Задачи 916 - 925 проекта

Условия и решения вариантов задач

916а. Когда у Васи спросили, сколько ему лет, он сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше брата Алеши». А его родная сестра Аня сказала, что она вдвое моложе папы, зато вдвое старше своей сестры Кати. Известно, что папе не больше 60 лет. А сколько ему лет?

Решение. Из высказывания Васи следует, что возраст папы делится на 9, а из высказываний Ани следует, что он делится на 4. Следовательно, он делится на 36. Единственное число, которое меньше 60 и делится на 36, это само число 36. Ответ: 36 лет.

918а. В школе прошел забег с участием 10 спортсменов. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 10. При этом один соврал, а остальные сказали правду. Сумма их ответов оказалась равна 47. Какое место занял совравший спортсмен и что именно он сказал? Приведите все примеры и докажите, что других нет.

Решение. Если бы никто не врал, то в сумме получилось бы число 1+2+3+4+5+…+10 = 55. А получилось число, которое на 8 меньше, то есть один назвал номер места, на 8 выше. Это могли сделать только спортсмены, занявшие 9 или 10 места, назвав первое или второе место соответственно.

Ответ: спортсмен, занявший 10 место, сказал, что занял второе, или спортсмен, занявший 9 место, сказал, что занял первое.