Математика 11 класс
Пример записи ответа в бланк В задачах с 13 по 19 проверяются и решение, и ответ
Прототип задания 14 профиля ЕГЭ
Решение
Прототип задания 11 профиля ЕГЭ
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Решение. Пусть производительность первой трубы составляет x литров воды в минуту. Составим таблицу:
Прототип задания 13 профиля ЕГЭ
Решение.
Прототип задания 15 профиля ЕГЭ
Решение.
Прототип задания 16 профиля ЕГЭ
Прототип задания 17 профиля ЕГЭ
31 декабря 2011 года Сергей взял в банке 2 320 500 рублей в кредит на покупку новой квартиры под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
Прототип задания 18 профиля ЕГЭ
Прототип задания 19 профиля ЕГЭ
Решение.
Это должен знать каждый сдающий профиль ЕГЭ по математике
Прототипы задания 1 профиля ЕГЭ
Теплоход рассчитан на 950 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы а случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? 975/70 = 13,92… 13 или 14? 13 ˑ 70 = 910 < 970 не подходит.
Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,25 г 5 раз в день в течение 14 дней. В одной упаковке 20 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения? 5 ˑ 14 =70 70/20 = 3,5 Хватит 3 упаковок?
Бегун пробежал 250 м за 36 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час. 25.
Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 140 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу? 140 – 7 = 132 или 140 ˑ 0,95 = 132
Прототип задания 2 профиля ЕГЭ
Прототип задания 3 профиля ЕГЭ
Прототип задания 4 профиля ЕГЭ
Прототип задания 5 профиля ЕГЭ
Прототип задания 6 профиля ЕГЭ
Площадь треугольника ABC равна 152. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
152 : 4 = 38
Прототип задания 7 профиля ЕГЭ
Или так:
Прототип задания 8 профиля ЕГЭ
Прототип задания 9 профиля ЕГЭ
Прототип задания 10 профиля ЕГЭ
Прототип задания 12 профиля ЕГЭ
А я люблю математику. Потому что она первой научила меня думать. Не бояться присмотреться к сложной задаче, разложить ее на простые и понятные части и решить. Она дала правильное понимание того, что зная теорию и закономерности, можно решить практически любую проблему, дала веру в свои силы. Пусть я не использую конкретные формулы в жизни, но правильный образ мышления, веру в существование хорошего решения и способность его найти я использую каждый день. Спасибо, математика!
Из всех наслаждений, отпущенных человеку, самое изысканное — шевелить мозгами. Борис Акунин
Число 142857 умножим последовательно на 2, 3, 4, 5 и 6 на калькуляторе и получим произведения из цифр числа 142857:
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Просматривается интересная закономерность: все эти произведения получены из последовательности цифр исходного числа циклическими сдвигами. С чем же это связано? Вычислите без калькулятора с помощью деления "уголком" десятичное представление чисел 1/7, 2/7, 3/7 и т.д. И сразу всё станет понятно!
А что получится, если умножить 12345679 на 81, 72, 63 54, 45, 36, 27, 18, 09?
Палиндром — это слово, фраза или число, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.
Как стать внимательнее и избежать ошибок в математике:
1. Если ты решил уравнение, подставь корень в условие – должно получиться верное равенство (банально, но почти никто не делает, а зря).
2. В геометрии делай большие достоверные чертежи. Хотя говорят, что геометрия – это искусство правильно рассуждать на неправильном чертеже, но на правильном чертеже рассуждать удобнее, эффективнее и ошибкобезопаснее. Если ты не можешь сделать верный чертеж, то это знак, что не вполне понял задачу. Бейся дальше.
3. Прежде чем записать ответ к задаче, перечитай условие и убедись, что отвечаешь именно на заданный вопрос.
Математик решил загадку числа 42 Источник
Девушка спросила жениха сколько будет 15+6. После ответа она отменила свадьбу Источник
Если принять усилия за единицу и возвести в степень 365 – количество дней одного года, то результат получается именно таким (1). Делайте чуть-чуть меньше, чем можете – и результат практически нулевой. Делайте немного больше, чем делаете обычно – и результат увеличивается многократно. С математикой не поспоришь. С жизнью тоже.
