Задачи 2762-2769 проекта (7-8 классы, межшкольный факультатив 05.12.2015)
Варианты задач с решениями
2763a. Волшебник оставил крокодилу Гене в подарок на день рождения 500 порций эскимо. За минуту Гена съедает пять порций, а Чебурашка — одну. Однако добрый Гена решил, что съест лишь в три раза больше мороженого, чем Чебурашка. Через сколько минут после того, как Гена закончит есть свою долю мороженого Чебурашка доест все до конца?
Решение
3х+х=4; 500:4 =125 порций съест Чебурашка, 375 - Гена
375:5=75 мин ест Гена, 125 мин Чебурашка; 125-75 = 50
Ответ: 50.
2764а. В классе 25 человек. Известно, что у любых двух девочек количество друзей-мальчиков не совпадает. Чему равно максимальное возможное число девочек в этом классе?
Решение. Пусть девочек 13. Следовательно, мальчиков 12. Каждая девочка из 13 имеет в точности 13 вариантов дружб с мальчиками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Такое количество девочек и мальчиков может быть! Почему не может быть девочек больше 13?
Допустим, девочек 14, тогда мальчиков 11. Но тогда вариантов друзей должно быть 14. С другой стороны мальчиков меньше или равно 11, то вариантов дружб не более 12. Противоречие. Значит, так быть не может
Ответ: 13.
2766a. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором четырехугольник ABCD — квадрат, а треугольник ADE — правильный. Найдите величину угла EBC (в градусах).
Ответ: 75.
2667а. Сколько существует различных натуральных чисел N, таких что остаток от деления числа 2015 на N равен 215?
Решение. 2015 = Nb+215, Nb = 1800, N = 1800, 900, 600, 450, 360, 300, 225
Ответ: 7.