Задачи 2714 - 2720 проекта (7 - 8 класс, межшкольный факультатив 21.11.2015)

Варианты задач с решениями.

2715а.Считается, что ученик А учится лучше ученика В, если в большинстве контрольных работ оценка у ученика А выше, чем у ученика В. В классе провели несколько работ (больше двух). Может ли по их результатам оказаться, что ученик А учится лучше, чем ученик В, ученик В – лучше, чем ученик С, а ученик С – лучше, чем А?  Приведите соответствующий пример для пяти контрольных работ.

Решение.Вот пример 5 контрольных работ, когда такое (как в условии) возможно: ученик А получает 55422, В соответственно получает 44355, С - 22533(у всех первая оценка за первую контрольную, вторая - за вторую и т. д.).

2719а.Можно ли натуральные числа от 1 до 21 включительно разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме всех остальных?

Решение. Сумма чисел от 1 до 21 равна (21+1)/2*21=231 - число нечетное, поэтому требуемое разбиение сделать нельзя, так как каждая группа содержит несколько чисел и их сумму, следовательно, сумма всех чисел в каждой группе - число четное.