Задачи 276 - 285 проекта

Условия и решения вариантов задач

281а. Какая монета тяжелее? Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определите, легче она или тяжелее?

Решение. Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной. При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет. В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе. Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет. Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то, заменив монеты на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие), мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется), либо тяжелее (если весы уравновесятся).

284а. Возьмем любое трехзначное число, например, 475. Сколько еще можно получить чисел путем перестановки цифр этого числа? Добавим четвертую цифру: 4753. Сколько теперь будет перестановок?

Решение. Рассмотрим трехзначное число 473. Имеем следующие перестановки: 475, 457, 745, 754, 547, 574. Всего 6 перестановок. А теперь рассмотрим четырехзначное число 4753. Если каждую цифру поставить на первое место, то три другие дадут шесть перестановок, значит, так как у нас всего четыре цифры, то всего получится 4·6 = 24 перестановки. То есть, когда взяли три цифры, число перестановок  равно 1·2·3 = 6. Когда же взяли 4 цифры, то число перестановок равно 1·2·3·4 = 24. Заметим, что если рассматривать пятизначное число, то число перестановок равно 1·2·3·4·5 = 120. Аналогично проводится подсчет числа перестановок и в случае шестизначного числа, семизначного числа, … Выписывать все получаемые перестановки при таком  подсчете их числа уже не представляется необходимым.

Ответ: 1·2·3 = 6 и 1·2·3·4 = 24.