Самое главное умение, которым мы овладеваем на уроках математики?
Может быть, это умножение в столбик?
Нет. Я и на телефоне все умножу, сложу и разделю. Мой телефон даже проценты сосчитать умеет. Это сто лет назад надо было уметь считать на бумажке на счетах, а сейчас у нас у всех гаджеты. Большой счет вручную нам не грозит.
Может быть, это исследование функций или решение уравнений?
Ну... может и быть. Кое-кому, инженерам например, или исследователям, без функций не обойтись. Пока что лучше модели для описания изменений никто не придумал. Но таких людей немного.
Может быть, это построения с помощью циркуля и линейки?
У вас дома есть циркуль? У меня даже линейки нет, мне хватает портновского метра. Полвека назад еще продавались в магазинах готовальни с циркулями, тогда ими еще пользовались инженеры для своих чертежей. Сейчас у инженеров чертежные программы, а циркули превратились чисто в школьную принадлежность, больше им места нет нигде.
Так что же? Решая задачи, мы четко различаем, что знаем, а что еще нет.
Еще в младших классах мы учимся составлять краткую запись задачи, и по дороге записываем, что мы знаем, а что надо найти. Когда мы чертим чертеж и отмечаем на нем равные отрезки, мы четко фиксируем, что нам известно. Когда мы доказываем теоремы, мы не можем не знать, что дано, а что доказать. Расставив все по полочкам и разобравшись с данными и неизвестными, мы начинаем искать между ними связи. Мысли нужно дать четкое направление, чтобы она не блуждала бесцельно, а быстро-быстро предлагала варианты решения, отбраковывала явно негодные и останавливалась на правдоподобных. И лучше все это делать в математике, а не в рамках других школьных дисциплин. В математике четко определены правила игры, и поэтому свои рассуждения можно проверять самостоятельно. Не нужно искать авторитет, чтобы на него опереться, -- как в гуманитарных науках. Не нужно проводить эксперимент, -- как в естественных науках. Умение разложить по полочкам, отделить известное от неизвестного, направить соображалку на поиск связей -- бесценно. Оно работает в достижении любых жизненных целей.
Классика жанра: 0,9999999… = 1.
Когда мы пишем 0,9999999… то кажется, что это число до единицы чуть-чуть не дотягивает. Поэтому удивительно, что оно равно единице в точности. Правда, обычно никто не сомневается в том, что 1/3=0,333333… . Остается у этого равенства левую и правую часть умножить на 3.
Арбуз весит 6 кг и пол-арбуза. Сколько весит арбуз?
А целый арбуз весит 12 кг.
Вот зачем нужна школьная алгебра здесь
Гугл знает все. "У меня не педагогическое образование, но на пенсии я занялась репетиторством по математике. Если бы я не столкнулась с этим так близко, я не поверила бы, что выпускники 9-го класса по математике не знают ни-че-го. Ни одной, и это не преувеличение, формулы площади геометрических фигур, ни понятий радиуса и диаметра, ни катета и гипотенузы, - ничего. Слова параллелограмм, диагональ, гипотенуза они просто не в состоянии произнести. О синусах и тангенсах я считаю просто неприличным говорить. В порядке подготовки к экзамену учим действия с дробями, решаем простейшие линейные уравнения и разбираем формулы, которыми можно будет пользоваться на экзамене, но делать этого они не умеют. И это никакие не единичные случаи, это система. Вопросов типа, а что же ты делал раньше, а много ли в классе тех, кто хоть что-то в этом понимает, - я уже не задаю. Слишком хорошо знаю ответы."
Вот такая статистика. "Есть также данные прошлых лет по заваленным ЦТ: не прошли ЦТ всего 5% гимназистов, 3% лицеистов и 92% школьников. Почему мы не видим, что проблема в школе, а закрываем гимназии и лицеи?". Просто в лицеи и гимназии идут лучшие учащиеся из обычных школ. Поэтому оставшиеся учащиеся в обычных школах сильно портят общую статистику по стране. А все почему? Думали, что они пойдут в ПТУ, а они сдают тесты для поступления в вузы. Такова реальность. А улучшать статистику надо, кровь из носа! Я понимаю трудности чиновников, перед которыми поставлена такая сверхзадача. Над этим можно годами работать, а можно просто переименовать гимназии и лицеи в школы, и недостатки образования скроются за средними цифрами. Но при этом надо помнить слова Марка Твена: «Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика».
