Задачи 2984-2986 проекта "Матема"

2984.При каких значениях параметра mm уравнение 2x−3=m(x/3+4)−1 не имеет корней?

(8m^2−8)/(m^3−1) : (4m+4)/(m^2+m+1)=2.

(m+2)/(1−m)−2=3m/(1−m).

3m/(1−m):m=3/(1−m).

3/(1−m)+(2+m)/(m−1)=1.

Ответ: 1.

2985.

1−18/x+72/x^2⩾0.

При x≠0, решаем неравенство x^2−18x+72⩾0.

Ответ: (−∞;0)∪(0;6]∪[12;∞)(−∞;0)∪(0;6]∪[12;∞).

2986.Пусть третий сплав содержит xx частей первого и yy частей второго сплава, т.е. на x кг первого сплава приходится y кг второго сплава. Тогда в (x+y) кг третьего сплава содержится (1/3)x+(3/7)y кг первого металла и (2/3)x+(4/7)y кг второго металла.

По условию (( 1/3)x+(3/7)y):((2/3)x+(4/7)y)=15/22.

Разделив числитель и знаменатель на y, получим:

(1/3⋅x/y+3/7):(2/3⋅x/y+4/7)=15/22, откуда x/y=9/28.

Ответ: 9:28

2987.При каких значениях параметра mm уравнение 2x−3=m(x/3+4)−1 не имеет корней?

(2−m/3)x=4m+2.

При 2−m/3=0, т.е. m=6 уравнение примет вид: 0⋅x=26(ложно); нет решения.

Ответ: при m=6 уравнение не имеет решений.

2988.Первое число. Пусть в нем x - число десятков, y - число единиц.

Тогда 10x+y=x^2+y^2−xy.

Второе число на 11 больше первого, поэтому

10(x+1)+(y+1)=(x+1^)2+(y+1)^2−(x+1)(y+1).

Вычитая из второго равенства первое, получим x+y=10.

Условию задачи удовлетворяют только x=3 и y=7. Первое число 37, второе 48.

Ответ: 48.

2989.Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 9 дм и 5 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько граммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка AB равна 3 дм, а на 1 квадратный дециметр поверхности расходуется 15 г краски?

Решение Так как треугольник AMK - равнобедренный, то вершина A лежит на прямой CD, перпендикулярной MK. Аналогично B∈CD.

Тогда CD∥MP, BAMP - трапеция.

Площадь фигуры равна удвоенной площади трапеции

S=2⋅(AB+MP)/2⋅MK/2=(3+9)⋅52=30 (квадратных дециметров).

Расход краски равен 30⋅15=450 (г).

Ответ: 450

2990.В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус угла при основании треугольника равен 12/13. Радиус OM пересекает под прямым углом боковую сторону в точке K. Найдите длину отрезка OK.

Решение или указание:

Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только острым, значит, центр O с вершиной A лежит по одну сторону от хорды BC. Тогда ∠BOC - центральный угол, соответствующий углу A. Отсюда ∠BOC=2∠A.

△BOC - равнобедренный, OK - высота, проведенная к основанию, тогда OK - биссектриса угла O, отсюда: ∠BOK=∠BOC:2=∠BAC.

△BOK: ∠K=90∘, OB=13, sin∠BOK=12/13.

12/13=BK/13, BK=12, OK=5.

Ответ: 5.