Задачи 406 - 415 проекта

Условия и решения вариантов задач

411а. Можно ли разделить поровну 5 одинаковых пирожных между 6 детьми так, чтобы каждое пирожное делить не более чем на 3 части?

Решение. 2 пирожных из 5 надо поделить каждое на 3 части и будет 6 частей по 1/3 каждая, потом оставшиеся 3 поделить каждое на 2 части и будет 6 частей по1/2 каждая. Значит, каждый ребенок получит 1/3 +1/2 = 5/6.

Ответ:можно.

415а. а) На столе стоят 8 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые 7 стаканов. Можно ли добиться, чтобы все стаканы стояли правильно?

б) Та же задача, но всего стаканов 2012, а переворачивать разрешается 2011?

в) Та же задача, но всего стаканов 2013, а переворачивать разрешается 2012?

Решение. а) Итак на столе стоят вверх дном 8 стаканов (неправильно). Будем переворачивать стаканы следующим образом: на первом шагу перевернем все стаканы, кроме первого; на втором шагу − все стаканы, кроме второго; на третьем шагу − все стаканы, кроме третьего; и т.д.; на восьмом шагу − все стаканы, кроме восьмого. Заметим, что шагов (переворачиваний) − 8, но

каждый стакан переворачивался ровно 7 раз, т.е. в конце все стаканы станут правильно.

б) Аналогично решению пункта а), только теперь понадобится 2012 переворачиваний.

в) Срабатывает идея четности: всегда переворачивается четное число стаканов (а именно 2012). Следует заметить, что неправильно стоящих стаканов (т.е. вверх дном) всегда будет нечетное число.

Ответ: а) Да; б) Да; в) Нет.