Задачи 1206 - 1215 проекта

Условия и решения вариантов задач

1207а. Семерых кроликов посадили в три клетки. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось хотя бы три кролика.

Решение.Предположим, что это не так, то есть что в каждой клетке оказалось не больше двух кроликов. Тогда всего кроликов могло быть не больше 3·2=6. Но по условию задачи их было 7. Полученное противоречие показывает, что наше предположение было неверным. Стало быть, на самом деле найдется клетка, в которой оказалось хотя бы три кролика.

1208а. Заполните табличку:

От чего зависит последняя сумма?

Решение. Сначала заполним первые два столбца таблицы. Это не представляет особых трудностей. Для чисел от 0 до 9 соответствующие правила легко проверяются. Дальше можно воспользоваться признаком делимости на 2: число делится на 2 тогда и только когда, когда его последняя цифра делится на 2. Последняя цифра суммы двух чисел равна последней цифре суммы их последних цифр. То же самое относится и к произведению (вспомните правила сложения и умножения чисел в столбик!). Поэтому достаточно проверить правила сложения и умножения для чисел, не превосходящих 9.

Из правил, перечисленных во втором столбце таблицы, следует, что:

• Если в произведении двух или более чисел хотя бы один из множителей четный, то все произведение четно.
• В противном случае (когда в произведении все множители нечетны) произведение нечетно.

Это позволяет заполнить две верхние ячейки в последнем столбце таблицы.

Наконец, заполним последнюю ячейку таблицы. Стоящая там сумма зависит от четности количества слагаемых. Если это количество четно, все слагаемые можно разбить на пары: (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н). Согласно правилу из первого столбца таблицы, Н + Н = Ч. Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) = Ч + Ч + ... + Ч. А сумма любого количества четных слагаемых четна (это тоже следует из правила, записанного в первом столбце таблицы). Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) = Ч + Ч + ... + Ч = Ч. Если же количество слагаемых в сумме нечетно, то при попытке разбить их на пары одно окажется «лишним»: (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) + Н. Из предыдущих рассуждений следует, что эта сумма равна Ч + Ч + ... + Ч + Н = Ч + Н = Н (здесь мы снова воспользовались правилами из первого столбца таблицы).

1209а. Гриша и Дима играют в другую игру. Каждый из них в тайне от другого пишет число на листе бумаги. Потом они показывают друг другу написанные числа. Если их произведение нечётное, то выиграет Гриша, а если чётное — то Дима. Может ли кто-то из них всегда выигрывать, независимо от действий своего соперника?

Решение. Независимо от придуманного Гришей числа, Дима всегда может написать четное число. Тогда произведение числа, написанного Гришей, и четного числа, написанного Димой, будет обязательно четным.

Ответ: выигрывать может Дима.