Задачи 2708-2713 проекта (7 класс, час олимпийца 17.11.2015)

Варианты задач с решениями

2709а. Какую цифру надо поставить вместо "звездочки" в числе 10 002 003 04*, чтобы оно разделилось нацело на 7?

Решение.

    По общему признаку делимости на 7, 11 и 13 разбиваем данное число на тройки цифр справа налево:

10 002 003 04* (здесь тройки цифр, стоящие на нечетных местах выделены жирным шрифтом). Далее складываем числа, образуемые тройками цифр, стоящих в данном числе на нечетных местах, и вычитаем из этой суммы сумму чисел, составленных из троек цифр, стоящих на четных местах ("звездочку" заменим буквой х). Получим (40+х+2) - (3+10) = 42+х - 13 = 29+х. Осталось подобрать в выражении 29+х значение цифры х такое, при котором значение выражения 29 +х делилось бы на 7.

Ответ: 6.

2712а. Какой цифрой надо заменить "звездочку" в числе 1 020 304 *50 607, чтобы оно делилось на 7? А на 11? А на 13? 

Решение. По общему признаку делимости на 7, 11 и 13 разбиваем данное число на тройки цифр справа налево:

1 020 304 *50 607. Далее имеем("звездочку" заменяем буквой х):

(607 + 304+1) - (100х +50 + 20) = 912 - 70 - 100х = 842 - 100х.

При х = 1 получаем: 742 делится на 7;

при х = 4 получаем: 442 делится на 13;

при х = 6 получаем: 242 делится на 11.

Ответ: 1; 6; 4.