Задачи 466 - 475 проекта

Условия и решения вариантов задач

469а. В классе 30 человек. В диктанте Саша Иванов сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 9 ошибок).

Решение. При решении задач "на доказательство" часто бывает полезен так называемый "принцип Дирихле". В самой простой форме он выглядит так : «нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев».

При решении таких задач  выбирают каждый раз подходящих "зайцев" и строят соответствующие "клетки".

В данной задаче пусть  "зайцы" - ученики, "клетки" - число сделанных ошибок. В клетку 0 "посадим" всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 - тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 - две, ... и так до клетки 13, куда попал один Саша Иванов. Теперь применим принцип Дирихле (обратите внимание - это очень важное место).

Докажем утверждение задачи от противного.

Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0, 1,..., 12 попало меньше трех школьников.

Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек.

Добавив Сашу Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Следовательно, предположение неверно. Поскольку были только две возможности (сделали или не сделали), то остается одно – сделали, что и требовалось доказать.

Замечания. Можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, что все ребята, кроме Саши, написали диктант без единой ошибки, то есть, все сделали по 0 ошибок.

Можно ли считать, что по крайней мере четверо попали в одну "клетку" ? Нет, нельзя. Класс, в котором по 3 человека сделали 0, 1, 2 ошибки, по 2 человека - 3, 4, ..., 12 ошибок и один - 13, удовлетворяет условию задачи.