11 методов борьбы со страхом перед экзаменамиПереживать перед экзаменами учеников заставляют примерно одни и те же тревожные мысли. Основатель образовательного стартапа The Exam Coach Джеймс Дэйви выделил 11 типичных страхов и рассказал, как преодолеть каждый из них.
1. «Слишком много работы»
Метод: деление задачи на части.
Как он работает. Вам наверняка не раз советовали раскладывать сложное дело на простые шаги — здесь можно провести аналогию с поеданием пиццы по кусочкам. Однако при этом вы видите всю пиццу, то есть задачу целиком, и это пугает. Теперь представьте, что вам давали бы по кусочку той же самой пиццы, при этом не показывая ее всю. В результате вам удалось бы съесть гораздо больше — по крайней мере, об этом говорят исследования. Этот же прием работает и при подготовке к экзаменам: постарайтесь скрыть от себя весь объем работы, чтобы перестать тревожиться из-за ее масштаба.
- Выберите время, которое вы будете ежедневно уделять подготовке.
- Этот промежуток (1-2 часа) разделите на интервалы для отдельных частей работы — например, для определенных тем или заданий.
- Подумайте, сколько времени нужно на каждую из этих небольших задач и сократите его. Так, если вы изначально выделили на одну из них 45 минут, уменьшите время до 25 минут. Это поможет действовать быстрее.
- Кроме того, оставьте себе 15-30 минут, чтобы проверить сделанное так, будто это все, что вам нужно знать на экзамене.
Метод: переосмысление.
Как он работает. Этот инструмент состоит из двух частей.
- Переосмыслите причины своего непонимания. Есть представление, что визуалам, аудиалам и кинестетикам информацию нужно преподносить по-разному, иначе они ее не воспримут. Однако ученые выяснили, что это не так — люди действительно могут предпочитать разные подходы к обучению, но его корректировка в соответствии с их пожеланиями не улучшает результаты. Таким образом, не стоит беспокоиться о способе получения информации — лучше задействовать все три из них.
- Добейтесь понимания. Посмотрите на это как на взлом сейфа — одним людям везет и все получается с первой или со второй попытки, другим же приходится перепробовать много разных комбинаций. Иногда это занимает немало времени, но есть способ ускорить процесс — обратитесь за помощью к тому, кто уже справился с задачей.
- Попросите учителя объяснить тему по-другому.
- Спросите у знакомых, как им удалось разобраться в ней.
- Посмотрите видео на YouTube — хороший ролик может быть очень эффективным способом обучения, поскольку он одновременно задействует разные типы восприятия.
Метод: выбор «слота» и составление пошаговых инструкций.
Как он работает. «Слот» — это понятие из крикета: если не углубляться в спортивную терминологию, то это положение мяча, при котором игрок с битой пытается бежать как можно быстрее. Выберите наиболее продуктивное время, когда вы особенно внимательны и мотивированны, оно и будет вашим «слотом». Помните о законе Парето: 20% действий дают 80% результатов. Таким образом, небольшая часть дня может значительно улучшить ситуацию, нужно лишь правильно ее выбрать.
Чтобы и оставшееся время проводить с пользой, составляйте пошаговые инструкции. Перед тем как приступить к задаче, запишите четкое руководство по ее выполнению. Подойдите к этому как к рецепту: будьте точны, не упускайте подробностей, тратьте время на объяснение каждого этапа.
- Это инвестиция в процесс. После записи подробного плана действий вы почувствуете вину, если не доведете дело до конца.
- Составьте инструкцию, понятную даже ребенку. Вы увидите, насколько просты отдельные задачи, и захотите доказать себе, что можете выполнить их.
