Задачи 456 - 465 проекта

Условия и решения вариантов задач

457а. Найдите наименьшее двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Ответ: 18.

458а. К числу 15 припишите по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 1155.

462а. Выберем любым образом 5 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.

Решение. Будем считать, что знакомство - "симметричное" отношение между людьми: если Комаров знаком с Жуковым, то и Жуков знаком с Комаровым.

При решении задач "на доказательство" часто бывает полезен так называемый "принцип Дирихле". В самой простой форме он выглядит так: «нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев».

При решении таких задач  выбирают каждый раз подходящих "зайцев" и строят соответствующие "клетки".

Построим 5 «клеток» 0, 1, 2, 3, 4. Пусть номер «клетки» равняется числу знакомых у «содержащихся» в ней людей. Возможны два случая: есть человек, ни с кем из остальных незнакомый, или же такого человека нет. В первом случае в «клетке» 4 никого нет (иначе «сидящие» в 4 и в 0 были бы знакомы между собой) и 5 человек размещены по 4 «клеткам». Во втором случае они тоже так рассажены (так как «клетка» 0 пуста). По принципу Дирихле по крайней мере два находятся в одной клетке.