Задачи 576 - 585 проекта

Условия и решения вариантов задач

585а. Двое играют в такую игру. Каждый из них по очереди берет из кучи от 1 до 4 камешков. Выигравшим считается тот (при безошибочной игре обоих), кто сделает последним ход. Пусть в куче имеется 108 камешков. В этом случае выигрывающему игроку достаточно после каждого своего очередного хода, начиная с первого, брать всякий раз камешки таким образом, чтобы при этом  у него последним по счету из забираемых камешков был тот,  номер которого делится на некоторое число с одним и тем же остатком.  С  каким?

Решение.  Наименьшее число камешков, которое не может взять за один раз ни один из игроков, равно 5. Разделив общее количество камешков в куче на 5, получим 108 : 5 = 21 ∙ 5 + 3. Остаток равен 3. Значит, чтобы выиграть, достаточно иметь возможность при каждом своем очередном ходе, начиная с первого, брать камешки таким образом, чтобы при этом последними по счету из забираемых камешков были те, номера которых соответствуют числам  3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, …, 93, 98, 103, 108. Забирая первым своим ходом 3 камешка, первый игрок в дальнейшем имеет возможность соблюдать указанную тактику. Поэтому он, конечно же, и выигрывает в этой игре.

Ответ: 3.