- Завершая дела, вы заметите прогресс. Вычеркивайте каждый пройденный пункт.
Метод: быстрая проверка и интервальное повторение.
Как он работает. Если при повторении в голове ничего не откладывается, то у этого могут быть две причины.
- Использование традиционных методов вместо работающих. Ученики перечитывают тексты, выделяют в них главное, используют ассоциативные схемы и дидактические карточки, но это не всегда помогает. Недавнее исследование показало, что информация, за которой следует короткий проверочный тест, усваивается лучше. Таким образом, при повторении важно всегда ориентироваться на требования экзамена.
- Снижение мотивации после неудачи на пробном тестировании. Низкие баллы могут выбить из колеи, но самое главное — не отчаиваться и продолжать регулярно заниматься и повторять материал. При таком подходе на настоящем экзамене вам будет куда спокойнее.
Фото: Unsplash
5. «День до экзамена, я в панике»Метод: визуализация.
Как он работает
- Сядьте в тихом месте и закройте глаза. Позвольте негативным мыслям (например, панике перед экзаменом) заполнить ваше сознание.
- Затем в правом нижнем углу представьте маленький образ позитивного результата (например, знание ответов на все вопросы теста).
- Постепенно увеличивайте позитивную картинку, делая ее ярче, а негативную — темнее.
- Продолжайте это делать, пока позитивная картинка не станет в два-три раза больше негативной, а ваше внимание полностью на нее не переключится.
Метод: фокусировка на повседневных занятиях.
Как он работает
- Если вы сосредоточитесь на выполнении обыденных действий, а не на тревожных мыслях, то будете больше готовы к хорошим результатам.
- Делая одни и те же вещи перед экзаменом, вы будете думать: «У меня все получилось в прошлый раз — получится и в этот».
- Рутина последовательна. Так, соблюдая привычный утренний ритуал, вы и на экзаменах будете показывать стабильные результаты — этот процесс работает зеркально.
Вот еще четыре совета, которые помогут избежать излишнего беспокойства непосредственно перед экзаменом.
- Не бродите в оживленных местах. Как правило, толпа собирается у входа в помещение, где будет проводиться экзамен. Не спешите туда — за вход в числе первых дополнительные баллы не дадут.
- Держитесь подальше от людей, которым безразличны результаты экзамена. Осуждать их не стоит, они могут делать со своей жизнью все что угодно. Однако их настрой — не совсем то, что вам сейчас нужно.
- Избегайте и тех, кто пытается угадать содержание тестов. Они все равно этого не знают, поэтому нет смысла их слушать.
- Не подходите к умникам. Они начнут выдавать случайные факты из учебников, борясь таким образом с собственным страхом или искренне желая вам помочь. Но это неважно — вам не нужно доказывать свои знания никому, кроме экзаменатора.
Метод: Blinkers («шоры»).
Как он работает. Вам нужно мысленно надеть на глаза шоры — пластины, которые можно увидеть на лошадях во время скачек. Их цель — закрыть обзор, чтобы лошадь не видела других всадников и была сфокусирована на беге. Точно так же и вам на экзамене не следует наблюдать за действиями других учеников. Ограничьте поле зрения экзаменационными заданиями и часами на стене аудитории.
8. «На экзамене мои мысли блуждают».
Метод: дыхательные упражнения.
Как он работает. Все ощущали пустоту в голове во время экзаменов. В таких ситуациях необходимо сосредоточиться на происходящем, а лучше всего в этом помогает медитация. Вот как поступить при столкновении с вопросом, ответ на который вы не можете быстро вспомнить.
- Прочитайте вопрос с обычной скоростью.
- Еще раз прочитайте его и одновременно медленно вдыхайте через нос, считая до трех.
- Закончив читать, так же медленно выдохните через рот, считая до трех.
- Еще раз прочитайте вопрос, но уже выделяя в нем ключевые слова. Одновременно вдыхайте через нос, считая до трех.
- Закончив читать, выдохните через рот, считая до трех.
- Запишите вопрос полностью. Одновременно вдыхайте через нос, считая до десяти.
- Записав вопрос, выдохните через рот, считая до десяти.
