Задачи 1906 - 1915 пректа

Условия и решения вариантов задач

1909а. Чему равен угол, если известно, что он в пять раз меньше угла, с ним смежного?

Решение. Если искомый угол равен х, то смежный с ним равен 5х. По свойству смежных углов х+5х = 180. Отсюда х = 30.

Ответ:30°.

1910а. Сколько всего диагоналей имеет 2014-угольник?

Решение. Чтобы найти число диагоналей 2014-угольника можно рассуждать следующим образом. Из каждой вершины выходит 2014 – 3 = 2011 диагоналей. Число вершин 2014. В произведении 2011·2014 каждая диагональ подсчитана дважды. Значит, число диагоналей равно 2011·1007 = 2025077.

Ответ:2025077.

1913а. На плоскости изображен угол в 19°. Постройте угол в 18°.

Решение. Имея угол в 19°, мы можем строить любой угол величиной n·19°, где n – целое число. Но 19·19°=361°=360°+1°. Таким образом, последовательно откладывая 19 раз угол в 19°,  построим угол в 361°. Вычтем из него полный угол в 360°. Останется угол в 1°. Но в 19-тый раз был отложен угол в 19°. Вычитая из него 1°, получаем 18°.