Задачи 326 - 335 проекта

Условия и решения вариантов задач

329а. Вычислите сумму:

1/(1·2)+1/(2·3)+1/(3·4)+…+1/(97·98)+1/(98·99)+1/(99·100) +1/(100·101).

Решение. Обратим внимание на закономерность:  1/(n·(n+1)) = 1/n – 1/(n+1). Представим каждое слагаемое данной суммы в виде таких разностей. Тогда в полученной сумме взаимно уничтожаются все члены, кроме самого первого и самого последнего. После чего имеем: 1 – 1/101 = 100/101.

Ответ: 100/101.

332а. Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 30 до 80 включительно?

Решение. Разложим данное произведение на простые множители, каждый 0 образуется при умножении 2·5. Поскольку двоек значительно больше, чем пятерок, то количество нулей будет равно количеству пятерок. Поэтому считаем количество пятерок. Их 13.

Ответ: 13.

332б. Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Решение. Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 1000 - всего их насчитывается 1000:5 = 200. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 1000, всего их 1000:25 = 40. Три множителя содержат 1000:125 = 8 чисел, а четыре - только одно число 625. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество: 200+40+8+1 = 249. Ответ: число заканчивается 249 нулями.