- Начните записывать ответ на вопрос или формировать структуру эссе.
Важно дышать животом, а не грудью — так вы получите больше кислорода. А переписывание вопроса и выделение ключевых слов в нем поможет сосредоточиться и быстрее найти ответ.
Фото: Unsplash
9. «На экзаменах у меня случаются панические атаки, поэтому я просто ухожу».Метод: техника заземления — сжимание пальцев.
Как он работает. По определению Национальной службы здравоохранения Англии, паническая атака — это внезапное и сильное беспокойство. Оно может сопровождаться физиологическими реакциями: учащенным сердцебиением, дрожью, дезориентацией, тошнотой, сухостью во рту, одышкой, потливостью и головокружением. В медиа можно встретить мнение, что это состояние контролировать нельзя, но врачи говорят обратное.
В частности, справиться с паническими атаками поможет техника заземления — тип упражнений, которые фокусируют внимание на физических ощущениях или происходящем вокруг, не давая тревоге захватить ваши мысли. Так, для борьбы с паникой можно медленно дышать, прислушиваться к звукам вокруг, нюхать что-то с сильным запахом, например, лаванду, выбирать любой предмет в комнате и изучать его форму, цвет и размер.
К сожалению, не все из перечисленного можно проделать на экзамене, но есть одно упражнение, которое подходит как раз для этой ситуации. Оно называется методом сжимания пальцев.
- Сожмите указательный и большой пальцы вместе.
- Слегка увеличьте давление, чтобы сфокусироваться на этом ощущении.
- Рассмотрите узоры и линии на большом пальце.
- Делайте это, пока не почувствуете, что можете вернуться к заданиям.
Метод: отказ от обсуждений.
Как он работает. Разговаривать об ответах, которые вы дали на экзамене, совершенно бессмысленно. Если ваш вариант совпадет с вариантами большинства, то перед следующим тестом вы будете чересчур самоуверенны, если не совпадет — начнете переживать из-за этого. Обдумайте, с кем вы будете общаться после экзамена. Постарайтесь найти человека или компанию, которые тоже не захотят поднимать эту тему.
11. «Я беспокоюсь за результаты и их влияние на мое будущее»
Метод: притча о китайском фермере.
Как он работает. Философ Алан Уоттс в своей книге «Восточная мудрость, современная жизнь: сборник выступлений 1960-1969 годов» рассказал притчу о китайском фермере, содержание которой сводится к следующему: однажды от героя сбежала лошадь, но утром вернулась, приведя с собой еще семь лошадей. На следующий день его сын сломал ногу, катаясь на одной из них. Утром в деревню пришли военные, чтобы забрать юношей в армию, но сына фермера не взяли из-за сломанной ноги — и это было большой радостью для семьи.
Притча показывает, что последствия той или иной ситуации не всегда очевидны, поэтому любой итог нельзя считать однозначно хорошим или плохим. День объявления результатов не стоит ожидать с особым трепетом — какими бы они ни были, вы сможете действовать дальше. Если вы будете активны и оптимистичны, то однажды оглянетесь назад и увидите, что оценки пошли вам на пользу, независимо от того, были они хорошими или нет.
‼ Таблица умножения без "зубрежки" - это желание учить математику.
Демонстрационные варианты тестов ЦТ
Алексей Савватеев. Великие математические революции.
Лекция математика Алексея Савватеева в СУНЦ МГУ - про ВЕЛИКИЕ НЕРЕШЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, многие из которых уже решены, а некоторые - ждут своих героев :) Для старших и "продвинутых" школьников, интересующихся математикой.
Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! А. Нивен
Знакомство с интерфейсом MathCAD 14 Решение задач интернет олимпиады по математике Онлайн справочник по математике Математические онлайн сервисы - решение уравненийКалькулятор ЛовиОтвет решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления "в столбик". Вас приятно удивит результат решения - на разлинованном тетрадном листе вы увидите все что должен написать ученик или студент для решения примера. Отлично подходит как для проверки уже выполненных заданий, так и для, непосредственно, их выполнения.
Как сделать из бумаги додекаэдр