыты, и вы можете взять только одно печенье из одной (любой) банки, а потом правильно расположить этикетки. Как это сделать?
Решение.
Надо взять печенье из банки с надписью «Овсяное печенье» (можно и из любой другой). Так как банка надписана неправильно, то это будет песочное печенье или шоколадное. Допустим, вы достали песочное. После этого надо поменять местами этикетки «Овсяное печенье» и «Песочное печенье». А поскольку по условию все этикетки перепутаны, то теперь в банке с надписью «Шоколадное печенье» находится овсяное, а в банке с надписью «Овсяное печенье» находится шоколадное, значит, надо поменять местами и эти две этикетки.
42а. Какое наибольшее число точек пересечения у десяти прямых?
Решение 1. Каждая прямая из 10 имеет пересечение с девятью другими, Кроме того, надо учесть, что каждая точка пересечения принадлежит двум прямым, т. е. считается дважды. Поэтому искомое число равно 9·10/2= 45.
Решение 2. Пересечение двух прямых дает 1 точку, наибольшее число пересечений 3-х прямых: 1+ 2=3, 4-х: 1+ 2 +3 = 6, 5-ти: 1+ 2+ 3+4=10,..., 10-ти: 1 +2+ 3+ 4+ 5+ 6 +7 +8+ 9=45.
Ответ: 45.
43а. В двух кучках лежат по 100 конфет. За ход можно взять любое количество конфет из одной кучки. Выигрывает взявший последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре: первый игрок или второй?
Решение. Какой бы ход ни сделал первый игрок, у второго есть возможность взять то же число конфет из другой кучки. Следовательно, и последний ход будет у второго: он возьмет последнюю конфету.
Ответ: второй игрок.
44а. Кот в Сапогах поймал четырех щук и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах, если верен только один из ответов: а) 4, б) 6, в) 8, г) 10?
Решение. По условию задачи весь улов разделен на две части, одна из которых - это 4 щуки, вторая часть равна половине улова. Значит, первая часть - это тоже половина улова, а так как она равна 4, то весь улов равен 8 щукам.
Ответ: 8 щук