Задачи 53 - 59 проекта

Условия и решения вариантов задач

53а. По какому правилу составлена следующая последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, …?

Решение. Способ составления последовательности следующий: первые два члена равны 1, каждый следующий равен сумме двух предыдущих.

54 а. В определенном месяце было 5 воскресений. Только на одно из них приходилась дата, которая выражалась однозначным числом. Какая дата была в третий вторник этого месяца?

Решение. Если первое воскресенье будет 1-го или 2-го числа, то будет 2 воскресенья дата, которых выражается однозначным числом (противоречие с условием). А если первое воскресенье будет 4-го числа, то будет 32 дня в месяце. Не подходят и однозначные числа, большие 4. Только в воскресенье 3-го числа дата выражается однозначным числом и  в месяце 5 воскресений (последнее приходится на 31-е число). Тогда дата третьего вторника – число19.

Ответ: дата третьего вторника - число 19.

55а. В олимпиаде по математике участвовало пять школьников: Андрей, Борис, Владимир, Петр и Сергей. Олимпиада включала пять заданий. Каждый из участников решил различное число задач (количество задач, решенных каждым из участников – число целое). После подведения итогов каждый участник сделал два утверждения.

Андрей: “Я решил одну задачу. Я занял пятое место.”

Борис: “Я решил две задачи. Я занял четвертое место.”

Владимир: “Я решил три задачи. Я занял третье место.”

Петр: “Я решил четыре задачи. Я занял второе место.”

Сергей: “Я решил пять задач. Я занял первое место.”

У каждого участника одно из сделанных утверждений истинно, а одно ложно. Какое место занял каждый из участников, если места определялись по количеству решенных задач (больше решенных задач – выше место)?

Решение. 1. Одно из утверждений сделанных Сергеем истинно, а другое ложно. Если истинно: “Я решил пять задач”, то второе утверждение также истинно, что не соответствует условию задачи. Значит у Сергея истинно утверждение: “Я занял первое место”. Первое место Сергей мог занять только с пятью или четырьмя решенными задачами. Однако утверждение “Я решил пять задач” ложно. Следовательно, Сергей решил четыре задачи.

2. По первому пункту решения утверждение Петра: “Я решил четыре задачи” – ложно. Следовательно, истинно утверждение: “Я занял второе место”. Петр с тремя решенными задачами занял второе место.

3. Рассуждения для Владимира, Бориса и Алексея аналогичны. У Владимира третье место с двумя решенными задачами, у Бориса четвертое место с одной решенной задачей, Андрей – пятый, ему не удалось решить ни одной задачи (ноль решенных задач).

Ответ: Сергей – первое место (4 задачи), Петр – второе место(3 задачи), Владимир – третье место (2 задачи), Борис – четвертое место (1 задача), Андрей – пятое место (0 задач).

56а. В корзине яблоки трех сортов. Какое наименьшее число яблок необходимо взять из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них было, по крайней мере,  два яблока одного сорта?

Решение. Яблок 3 сорта. Если возьмем 3 яблока, то может оказаться по одному каждого из трех сортов. Если возьмем четвертое яблоко, то оно окажется одного сорта с одним из 3 предыдущих яблок. Нужно взять 4 яблока. Тогда в любом случае будут 2 яблока одного сорта.

Ответ:нужно взять 4 яблока.

57а. Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился;

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение 1.Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х

х=84

Решение 2.Способ подбора Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.

НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84.

Ответ: 84 года.