Задачи 176 - 185 проекта

Условия и решения вариантов задач 176 - 185.

176а. Плитка шоколада представляет собой прямоугольник, который состоит из 9 вертикальных и 6 горизонтальных рядов квадратных долек. Плитка разламывается по углублениям, которые разделяют дольки, до тех пор, пока не получатся 54 дольки. Сколько раз придется ломать плитку шоколада?

Решение. После первого разлома получаем 2 плитки, а при последующих разломах добавляется по одной части плитки. Таким образом, когда мы разломаем плитку 53-й раз, получится 54 дольки.

Ответ: 53 раза.

179а. В шахматном турнире, проводившемся в один круг, было сыграно всего 190 партий. Сколько было участников?

Решение. Пусть было всего n участников, значит, каждый сыграл n – 1 партию. Тогда всего было сыграно (n – 1)·n/2 партий. Здесь деление на 2 производится потому, что в противном случае каждая партия будет посчитана дважды – как партия между n-м и (n – 1)-м участниками и наоборот. Таким образом,  (n – 1)·n/2 = 190, т. е. (n – 1)·n=2·190 = 19·20. Отсюда n =20. Ответ: 20

181а. На какие цифры оканчиваются числа 1992¹⁹⁸⁹ и 1992¹⁹⁹²?

Решение. Поскольку нас интересуют только последние цифры результатов, достаточно определить последние цифры чисел 2¹⁹⁸⁹ и 2¹⁹⁹². Число 2 при возведении в степень (2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …) может давать следующие последние цифры: 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении на 4 дает остаток 1 – последняя цифра 2; если остаток 2 – последняя цифра 4; если остаток 3 – последняя цифра 8; если остаток 0 – последняя цифра 6. Следовательно, 2¹⁹⁸⁹ имеет последнюю цифру 2, а 2¹⁹⁹² – цифру 6.

Ответ: на 2 и на 6.

183а. На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?

Решение. Десять разрезов — это 20 радиусов, которые делят круглый торт на 20 секторов, т. е. на 20 кусков.

Ответ: 20 кусков.